三角形（解析版）-中考数学二轮复习课程标准方法突破

考点13三角形

课标对考点的要求

对三角形问题，中考命题需要满足下列要求：

(1)理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。

(2)探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证

明三角形的任意两边之和大于第三边。

(3)理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。

(4)掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

(5)掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

(6)掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。

(7)证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。

(8)探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距

离相等的点在角的平分线上。

(9)理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段

两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

(10)了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的

高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°,及等边三角形的判定定理：三个角都相等的

三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。

(11)了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

(12)探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

(13)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。

(14)了解三角形重心的概念。

重要考点解读

一、三角形的基础知识

三角形的概念：由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.

(-)三角形中的重要线段

1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的分类：

(1)按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

(2)按照边分类有不等边三角形和等腰三角形(等边三角形)

3.三角形三边的关系

定理：三角形任意两边的和大于第三边.

推论：三角形任意两边的差小于第三边.

(1)理论依据：两点之间线段最短.

(2)三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这

三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.

(3)证明线段之间的不等关系.

4.三角形的高。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高

线，简称三角形的高.

三角形的高的数学语言：

如下图，AD是AABC的高，或AD是AABC的BC边上的高，或AD_LBC于D,或NADB=/ADC=N90°.

注意：AD是AABC的高O/ADB=/ADC=90°(或AD_LBC于D)；

(1)三角形的高是线段；

(2)三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；

(3)三角形的三条高：

(i)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；

(ii)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；

(iii)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.

5.三角形的中线。三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线.

三角形的中线的数学语言：

如下图，AD是AABC的中线或AD是AABC的BC边上的中线或BD=CD=‘BC.

2

A

(1)三角形的中线是线段；

(2)三角形三条中线全在三角形内部；

(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；

(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

6.三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三

角形的角平分线.

三角形的角平分线的数学语言：

如下图，AD是AABC的角平分线，或/BAD=/CAD且点D在BC上.

注意：AD是AABC的角平分线ONBAD=NDAC=，NBAC(或NBAC=2/BAD=2NDAC).

2

(1)三角形的角平分线是线段；

(2)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；

(3)三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；

(4)可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.

知识点四：三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

(二)与三角形内角外角有关的问题

1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

2.推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

3.三角形的面积

S=­Xah

2

二、全等三角形基本知识

1.基本概念

(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.

(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.(注意对应的顶点写在对应的位置上)

(3)对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.

(4)对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.

(5)对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.

2.全等三角形的表示

全等用符号“丝”表示，读作“全等于"。如aABC丝ADEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3.全等三角形的性质：

(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；

(2)全等三角形的周长相等，面积相等；

(3)全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等.

4.三角形全等的判定定理

(1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)

(2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)

(3)边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。

(4)角角边定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成AAS).

(5)直角三角形全等的判定：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直

角边”或“HL”)

三、角的平分线基本知识

1.角的平分线定义：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因

为0C是/AOB的平分线，所以/1=N2=，/AOB,或/A0B=2Nl=2/2.

2

类似地，还有角的三等分线等.

A

2.作角平分线

角平分线的作法（尺规作图）

①以点。为圆心，任意长为半径画弧，交OA、0B于C、I）两点;

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线0P,射线0P即为所求.

3.角平分线的性质

（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：；0P平分NAOB,AP_LOA,BP±OB,.\AP=BP.

（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：AP10A,BPXOB,AP=BP,.•.点P在NAOB的平分线上.

注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫

做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：

如下图，AD是△ABC的角平分线，或NBAD=/CAD且点D在BC上.

说明：AD是AABC的角平分线o/BAD=/DAC=LNBAC(或/BAC=2NBAD=2/DAC).

2

(1)三角形的角平分线是线段；

(2)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部：

(3)三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；

(4)可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.

4.角平分线的综合应用

(1)为推导线段相等、角相等提供依据和思路；

(2)在解决综合问题中的应用.

四、线段垂直平分线问题

1.线段的垂直平分线定义

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.

2,线段垂直平分线的做法

求作线段AB的垂直平分线.

D

作法：(1)分别以点A,B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C,D两点；

说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了.

(2)作直线CD,CD即为所求直线.

说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.

3.线段垂直平分线的性质：

(1)线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

(2)线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一.同时

也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线

段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线

段两个端点的距离相等的所有点的集合.

4.三角形的外心

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心一

外心.

说明：

（1）三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.

（2）锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与

斜边中点重合.

（3）外心到三顶点的距离相等.

5.尺规作图

线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，

画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.

最后要点题即“XXX即为所求”.

6.中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型

类型一：线段的垂直平分线定理。

类型二：线段的垂直平分线的逆定理。

类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用。

类型四：尺规作图。

五、等腰、等边三角形问题

（一）等腰三角形

1.定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫

顶角，底边和腰的夹角叫底角.

2.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角“）.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.

3.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.

4.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴.

5.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的

相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

(~)等边三角形

1.定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.

2.性质

性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。

3.判定

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形。

六、直角三角形问题

(-)勾股定理和勾股定理逆定理

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a'+bJc?。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c),那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数

能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即4+从二。?中，a,〃，c为正整数时，称a,

b,c为一组勾股数

(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足.+62=。2；②都是正整数.两者缺一不可.

(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2+4=c2(但不一定是勾股数)，以它们为边

长的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm为边长的三角形是直角三角形.

(二)直角三角形的判定及性质

1.直角三角形的判定

(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形；

(2)两锐角互余的三角形是直角三角形；

(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形；

(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。

2.直角三角形的性质

(1)直角三角形的两锐角互余；

(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；

(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；

(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

重要问题解题思维方法总结

一、三角形中的三调重要线段的价值

三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的

关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系.另外，要注意区分三角形的中线和中位线.中线：连接三

角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.

二、判定全等三角形方法概述

1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其

中至少有一个元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知边(角)准确地确定要补充的边(角)，

有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：

'找夹角fSAS

(1)已知两边v找直角HL

找第三边一SSS

.一边为角的对边f找另一角fAAS

；一［找夹角的另一边一SAS

(2)已知一边、一角一边为角的邻边找夹角的另一角一ASA

找边的对角fAAS

.I

'找夹边fASA

(3)已知两角＜辽曰7224A

找具中一角的对边fAAS

2.若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补

短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目.

三、等腰或者等边三角形解题方法要领

1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时需要判断几何图形中是否存在等腰

（边）三角形。可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其

定义和有关性质，快捷地证出结论。等腰（等边）三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形

的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.

2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常

将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三

角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。

四、直角三角形问题

在紧紧抓住勾股定理后，在直角三角形中，30。的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算

三角形的边长，也是证明一边（30。角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据.当题目中已

知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生

的问题转化为熟悉的问题.

五、勾股定理

1.应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆“2+/>2=^时，斜边只能是以若6为斜边，则关系

式是“2+/42；若“为斜边，则关系式是按+°2=。2.

2.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解

时必须进行分类讨论，以免漏解.

中考典例解析

【例题1】（2021山东济宁）如图，四边形A8CD中，ZBAC^ZDAC,请补充一个条件，使△

ABC丝△AOC.

【答案】AD=AB（答案不唯一）.

【解析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可.

添加的条件是

理由是：在△A8C和。中

，AC=AC

<ZBAC=ZDAC>

AD=AB

.•.△ABC^AADC(SAS)

故答案为：AD=AB(答案不唯一).

【例题2】(2021浙江绍兴)如图，在△ABC中，ZA=40°,E分别在边AB,AC上，连结CD,BE.

(1)若/ABC=80°,求NBDC,NA8E的度数；

(2)写出/BEC与NBDC之间的关系，并说明理由.

【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到NBOC=/8CO=L（18（r-80°）=50°,根据三角形的内角定理

2

得到/ACB=180°-40°-50°=60°,推出△BCE是等边三角形，得到NE8C=60°,于是得到结论；

⑵设/8反'=5/引北=。,由于a=/A+NA8E=40°+/ABE,根据等腰三角形的性质得到/CBE=NBEC

=a,求得NA8C=NABE+NCBE=ZA+2ZABE=40°+N48E,推出NC8E=NBEC=a，于是得到结论。

解：（1）,.•/A8C=80°,BD=BC,

/.ZZBCD=A（1800-80°）=50°,

2

,.•N4+NABC+N4CB=180°,NA=40°,

ZACB=180°-40°-50°=60°,

"：CE=BC,

.'.△BCE是等边三角形，

AZEBC=60°,

NABE=/ABC-NEBC=2Q°;

（2）NBEC与N8OC之间的关系：ZBEC+ZBDC=\IO°,

理由：设NBEC=a,NBOC=0,

在△A8E中，a=NA+/A8E=40°+NABE,

,;CE=BC,

：.ZCBE=ZBEC=a,

NABC=NABE+NCBE=/A+4NABE=40°+NABE,

\'CE=BC,

:.NCBE=NBEC=a,

：.NABC=NABE+NCBE=NA+2NA8E=40°+2ZABE,

在△BOC中，BD=BC,

：.ZBDC+ZBCD++2NA8E=180°,

.♦.0=70°-NABE,

.,.a+p=40°+ZABE+100-ZABE=]10°,

：.ZBEC+ZBDC=M0°.

【例题3】（2021云南）如图，在四边形A8CQ中，AD=BC,AC^BD,AC与2。相交于点E.求证：Z

DAC=NCBD.

【答案】见解析。

【解析】证明ACD4四△OCB(SSS),即可求解.

证明：在△DC4和AOCB中，

AD=BC

,AC=BD,

DC=CD

.♦.△CCA丝ZXOCB(SSS),

：.ZDAC=ZCBD.

【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

【例题4】(2021江西)如图，在△ABC中，乙4=40°,NABC=80°,BE平分乙4BC交AC于点E,

E£>_LAB于点。，求证：AD=BD.

B

【答案】见解析。

【解析】先证明NA=NA3E得到△A8E为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得到结论.

【解答】证明：：BE平分乙48c交4c于点E,

/.ZABE=XzABC=^X80°=40°,

22

VZ4=40°，

ZA=ZABE,

...△A8E为等腰三角形,

"JEDA-AB,

:.AD=BD.

【例题5】用1876年美国第十七任总统加菲尔德Garfield的方法证明勾股定理

【答案】见解析。

【解析】以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2.把

这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

,/Rt△EAD<RtACBE,

二ZADE=ZBEC.

ZAED+ZADE=90°,

二ZAED+ZBEC=90°.

,ZDEC=180°-90°=90°.

/.△DEC是一个等腰直角三角形,

它的面积等于4c2

又：ZDAE=90°,ZEBC=90°,

AD〃BC.

ABCD是一个直角梯形，它的面积等于S==(a+b)2……①

又因为这个直角梯形的面积等于三个小三角形面积之和，即5=2X{ab+1c2……②

由①②得

\（a+b）'=2Xab+yc"

化简：a2+b2=c\

从而结论得到证明。

考点问题综合训薮

一、选择题

1.（2021新疆）如图，在RtZXASC中，ZACB=90°，NA=30°,A8=4,CO_LAB于点。，E是A8的

【答案】A

【解析】利用三角形的内角和定理可得NB=60°,由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE=BE=2,利

用等边三角形的性质可得结果.

VZACB=90",NA=30°,

.*.ZB=60°,

是AB的中点力B=4,

.•.CE=B£=1ABJ-X4=2-

.♦.△3CE为等边三角形，

'：CD1.AB,

.•.D£=BD=±BEU.X2=1-

2.（2021重庆）如图，在△ABC和△OCB中，ZACB=-ZDBC,添加一个条件，不能证明△ABC和△DCS

全等的是（）

D

A./ABC=NDCBB.AB=DCC.AC=DBD./A=NO

【答案】B

【解析】根据证明三角形全等的条件AAS,SAS,ASA,SS5逐一验证选项即可.

在△A8C和△OCB中，

■:NACB=/DBC,BC=BC,

A：当NABC=N£>CB时，/\ABC^/\DCB(ASA),

故A能证明；

B：当A8=£>C时，不能证明两三角形全等，

故B不能证明；

C：当AC=O8时，AABgADCB(SAS),

故C能证明；

D：当NA=N£)时，AABC^ADCB(AAS),

故。能证明.

3.(2021浙江绍兴)如图，Rt^ABC中，NBAC=90°工，点。是边8c的中点，以A。为底边在其右侧

4

作等腰三角形AOE,连结CE,则出的值为()

AD

D.2

【答案】D

【解析】设DE交4c于7,过点E作EH_LCD于凡首先证明E4=EZ)=EC,再证明/E8,可得结论。

设£>£交AC于T,过点E作于H.

E

VZBAC=90°,BD=DC,

:・AD=DB=DC,

：.ZB=ZDAB9

•；NB=NADE,

・・・NDAB=NADE,

:.AB〃DE、

：.ZDTC=ZBAC=90°,

■:DT〃AB,BD=DC,

：.AT=TCt

:・EA=EC=ED,

：.ZEDC=ZECD,

9：EHLCD.

:・CH=DH,

•.*DE//AB,

：.ZEDC=ZB,

：.ZECD=ZB,

cosZECH=cos>B=—y

4

•♦•C—H_—8—，

EC4

•EC—EC=o

ADCD

故选：D.

4.（2020•枣庄）如图，在△ABC中，A8的垂直平分线交A8于点。，交BC于■点、E,连接AE.若BC=6,

AC=5,则△ACE的周长为（）

A

D,

BEC

A.8B.11C.16D.17

【答案】B

【解析】在△ABC中，AB的垂直平分线交A8于点£）,交8c于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则4

ACE的周长为

垂直平分A8,

:.AE=BE,

：.AACE的周长=AC+CE+AE

^AC+CE+BE

=AC+8C

=5+6

=11.

5.（2020•自贡）如图，在RtAABC中，N4CB=90°,NA=50°,以点8为圆心，8C长为半径画弧，

交AB于点D,连接CD,RiJZACD的度数是（）

【答案】D

【解析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论.

\•在RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZA=50°,

.•.NB=40°,

•；BC=BD,

；.NBCD=NBDC=与(180°-40°)=70°,

/.ZACD=90°-70°=20°,

6.（2020•甘孜州）如图，等腰4ABC中，点。，E分别在腰AB,AC上，添加下列条件，不能判定△ABE

也△ACQ的是（）

A.AD=AEB.BE=CDC.ZADC^ZAEBD.NDCB=/EBC

【答案】B

【解析】利用等腰三角形的性质得NABC=NACB,AB=AC,然后根据全等三角形的判定方法对各选项进

行判断.

:△ABC为等腰三角形,

AZABC^ZACB,AB^AC,

...当AD=AE时，则根据“SAS”可判断△ABEg/XACD；

当NAEB=NADC,则根据“A4S”可判断△ABE-zMCD：

当NDCB=NEBC,则/A2E=NACZ),根据“ASA”可判断△ABEg△ACZ).

7.（2020•陕西）如图，在3X3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若BD

是△ABC的高，则的长为（）

B.士后

A.c*"D.—y/13

13

【答案】D

【解析】根据勾股定理计算4c的长，利用面积差可得三角形A8c的面积，由三角形的面积公式即可得到

结论.

由勾股定理得：AC=、/22+32=旧,

SMBC=3X3-1xlx2-|xlx3-1x2x3=3.5,

17

••-AC•BD=一,

22

/-V13BD=7,

7、U

:.BD=IT-

8.(2020•临沂)如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,CD//AB,则N8CO=()

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【解析】根据等腰三角形的性质可求NACB,再根据平行线的性质可求NBCD

・・•在△A8C中，AB=ACfZA=40°,

AZACB=70°,

YCD〃AB,

：.ZACD=180°-ZA=140°,

:.NBCD=ZACD-NAC8=70°.

9.（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB=AC,NC=65°,点力是8C边上任意一点，过点。作。尸〃

A8交AC于点E,则//石。的度数是（）

BD

A.120°B.130°C.145°D.150°

【答案】B

【解析】由等腰三角形的性质得出NB=NC=65°,由平行线的性质得出NCOE=N3=65°,再由三角形

的外角性质即可得出答案.

\'AB=ACtZC=65°,

，/B=NC=65°,

'：DF//AB,

・・・NCDE=NB=65°,

AZFEC=ZCDE+ZC=650+65°=130°.

10.(2020•南充)如图，在等腰△ABC中，3。为NA3C的平分线，ZA=36°,AB=AC=afBC=b,则

CD=()

a+ba-b

A.------B,C.a-bD.b-a

22

【答案】C

【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出8Q=3C=A。，进而解答即可.

•.•在等腰△4BC中，8拉为NA8C的平分线，ZA=36°,

AZABC=ZC=2ZABD=72°,

・・・NA8£>=36°=NA,

:・BD=AD,

：.ZBDC=ZA+ZABD=12°=ZC,

:.BD=BC,

'：AB=AC=a,BC=b,

：.CD^AC-AD=a-b

11.(2020•山东烟台)如图，△。4人为等腰直角三角形，OAi=l,以斜边OA2为直角边作等腰直角三角

形OA2A3,再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4,…，按此规律作下去，则04的长度为()

A.(0)nB.(V2)c.(―)nD.(―)

'22

【答案】B

【解析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案.

•.•△OA1A2为等腰直角三角形，OAi=1=(0)。，

：.OM=y/2:

2

AOA2A3为等腰直角三角形，...OA3=2=(V2)：

♦..△OA3A4为等腰直角三角形，...OA4=20=(夜)3.

VZXOA4A5为等腰直角三角形，OOA5=4=(>/2)4...........

.♦.OAn的长度为(百)山.

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键.

12.(2022江苏苏州模拟)AABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为()

A.42B.32C.42或32D.37或33

【答案】C.

【解析】此题应分两种情况说明：

(1)当△"(：为锐角三角形时，在Rt^ABD中，

^VAB^AD^VlB2-122，

在RtAACD中，

CD=VAC2-AD2=V132-122=5

，BC=5+9=14

.'.△ABC的周长为：15+13+14=42；

(2)当aABC为钝角三角形时，

在RtaABD中，BD=^/AB2_AD2=Ayi52_122=9,

在RtaACD中，CD=7AC2-AD^V132-12^5-

BC=9-5=4.

.,.△ABC的周长为：15+13+4=32

...当△ABC为锐角三角形时，Z^ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，ZXABC的周长为32.

13.(2022江西模拟)/XABC中，a、b、c是三角形的三条边，若(a+b)2-c2=2ab,则此三角形应是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定.

V(a+b)2-c2=2ab,

.­.a2+b2=c%

...△ABC是直角三角形.

二、填空题

1.(2020•苏州)如图，在△ABC中，已知AB=2,AD±BC,垂足为。，BD=2CD.若E是A。的中点，

则EC=

【答案】1

【解析】设AE=ED=x,CD=y,根据勾股定理即可求出答案.

设A£=EC=x,CD=y,

C.BD^ly,

'：AD1BC,

：.ZADB=ZADC=90°,

在Rt/\ABD中，

/MB2=4jc2+4y2,

•*.x2+y2=L

在RtZkCDE中，

EC1=x1+y2—\,

：.EC^\

2.（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△ABO和△ABC中，ND4B=/C48,点A、B、E在同一条直线上,

若使△48。岭△ABC,则还需添加的一个条件是.（只填一个即可）

【答案】4D=AC（NC=NC或/A8D=NA8C等）.

【解析】利用全等三角形的判定方法添加条件.

•；NDAB=NCAB,AB=A8,

,当添加A£）=AC时，可根据“SAS”判断△ABOZZ\A8C；

当添加/Q=NC时，可根据“AAS”判断△AS。丝△ABC；

当添加时，可根据“ASA”判断△A8Q丝/XABC.

3.(2020•辽阳)如图，在△ABC中，M,N分别是和4C的中点，连接MM点E是CN的中点，连

接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC=4,则CD的长为.

【答案】2

【解析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=a8C=2,MN//BC,依据(A4S),即可

得到CD=MN=2.

,：M,N分别是AB和AC的中点，

是△4BC的中位线，

:.MN=%C=2,MN//BC,

:.NNME=/D,ZMNE=ZDCE,

..•点£是CN的中点，

:.NE=CE,

:.AMNE咨ADCE(A4S),

：.CD=MN=2.

4.(2020•安顺)如图，△ABC中，点E在边AC上，EB=EA,/A=2NC8E,CO垂直于BE的延长线于

点。，BD=8,4c=11,则边BC的长为.

B

E

D

【答案】4V5

【解析】延长8。到F,使得。尸=8£>,根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案.

延长3。到F,使得

'：CD1BF,

.•.△8C/是等腰三角形，

：.BC=CF,

过点C点作C，〃A8,交于点”

,NABD=NCHD=2/CBD=2NF,

：.HF=HC,

VBD=8,AC=11,

：.DH=BH-BD=AC-BD=3,

:.HF=HC=8-3=5,

在Rt/XCDH,

二由勾股定理可知：CD=4,

在RtABCD中，

：.BC=v'82+42=4访

5.（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是

【答案】10或11.

【解析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可.

①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4,

•••此时能组成三角形，

二周长=3+3+4=10；

②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4,

此时能组成三角形，

所以周长=3+4+4=11.

综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11.

6.（2020•济宁）已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是—（写出一个即可）.

【答案】4

【解析】根据三角形的三边关系”任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取

值范围，即可得出结果.

根据三角形的三边关系，得

第三边应大于6-3=3,而小于6+3=9,

故第三边的长度3<xV9,这个三角形的第三边长可以，4.

7.（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6,E,尸是边8C上的三等分点.分别过点E,F

沿着平行于BA,CA方向各剪一刀，则剪下的△。£尸的周长是.

【答案】6

【解析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解.

•.•等边三角形纸片A8C的边长为6,E,尸是边BC上的三等分点，

：.EF=2,

•:DE"AB、DF//AC,

...△OE厂是等边三角形，

剪下的△£）"的周长是2X3=6.

8.（2020•黑龙江）如图，RtZ\ABC和尸中，NB=ND,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加

一个条件___________,使RtAABC和RtAEDF全等.

【答案】AB=ED.

【解析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB=£。或8c=。尸或AC=EF或AE=CF等，

只要符合全等三角形的判定定理即可.

添加的条件是：AB=ED,

理由是：,在△ABC和△££）尸中

Z="

-AB=ED1

^LA=£DEF

:.△ABCWXEDF（ASA）

9.（2020•北京）如图，在△ABC中，AB=AC,点。在BC上（不与点B,C重合）.只需添加一个条件

即可证明△ABO乡△ACQ,这个条件可以是（写出一个即可）.

【解析】由题意可得NA8C=/4C。，AB^AC,即添加一组边对应相等，可证△A8O与△AC。全等.

"：AB=AC,

：.ZABD=ZACD,

添加BD=CD,

.,.在△48。与△4CO中

AB=AC

zABD=£ACD'

（BD=CD

：./\ABD^/\ACD（SAS）,

10.（2020•泰州）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形

成的角为65°,则图中角a的度数为.

【答案】140°.

【解析】求出NACQ,根据三角形内角和定理求出NAFC,求出NOP8,根据三角形的外角性质求出即可.

如图，

VZACB=90°,NDCB=65°,

/.ZACD=ZACB-ZACD=900-65°=25°,

VZA=60°,

.\ZDFB=ZAFC=180°-ZACD-ZA=180°-25°-60°=95°,

VZ£>=45°,

AZa=ZD+ZDFB=450+95°=140°

11.（2020贵州黔西南）如图所示，在RtaABC中，ZC=90°,点D在线段BC上，且NB=30°,ZADC

=60°,BC=3g，则BD的长度为.

4

【答案】2G

【解析】首先证明DB=AD=2CD,然后再由条件BC=3后可得答案.

解:VZC=90°,ZADC=60°,

/.ZDAC=30°,

「1

ACD=—AD.

2

VZB=30°,ZADC=60°,

AZBAD=30°,

・・・BD=AD,

・・・BD=2CD.

•••BC=3g，

.♦.CD+2CD=3石,

，CD=6，

/.DB=2x/3.

【点拨】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30。角所对的直角

边等于斜边的一半.

三、解答题

1.（2021四川泸州）如图，点。在AB上，点E在AC上，AB=AC,NB=NC,求证：BD=CE.

CE只要证明4Z）=AE即可，而证明aABE四△AC。，则可得AE）=AE.

证明：在△48E与△ACO中

ZA=ZA

<AB=AC，

ZB=ZC

/.AABE^AACD(ASA).

：.AD=AE.

:.BD=CE.

2.（2020•荷泽）如图，在△A8C中，/ACB=90°,点E在AC的延长线上，于点C,若8C=

ED,求证：CE=DB.

【答案】见解析。

【解析】由“AAS”可证△ABCgZkAEZ）,可得AE=A8,AC=A。，由线段的和差关系可得结论.

证明：'CEDLAB,

AZADE=ZACB=90°,ZA=ZA,BC=DE,

：./XABC^AAED(A45),

：.AE=AB.AC=AD,

:・CE=BD.

3.(2020•南充)如图，点C在线段3。上，且AB_L3£>,DELBD,AC_LCE,BC=DE,求证：AB=CD.

【解析】证明(ASA),可得出结论.

证明：'：ABLBDfED工BD,AC1.CE,

AZACE=ZABC=ZCDE=90°,

ZACB+ZECD=90°,ZECD+ZCED=90Q,

ZACB=ZCED.

在△ABC和△CDE中，

NACB=NCED

BC=DE'

LABC=Z.CDE

：./\ABC^ACDE(ASA),

：.AB=CD.

4.(2020•铜仁市)如图，NB=/E,BF=EC,AC//DF,求证：△ABC9XDEF.

【答案】见解析。

【解析】首先利用平行线的性质得出NACB=N川芯进而利用全等三角形的判定定理ASA,进而得出答案.

证明：'.,AC//DF,

：.NACB=ZDFE,

'：BF=CE,

：.BC=EF,

在△ABC和△£)《尸中，=EF，

&CB=UFE

.♦.△ABC四△DEF(ASA).

5.(202()•无锡)如图,已知A8〃C£>,AB=CD,BE=CF.

求证：(1)AABF^ADCE；

(2)AF//DE.

【分析】(1)先由平行线的性质得/B=NC,从而利用SAS判定△48FgZ\OCE；

(2)根据全等三角形的性质得/4FB=/DEC,由等角的补角相等可得N4FE=NOEF,再由平行线的判

定可得结论.

【解答】证明：(1)♦.,AB”。。，

:.NB=NC,

,:BE=CF,

:.BE-EF=CF-EF,

即BF=CE,

在△A8尸和△£)(?£■中，

AB=CD

,:zB="，

=CE

:.AABFgADCE(SAS)；

(2)'：/\ABF^/\DCE,

二ZAFB=ZDEC,

NAFE=/DEF,

：.AF//DE.

6.(2020•台州)如图，已知AB=AC,AD=AE,8。和CE相交于点O.

(1)求证：△ABO名ZVICE；

(2)判断△BOC的形状，并说明理由.

【答案】见解析。

【分析】(1)由“S4S”可证△48£>g/\ACE；

(2)由全等三角形的性质可得NA8D=N4CE,由等腰三角形的性质可得NA8C=N4C8,可求/08C=

NOCB,可得BO=C。，即可得结论.

【解答】证明：(1)；A8=AC,ZBAD^ZCAE,AD^AE,

：.^ABD^^ACE(SAS)；

(2)/XBOC是等腰三角形，

理由如下：

/XABD咨4ACE,

：.NABD=ZACE,

'：AB^AC,

：.ZABC=ZACB,

：.ZABC-NABD=ZACB-ZACE,

：.NOBC=NOCB,

•：BO=CO,

••.△80C是等腰三角形.

7.(2020•温州)如图，在△ABC和△£>“中，AC=DE,ZB=ZDCE=90°,点A,C,。依次在同一

直线上，且A8〃£>£

(1)求证：△AB8XDCE.

(2)连结AE,当BC=5,AC=12时，求4E的长.

【分析】(1)由“A4S”可证aABC也△£><:£

(2)由全等三角形的性质可得CE=BC=5,由勾股定理可求解.

【解答】证明：(1)-：AB//DE,

：.ZBAC=ZD,

又：NB=NDCE=90°,AC=DE,

:.△ABg/XDCE(A4S)；

(2)"：/\ABC^/\DCE,

：.CE=BC=5,

VZAC£=90°,

：.AE=vRC2+CE2=<25+144=13.

8.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，ZB=ZC,过BC的中点。作