广东省陆丰市重点中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题及参考答案

陆丰市重点中学2021级高二3月阶段考数学试题本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分第I卷（选择题）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a＝(1，－2，1)，a−b＝(－1，2，－1)，则b＝（A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)2．设全集U=R，集合A=0,+∞，集合B=xx+2A．A∩B=0,1 B．C．A∪B=−1,+∞ D．3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=fA． B．C． D．4．已知直线l1:3x−4y+7=0与直线l2:6x−m+1y+1−m=0平行，则A．1 B．2 C．3 D．45．若将函数y=f(x)的图象C1向左平移π2个单位后得到函数y=g(x)的图像C2，再将C2上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数y=sinx的图像A．−cos2x B．sin（12x6．已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1+a2+A．26 B．24 C．18 D．127．函数fx=eA．B．C．D．8．已知fx是定义在R上的偶函数，f′x是fx的导函数，当x≥0时，f′x−2x>0A．−1,0∪1,+∞C．−1,0∪0,1 二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．下列求导不正确的是（

）．A．(ln7)C．2sinx−3′10．对任意数列{an}A．若数列{an}B．若数列{an}C．若数列{an}D．若数列{an}11．已知点P在圆x−52+y−52=16上，点AA．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，PBD．当∠PBA最大时，PB12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹⋅布劳威尔(L.E.J.Brouwer)．对于连续函数f(x)，若存在一个数x0，使得f(x0)=xA．函数f(x)=sinB．函数f(x)=axC．若定义在R上的奇函数f(x)存在有限个不动点，则不动点的个数可能是偶数D．函数f(x)=e第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．若直线2x+y−2=0为圆(x−a)2+y14．已知双曲线C:x2a2−y15．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90∘,M,N16．已知函数f(x)=ex−12四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）设函数fx(1)求fx在x=−2(2)求函数fx18．（本题满分12分）在①sinA,sinB,sinC已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b，面积为S．若__________，且4S=3b219．（本题满分12分）已知等差数列{an}满足：a4=7，(1)求数列{an}的通项公式a(2)若bn=1SnSn+120．（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.(1)求证：PC∥平面BDE.(2)若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由.21．（本题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点O，椭圆x24+y2=1的顶点分别为A1，A（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点A1的直线l与抛物线交于M，N两点，且OM+ON（本题满分12分）已知函数f(x)=1（1）讨论f(x)的单调性；（2）求f(x)在区间[1,e]上的最小值；（3）若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围.参考答案1．A2．B3．D4．B5．D6．A7．C【分析】求导判断出函数fx【详解】∵fx=e令f′x=0则函数fx在区间−∞,0，0,选项A：违背函数fx在区间−选项B：违背函数fx在区间0,选项C：函数fx在区间−∞,0，0,选项D：违背函数fx在区间0,故选：C8．B【详解】解：令gx=fx−x2，因为则g−x=f−x−−x2=gx因为当x≥0时，f′x−2x>0，所以当x≥0时，g′x不等式fx>x2+2即为不等式gx>2，所以x>1，解得x>1或x<−1，所以fx>故选：B.9．AB10．AD11．ACD【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆x−52+y−52=16直线AB的方程为x4+y圆心M到直线AB的距离为5+2×5−41所以，点P到直线AB的距离的最小值为1155−4<2如下图所示：当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，BM=0−52+2−5故选：ACD.12．BD【详解】对A，令g(x)=x−sinx，则所以g′(x)在R上单调递增，又g(0)=0，所以g′(x)在R上有且仅有一个零点，即f′(x)有且仅有一个“不动点”，故选项A错误；对B，因为ax2+bx+c=x对C，因为f(x)是R上的奇函数，则y=f(x)−x为定义在R上的奇函数，所以x=0是y的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，其个数的和为偶数，所以f(x)一定有奇数个“不动点”，故选项C不正确；对D，设gx=fx−x=ex−x−1，则g′x=ex−1，令g′x=0有x=0故选：BD13．1【详解】由题可知圆心为a,0，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0−2=0，解得a=1．14．10【详解】直线l:x+3y+2022=0的斜率为−则与直线l:x+3y+2022=0垂直的双曲线的渐近线的斜率为3，所以ba=3，所以e=ca15．30【分析】建立空间直角坐标系，不妨设BC=CA=CC1【详解】由题意可知：CC不妨设BC=CA=CC1=2，因为M,N则N(1，0，2)，A(2，则AN=(−1,0,2)，BM=(1,−1,2)，设直线BM与AN所成的角为所以cosα=所以BM与AN所成角的余弦值为3010故答案为：301016．e.【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数g(x)=exx【详解】函数f(x)=ex−12ax则对任意的x∈(0,+∞)，f′x≥0⇔a≤由g′(x)>0，得x>1，由g′(x)<0，得0<x<1，从而g(x)在即g(x)min=g(1)=所以a的最大值是e.17．【详解】(1)解：函数fx所以，f−2所以fx在x=−2处的切线方程为y+4=7x+2，即(2)解：由（1）知，令，即3x2+2x−1=0，解得x随着x变化，和fxx−−1−1,11＋0－0＋f单调递增−1单调递减−单调递增所以x=−1时，函数fx有极大值为−1，x=13时，函数f18．【详解】若选①由4S=3(b2+c2−a由余弦定理可得：a2=b2+即2b=a+c，即(c−2b)2=b2+c2−bc若选②由4S=3(b所以tanA=3，又0<A<π，所以A=π3；又sinB,sinA,sinC成等比数列，所以所以(b−c)2=0，所以b=c所以若选③由4S=3(b2+c2−a2)又2bcosC=2a−3c，所以可得：cosB=32，所以B=π6，所以19．【详解】(1)解：设等差数列{an}的公差为d，则a∴an=1+2(n−1)=2n−1(2)解：由（1）可得bn∴数列{bn}的前n项和为20．【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为ABCD为正方形，所以CD⊥DA.又PA∩DA=A，且PA,DA⊂平面ADP，所以CD⊥平面ADP.如图，以D为原点建立空间直角坐标系D−xyz，设PA=aa>0则A0,2,0，B0,2,2，C0,0,2，D0,0,0，所以PC=−a,−2,2，DB=设平面BDE的法向量为n1则DB⋅n1令y0=1，则x0=−4由题意得PC⋅n1=4−2−2=0.因为PC⊄平面BDE（2）存在，理由如下：因为PA=a=2，所以P2,2,0令PF=λPC0≤λ≤1，所以F2−2λ,2−2λ,2λ，所以2−2λ−2=−2λ1，解得λ=121．【详解】解：（1）由椭圆x24+y2=1所以a=2，b=1，则A2因为抛物线的焦点为A2，可设抛物线方程为y所以p2=2，即所以抛物线的标准方程为y2（2）由椭圆x24+y2若直线l无斜率，则其方程为x=−2，经检验，不符合要求.所以直线l的斜率存在，设为k，直线l过点A1−2,0，则直线l的方程为y=kx+2，设点M联立方程组y=k(x+2)y2=8x，消去y因为直线l与抛物线有两个交点，所以k2≠0Δ>0解得−1<k<1，且k≠0.由①可知x1所以y1则OM+因为OM+ON//所以8−4k2k2−2×8k因为−1<k<1，且k≠0，所以k=−2−6所以直线l的方程为y=−2+6(x+2)，22．【详解】（1）f′(x)=x−由f′(x)>0得x>a，由f函数在x∈(0,a)单调递减，在（2）由（1）函数在x∈(0,a)单调递减，在当0<a≤1时，a≤1，函数在[1,e]单调递