山东省某中学2020届高三数学6月模拟考试试题含解析

山东省实验中学2020届高三数学6月模拟考试试题（含解析）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.已知集合A={x|x=2'keZ},B={xeN|x<4},那么集合AB=（）

A.{1,4}B.{2}C.{1,2}D.

{124}

【答案】C

【解析】

【分析】

根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集.

【详解】依题意8={0,1,2,3},其中leA,2eA,所以A3={1,2}.

故选：C

【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

2.若z（2—i）2=—i（i是虚数单位），则复数z的模为（〉

1111

A.-B.—C.—D.一

2345

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数z

的模.

详解】因为z（2—）2i所以

—i—i—i—z（3+4z）43.

（27）2-4-4i+i2-3-4z-（3-4z）（3+4z）一石一石‘

【点睛】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复

数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.

、、

TC

3.己知sin|^+。=cos|~~a，则cos2a()

377

叵

A0B.1ru.------

2

【答案】A

【解析】

【分析】

利用和差角公式可求得tan&的值，再利用二倍角的余弦公式结合弦化切的思想可求得

cos2a的值.

sin臼a

【详解】=cos--oc,.・.——cosa+—sina=—cosa+sine，可

13UJ2222

得tana=1,

c.2cos2a-sin2a1-tan2a八

/.cos2a-cos-2a—sirra=----；--------；—=-------；—=0.

cos-a+sin_a1+tan-a

故选：A.

【点睛】本题考查三角求值，考查和差角公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计

算能力，属于中等题.

4.已知平面向量a，6满足(a+b)./?=2,且"=1,1|=2,则,+0=()

A.V3B.V2C.1D.2A/3

【答案】C

【解析】

【分析】

由(a+与•"=2及W=2可得a.0=一2,代入向量模的计算公式可得\a+t\的值.

【详解】解：由(。+。)m=2及"=2,可得。/+1(=2,可得〃.0=—2，

,+目=小(a+b)2=\a'+2a-b+b~=JF+2x(-2)+2?=1，

故选：C.

【点睛】本题主要考查向量的数量积，向量模的性质，考查学生的运算求解能力，属于基础

题型.

5.己知〃x）是定义域为R的奇函数，若/（x+5）为偶函数，/⑴=1,则

/（2019）+/（2020）=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

由〃x+5）奇偶性和函数平移的知识可得/（%）对称轴，由/（X）奇偶性可确定〃0）,结

合对称轴可得周期，由此可将所求式子变为-/（1）+/（0）,进而求得结果.

【详解】/（x+5）为偶函数，且/（x+5）可由“X）向左平移5个单位得到，

."（X）关于X=5轴对称，即y（x+5）=/（5-x）,

又〃x）为R上的奇函数，二/（%+5）=―/（x—5）,且/（0）=0,

/（》+20）=-+10）=-[-/（x）]=/（%）,

.•./（X）是一个周期为20的周期函数，

.•./（2019）=/（20xl01_1）=/（-1）=一/⑴=—1,

/（2020）=/（20xl01）=/（0）=0,/（2019）+/（2020）=-1.

故选：B.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、周期性和对称性求解函数值的问题；解题关键是能够

灵活应用函数的对称性和周期性之间的关系，通过对称轴和对称中心确定函数的周期.

22

6.已知点£（一3,0）,6（3,0）分别是双曲线G二―3=1（"0,6〉0）的左、右焦点,

a'b"

"是C右支上的一点，儿庄与y轴交于点只玛的内切圆在边p层上的切点为。，若

|PQ|=2,则C的离心率为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由双曲线的定义、对称性和内切圆的切线性质，结合离心率公式即可得到所求值.

【详解】设的内切圆在边M马上的切点为K,在上的切点为N,如图所示:

则怛耳|=|叫|,|叫=|叫=2根国=|即

由双曲线的对称性可得|「制=|桃|=|尸0|+|0巴|=2+|。用，

由双曲线的定义可得|咋|一|叫|=归闸+户用一|MK|Tg|

=2+\QF2\+\MP\-\MK\-\KF2\=2+\MP\-\MN\=4=2a,解得a=2,

3

又|6月|=6,即有c=3,离心率e=—c=—.

a2

故选：C.

【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查内切圆的切线性质，注意运用双曲线的定义

是解题的关键，属于中档题.

7.在二项式(x+—')”的展开式中，各项系数的和为128,把展开式中各项重新排列，则有

yJX

理项都互不相邻的概率为()

4331

A.—B.-C.—D.—

3541414

【答案】D

【解析】

【分析】

由系数和为128可得2"=128即可求出〃=7,由二项式定理写出展开式的通项，即可求出

有理项、无理项数，结合排列中的插空法可求出有理项都互不相邻的的概率.

【详解】解：二项式(x+七)”的展开式中第％+1项为=C)"等，

则OC：+...+C：；=2"=128,则〃=7,则展开式中有8项，

7-1zrU^,即有理项有4项，无理项有4项,

当％=0,攵=2,2=4,攵=6时,

8项重新排列共用种排列数，先排列无理项共A：种排列数，要使得有理项不相邻,

则4项有理项的排列数为川，所以有理项都互不相邻的概率为噂

故选：D.

【点睛】本题考查了二项式定理，考查了排列数的计算，考查了插空法.本题的关键是求出〃

的值.

8.已知函数/(幻=这2一%一皿刀有两个零点，则实数a的取值范围是()

1,1

A.B.（0,1）

1+e

C.一8,1一D.

e。与

【答案】B

【解析】

【分析】

函数/(x)=a、-Hln(x有两个零点，即方程。=则/»有两个根，设

InX-4-Y

g(x)=一^一，求出g'(x),研究出函数g(x)的单调性，由g(x)的图象与有两

个交点，得出a参数的范围，得到答案.

【详解】函数/0)=侬2一%一山工(%>0)有两个零点

In_r4-r

由题意得方程a=——有两个根.

x

、「/、lnx+x-

设g(x)=k'则g，(x)(1+l)x-(lnx+x)(2x)_]2inxx

x4X3

2

设/z(x)=l-21nx-x,则〃(九)=----1<0

所以〃(x)=l—21nx—x在(0,+。)上单调递减，又力(1)=0

当XG(0,l),〃(x)>0,g'(x)>0,所以g(尤)(0,1)上单调递增,

当Xe(L*»),〃(x)<0,g'(x)<0,所以g(x)在(L+8)上单调递减,

J--1

又g⑴=1,g(/=Av=e-e2<0当xe(l,+oo)时，lnx+x>0,则g(x)>0

所以存在/e(0,l),g(/)=0,即在(0,跖)上g(x)<0,

又当x—>+ao时，基函数、对数函数的增加速度的快慢，可知x->+8时，g(x)f()

作出函数g(x)的大致图象如下.

所以方程〃=彳2有两个根，即g(x)的图象与有两个交点，

所以实数。的取值范围是(0,1)，

故选：B

【点睛】本题考查已知函数零点个数求参数取值范围的问题，考查分离参数的方法，考查

利用导数研究函数的单调性，属于难题题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9.是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价

格水平变动情况的宏观经济指标.同比一般情况下是今年第〃月与去年第〃月比；环比，表

示连续2个统计周期（比如连续两月）内的量的变化比.如图是根据国家统计局发布的2019

年4月一2020年4月我国0V涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下列说法正确

的是（）

A.2020年1月同比涨幅最大

B.2019年4月与同年12月相比较，4月＜77环比更大

C.2019年7月至12月，。”一直增长

D.2020年1月至4月。”只跌不涨

【答案】AB

【解析】

分析】

根据折线图数形结合，逐一分析即可；

【详解】解：对于A,由同比折线可发现2020年1月旧同比涨幅最大，故4正确；

对于B,由图可知2019年4月环比涨幅为0.1%,2019年12月为0%,故B正确；

对于C，由环比定义可知，2019年10月至12月间，下跌，故。错误；

对于。，由环比定义可知，2020年1月至4月间，3月到4月增涨，故。错误；

故选:AB.

【点睛】本题考查折线统计图的识别，考查学生合情推理的能力以及阅读理解能力，属于中

档题.

10.记数列｛%｝的前〃项和为S,,,若存在实数凡使得对任意的“CN+，都有

则称数列｛q｝为“和有界数列”.下列说法正确的是（）

A.若｛凡｝是等差数列，且公差4=0,则｛q｝是“和有界数列”

B.若｛6,｝是等差数列，且｛4｝是“和有界数列”，则公差d=0

C.若｛q｝是等比数列，且公比＜1,则｛4｝是“和有界数列”

D.若｛《,｝是等比数列，且｛4｝是“和有界数列"，则｛4｝的公比际＜1

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据等差数列前几项和公式以及“和有界数列”的定义，判断AB选项的正确性；根据等比

数列前〃项和公式以及“和有界数列”的定义，判断CD选项的正确性.

【详解】对于AB选项分析如下：若｛an｝是等差数列，则

n(n-\)dd(d\

s“=叫+---=-«2+y

对于A选项，当d=0时，5.=叫，若4。0,根据一次函数的性质可知，此时不存在符

合题意的〃.所以A选项错误.

对于B选项，｛4｝是“和有界数列"，而若4*0,根据二次函

2\27

数的性质可知，此时不存在符合题意的“，故4=0.所以B选项正确.

对于CD选项分析如下：若｛。“｝是等比数列，则S“=也二11=

\-qT-q\-q

对于c选项，若［4＜i,则当〃-»依时，\〉4一,故存在实数〃，使得对任意的“GN+,

i-q

都有即｛q｝是“和有界数列”.所以C选项正确.

对于D选项，若｛可｝是等比数列，且｛《,｝是”和有界数列”，q的取值可能为-1,此时

|S,区同,所以存在实数〃，使得对任意的〃eN+，都有闻＜”.所以D选项错误.

故选:BC

【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解，考查等差数列、等比数列前〃项和公式的运用,

属于中档题.

11.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为

矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为

“鳖膈”.如图在堑堵力6046《中，ACVBC,且44刃6=2.下列说法正确的是（）

A.四棱锥於44X；为“阳马”

B.四面体4G"为“鳖膈”

2

C.四棱锥644%；体积最大为］

D.过4点分别作于点£,4c于点凡则硝

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据新定义结合线面垂直的证明，对选项进行逐一判断，可得出答案.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.

所以在堑堵ABC-AyByG中，ACLBC,侧棱A4,1平面ABC.

在选项A中.所以A4,_L3C,又/。L8C,且A4,AC=A，则BCL平面A41GC.

所以四棱锥比40为“阳马”，故A正确.

在选项B中.由4入8G即4G_L8C,又AG且G。BC=C，所以4G，平

面典GC

所以4G±BC「则VA^G为直角三角形.

又由BCJ.平面4AG。，得ABC为直角三角形.

由“堑堵”的定义可得AGC为直角三角形，CGB为直角三角形.

所以四面体4G应为“鳖膈”，故B正确.

在选项C中.在底面有4=AC2+BC2>2AC-BC,即AC•8C42当且仅当AC=时

取等号.

ii24

%.AACC二-5号《x/?C=-ACxBCK—,所以C不正确.

在选项D中.由上面有BC,平面A4£C,则3。_14/，加工4。且4。8C=C,则

AFL平面ABC

所以AF_LA3"反L/归且AFcAE=A,则4B_L平面4EF,则ABLE?,所以D正

确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查立体几何中的新定义问题，考查线线垂直，线面垂直的证明，考查四棱锥

的体积的最值，属于中档题.

12.己知/*）=1-2852（5+三）3>0）,下面结论正确的是（）

A.若“与）=1,/（±）=—1,且上一%|的最小值为万，则°=2

B.存在3c（1,3）,使得F（x）的图象向右平移?个单位长度后得到的图象关于y轴对称

0

C.若/U）在［0,2句上恰有7个零点，则3的取值范围是

D.若/U）在［-£,刍上单调递增，则。的取值范围是（0,芍

643

【答案】BCD

【解析】

【分析】

化简/（X）解析式.结合周期判断A选项的正确性，结合图象变换判断B选项的正确性，结

合/（X）的零点判断C选项的正确性，结合/（X）的单调性判断D选项的正确性.

【详解】依题意〃x）=—cos（20x+g［0>0,-1</（X）<1.

对于A选项,若〃为）=1,/（w）=T，

且|5一％2|的最小值为万，

717C1

则一=ZT=>•：——:=---=冗=(0=—

人J212d2co2

故A选项错误.

对于B选项，当（y=2时，/（x）=-cos4x+

T

向右平移7个单位长度后得到丁=—cos[4(x-^+夸=-cos4%,

其为偶函数，图象关于)'轴对称.故B选项正确.

2^^2/^2^^

对于C选项，0<x<2〃，则——<2a)x+——44。万+——,

333

15jrOyr,17,IT

若/(x)在[0,2句上有恰有7个零点，则三K4wr+T(亏，

4147

解得一WGV—,故C选项正确.

2424

I十、"=71,,718汽21，八2),(0712»

对于D选项，---<X<一,则-----d----<269X4-——<---H----,

6433323

87124、八，

----+——>2k7T

若“X）在一转上递增，则<33

(DTC24C,

H<2k兀+71

.2----3

co4一6k+2

2

即42.由于左eZ,a>>0,故人=0,0</<一.

a><4k+—3

I3

所以D选项正确.

故选：BCD

【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象与性质，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.以抛物线V=2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为.

【答案】（x—；+y2=1

【解析】

【分析】

求得抛物线焦点坐标和准线方程，得到圆的圆心和半径，由此求得圆的方程.

【详解】抛物线V=2x的焦点为准线为x=-g,焦点到准线的距离为1,

所以圆的圆心为半径为1,故圆的标准方程为［x—g)+y2=l.

(1Y

故答案为：—+y2=1

【点睛】本小题主要考查抛物线性质，考查圆的方程的求法，属于中档题.

14.我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，

中岳嵩山.某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字1—5,他让

甲、乙、丙、丁、戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：

甲：2是泰山，3是华山；

乙：4是衡山，2是高山；

丙：1是衡山，5是恒山；

T：4是恒山，3是嵩山；

戊：2是华山，5是泰山.

老师提示这五个学生都只说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标数字是.

【答案】5

【解析】

【分析】

先分析甲、戊两个学生，可知甲回答的3是华山是正确的，然后依次判断丙、丁、乙即可.

【详解】若甲：2是泰山是正确的，则戊：2是华山，5是泰山都是错的，故甲：3是华山是

正确的；戊：5是泰山是正确的；丙：1是衡山是正确的；丁：4是恒山是正确的；乙：2

是岩山是正确的，故五岳之尊泰山图片上标的数字是5.

故答案为：5

【点睛】本题主要考查逻辑推理能力，属于能力提升题.

15.己知函数/tv)=|ln%|,若Q<a<b,且Ha)=f(6),则a辑b的取值范围是.

【答案】(5,+8)

【解析】

【分析】

结合函数f(x)=|lnx|的图象可判断。力的位置，即可得到。力的关系，将双变量a幽6转化

为单变量，结合函数单调性即可求解.

【详解】如图，作出函数F(x)=|lnx|的图象，由f(a)寸⑶得,

/(a)=—1ni=f(/?=)IZn.,*nl*Tna我nc^bO,<所以

44

a+4b=,由对勾函数的单调性可知，函数y=x+—在(0,1)上单调递减，故

CIX

故答案为：(5,+8)

【点睛】本题主要考查对数函数的图象翻折、对数运算及利用函数单调性求值域，属于基础

题.

16.已知水平地面上有一半径为4的球，球心为0',在平行光线的照射下，其投影的边缘轨

迹为椭圆C如图椭圆中心为〃，球与地面的接触点为反应W.若光线与地面所成角为9,

则sin6=_____________,椭圆的离心率e=.

【解析】

【分析】

O'E4

连接O。'，由锐角三角函数可得sine=33=w，在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴

长是圆的半径，如图，椭圆的长半轴长是AC,过A向8C做垂线，垂足是8,得到一个

直角三角形，得到AC的长，从而得出要求的结果.

【详解】解：连接OO',则N。'。隹，，因为O'E=4,0E=3,所以

O(7=y](yE1+OE2=V32+42=5

所以sin6==—

00,5

在照射过程中，椭圆的短半轴长｝是圆的半径R,

=4,如图.

椭圆的长轴长2。是AC,过A向8c做垂线，垂足是5,

4

由题意得：AB=2R=8,sinZACB=sin,

p•八A34

又sin，=---=—

AC5

所以AC=1()

即2a=10,a—5,

\la2-b2,25-16

.•.椭圆的离心率为3

-a-=-5-5

【点睛】本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射

下，投影时球的有关量中，变与不变的量，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.已知A3c的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,a=2.设/为线段AC上一

点，CF=0BF,有下列条件：

①c=2；②。=26；③原+及一超ab=c2.

请从以上三个条件中任选两个，求NCBE的大小和A3尸的面积.

兀

【答案】NCBF=ABF的面积为1

4

【解析】

【分析】

24

若选①②，则a=c=2,6=2石，根据余弦定理即可求出NA8C=7,结合等腰三角形

RTC

的性质和三角形的内角和得出A=C=7,再根据正弦定理求出NCBF=一,通过三角形

内角和关系求得NABRuNARB,则AR=A8=2,最后利用三角形面积公式即可求出

ABF的面积；

若选②③，。=2,6=26，a2+b2-y[3ab=c2＞可求得c=2,根据余弦定理即可求出

TTTTJL

C=~,三角形的内角和得出A=C=二，再根据正弦定理求出=通过三角形

664

内角和关系求得NABE=NAFB,则A尸=A8=2,最后利用三角形面积公式即可求出

AB尸的面积；

若选①③，则a=c=2,a2+b2--J3ah=c2＞由余弦定理可求出C=g，由a=c,结

6

TT

合等腰三角形的性质和三角形的内角和得出A=C=丁，由三角形内角和关系得出

6

2万71

AABC=7r-A-C=—,再根据正弦定理求出NC3F=一,通过三角形内角和关系求得

34

NABF=NAFB,则AF=A8=2,最后利用三角形面积公式即可求出ABE的面积.

【详解】（解法一）选①②，则a=c=2,b=25

2_yi

由余弦定理可得：cosZABC=^—^——=

2ac2

Ojr

又ZABCG（0,乃），NABC=芋，

CFBF

在8cb中，由正弦定理可得

sinNCBFsinC

•：CF=&F，：,sin/CBF=也,

2

又乙CBF<NABC=生,：.ZCBF=-

34

，川尸咛号喑,9=兀7T_57T

~6~~12

则在AB厂中，ZABF=ZAFB,

AF=AB=2,

•*-S*=gx2x2xsi吟=L

（解法二）选②③，'：a=2,b=2&，a2+b2-yf3ab=c2

/.c=2,

由余弦定理可得：cosC=—+Z?^~c2-=—»

2ab2

又Ce（O,»）,C=£,

7t2万

A=C=一,/.Z.ABC=7i—A—C=—,

63

CFBF

在BCT中，由正弦定理可得.,

sinZ.CBFsinC

CF=叵BF，sinNCBF=—

2

又NCBF<NCBA=—,NCBF=-,

34

/▲CL21715万/▲LC5乃7T_5/T

:.Z.ABF=---------=—,Z.AFB=7t-------

341212

则在AB/中，NABF=NAFB,

：.AF=AB=2,

c1cc.乃1

S^=-x2x2xsin-=l.

ABF26

（解法三）选①③，则a=c=2,a2一&ib=*

则：a1+b2—f=6ab,

由余弦定理可得：cosC=y+"L-=—，

2ab2

JT

又Ce（O,乃），C=%，

2^.ABC=冗—A.—C=—，

3

CFBF

在3CF中，由正弦定理可得〕~■--=—；

sinZCBFsinC

••,CF=>/2BF.AsinZCBF=—«

2

27r7i

又NCB/<NC3A=2,:./CBF=—,

34

7T_5/T

AZA5F=—,ZAFB=TT-—

341212

则在AB/7中，NABF=NAFB,

AF=AB=2，

c1CC.乃1

.-,S_=-x2x2xS1n-=l.

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形的面积公式，还涉及三角形的

内角和以及等腰三角形的性质，考查运算能力.

18.已知S,是等比数列｛a,,｝的前〃项和，S”W,S成等差数列，且§4—0,=—18.

（1）求数列｛&｝的通项公式;

（2）是否存在正整数〃，使得5.22020?若存在，求出符合条件的〃的最小值；若不存

在，说明理由.

【答案】（1）a„=3x（-2）n-1.（2）存在,最小值为11

【解析】

【分析】

（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得首项与公比，代入等比数列通项公式即可;

（2）先求和项，再根据奇偶讨论化简不等式，即得结果.

【详解】（1）设等比数列｛q｝的公比为°,则qw0,q/0.

S2~~S4=S3—S2,

由题意得《o

%+%+%=—18,

’23，

即厂〃闯一%q

4闯+。闻2+1/__]g

a=3,

解得4}c

q=-2.

故数列｛为｝的通项公式为%=3x(-2)i.

(2)由(1)有s“1-(-2)"・

假设存在n,使得S“>2020,则1一(一2)”>2020

即(―2)“<-2019

当〃为偶数时，(一2)”〉0,上式不成立;

当n为奇数时，(-2)"=-2"<-2019,BP2">2019

解得〃Nil

综上，存在符合条件的正整数〃，最小值为11.

【点睛】本题考查等比数列通项公式、等比数列求和公式、解数列不等式，考查基本分析求

解能力，属基础题.

19.四棱锥尸一A8C。中，PCL面4BCD,直角梯形49G9中，NB=NC冯0°,AB工,CD=\,

PC2点M在PB上旦PB4PM,如与平面也?所成角为60°.

(1)求证：。知//面~4。：

(2)求二面角8-MC-A的余弦值.

3

【答案】(1)证明见解析.(2)1

【解析】

【分析】

AP/W1

(1)在线段4?上取一点儿使4V@=1,可证CN//平面PAO,由一=—=一，

用朋4

可得MN//AP,得到MN//平面PA。，从而可证面面平行，再根据面面平行得结果；

(2)以C为原点，CB,CD,①所在直线为X轴，了轴，z轴，建立空间坐标系,用向量法求解

二面角.

【详解】(1)在线段46上取一点M使AN=C£>=1,

因为CD//A5,所以CD//AN且C£>=AN,

所以ANCO为平行四边形，

所以CN//A。，。^7y平面尸4。，4。(=平面P4/5,则。^7//平面尸/1。

MPAN1

在二角形/跖中，---=----=—,所以MN//AP,

PBAB4

加'2平面24。，4「<=平面尸4。，则犯//平面已4。

MNcCN=N所以平面松〃/平面PAD,又CMu平面MNC,

所以◎///平面PAD

(2)以C为原点，CB,CD,(T所在直线为％轴，y轴，z轴，建立空间坐标系.

PC_L面/a所以PCLC3,

又因为BCLCD,所以BC，面PCO,

所以PB在面R力的射影为PC,

所以NBPC为PB与平面PCD所成角，

所以NBPC=60,3C=2，§

所以B（2G,0,0）,P（0,0,2）,M（亨,0,|,A（2^,4,0）,D（0,l,0）,

»f7331...（3百/3）

CM--,n0,-,AM=-------,-4,-.

I22JI22J

面BMC法向量〃1=（0,1,0）,

面AMC法向量〃2=（x,y,z）

在所以〃，二26,一3,-2,

/?,-CM=0-'>

3

所以二面角B-MC-A所成角的余弦值为二

【点睛】本题考查证明面面平行和求二面角，求二面角可用定义法和向量法，一般在较复杂

的二面角选择向量法求解，属于中档题.

20.某公司为研究某种图书每册的成本费y（单位：元）与印刷数量x（单位：千册）的关系，收

集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.

20

15

10

0<'1015'20253035404550,

印刷数量〃千册

8_

8.8__

£（X,-X）2—y）z（%-"）•（%->）

Xyu

i=l1=1j=li=\

15.253.630.2692085.5-230.30.7877.049

表中%」，二岳/

X18&

（1）根据散点图判断：y=a+"与y=c+4哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费

x

y与印刷数量x的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立了关于x的回归方程（结果精确到0.01）：

（3）若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000

元？（假设能够全部售出，结果精确到D

附：对于一组数据（0，匕），（以，⑹，…，（。“，匕,），其回归直线u=的斜率和

_

2（用一。）（4一丫）

截距的最小二乘估计分别为p=上匕------=——，«=V—瓯.

£（例-⑼2

/=1

【答案】（1）y=c+@更适合.（2）y=1.22+2史.（3）至少印刷11120册.

xx

【解析】

【分析】

（1）由散点图判断，y=c+@更适合.

X

（2）令"=」，先建立y关于u的线性回归方程，根据公式可得y=L22+8.96“，再得到

X

答案.

（3）假设印刷x千册，依题意得9.22%-11.22+空）x280,解出不等式得到答案.

【详解】（1）由散点图判断，y=c+«更适合作为该图书每册的成本费八单位：元）与印

X

刷数量x（单位：千册）的回归方程.

（2）令〃=’,先建立y关于u的线性回归方程，

x

7049

由于d=-^―»8.957»8.96,

0.787

所以c==3.63—8.957x0.269々1.22，

所以/关于u的线性回归方程为y=1.22+8.96〃，

所以y关于x的回归方程为y=L22+受

X

（3）假设印刷X千册，依题意得9.22x—（L22+1）xN80,

解得xNll.12,

所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元.

【点睛】本题考查非线性回归方程及其应用，考查将非线性回归问题转化为线性回归问题求

解，考查运算能力，属于中档题.

X2y2

21.已知椭圆2—+=1(a>6>0)的左右焦点分别为A,K点."为椭圆上的一动点,

a~

△，奶为面积的最大值为4.过点K的直线/被椭圆截得的线段为闾，当ALx轴时，

同|=20.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点A作与x轴不重合的直线/与椭圆交于48两点，点4在直线％=-4上的投

影N与点6的连线交x轴于〃点，〃点的横坐标即是否为定值？若是，求出定值；若不是，

请说明理由.

r2v2

【答案】(1)—+2_=1，(2)是定值，定值为：一3

84

【解析】

【分析】

(1)由题意得S=bc=4,|PQ|=Z=20,可求得。力，得到椭圆的方程；

22

(2)已知直线斜率不为零，设直线的方程为=-2,代入工+工=1得

84

(〃/+2))，2一4冲-4=0,设46状|球2y)>i，2均不为零，得,+>2=，^，

可得8N的方程y-y=上?(*+4),令y=O,可得。点的横坐标

苏+2X2+4

为定值.

【详解】⑴由题意：&哨用的最大面积5=儿=4,|尸。|=丝=2后，

又"=尸+。2,联立方程可解得a=20,A=2，

22

所以椭圆的方程为二+乙=1;

84

(2)〃的横坐标为定值-3,理由如下:

已知直线斜率不为零，48:》=冲一2,代入会+?=1得(，町，—2『+2y2—8=0,整

理得(，律2+2),2—4my-4=0,

设A(石,乂),3(工2，%)，X，%均不为零，

An7—4y.+

y+>2=2C①，0%=•Q二②，两式相除得==_/n③

m~+2m-+2yty2

N(-4，x),，BN的方程y-y=皆/(x+4),令y=0,

...毛=--4y_4=