计信081《数值分析》试卷A及答案

《数值分析》考试试卷A适用专业：计信081考试日期：2021年6月试卷所需时间：2小时闭卷试卷总分100一、填空题：（6小题共10空每空2分，共20分）1、近似数x*=0.231关于精确值X=0.229有位有效数字.2、设f（x）=X3+x一1，则差商（均差）f[0,1,2,3]=,f[0,1,2,3,4]4、求方程x=f（x）根的牛顿迭代格式是5、设矩阵AIL，计算矩阵A的各种范数，IAIIiaiif=删广.6、解线性方程组Ax=b的雅可比迭代法收敛的充要条件是，其中迭代矩阵二、判断题：（对的打“J”，错的打“X”，每题2分，共20分）1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的（）.2、高精度运算可以改善问题的病态性（）.3、两个相近数相减必然会使有效数字损失（）.4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多（）.5、高次拉格朗日插值是常用的（）.6、如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼积分一定存在（）.7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n次，最多可达到2n+1次（）.8、范数为零的矩阵一定是零矩阵（）.9、奇异矩阵的范数一定是零（）.10、雅可比迭代也高斯一塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快（）.三、（10分）已给sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差.四、（10分）求次数小于等于3的多项式P（x），使其满足条件P（0）=0，P’（0）=1,P（1）=1,P’（1）=2.五、（10分）确定求积公式jhf（x）dx俐Af（-h）+A0f（0）+Af（h）中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.六、（10分）用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组1-x+1x+1x=9411521631=8一x311-x2+云x+5x1+x2+2x=38七、（10分）设线性方程组x+0.4x+0.4x=1<0.4x+x+0.8x=20.4x1+0.8x2+x3=3考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯一塞德尔迭代法的收敛性.八、（10分）求方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式.（1）x=1+土，迭代公式x=1+-1；x2k+1x2k⑵x3=x2+L迭代公式xk+1=E+1；⑶x2=土，迭代公式xk+1=；试分析每种迭代公式的收敛性.《数值分析》试卷A答案5、设矩阵A(1—2)l34/适用专业：计信081考试日期：2021年6月试卷所需时间：2小时闭卷试卷总分100一、填空题：（6小题共10空每空2分，共20分）1、近似数X*=0.231关于真值X=0.《数值分析》试卷A答案5、设矩阵A(1—2)l34/2、设f(x)=x3+x—1，则差冏(均差)f[0,1,2,3]=[0,1,Z3,4]1,0)4、求方程X=f(x)根的牛顿迭代格式是.(x=x—：n—")n+1n1—f(x)，计算矩阵A的各种范数，|A||=,|A||.(6;7;5.477;5.46)6、解线性方程组Ax=b的雅可比迭代法收敛的充要条件是，其中迭代矩阵为.(p(J)<1,J=D—1(L+U),A=D—L—U)二、判断题：（对的打“J”，错的打“X”，每题2分，共20分）1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的（V）.2、高精度运算可以改善问题的病态性（X）.3、两个相近数相减必然会使有效数字损失（X）.4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多（V）.5、高次拉格朗日插值是常用的（X）.6、如果被积函数在区间［a,b］上连续，则它的黎曼积分一定存在（V）.7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n次，最多可达到2n+1次（V）.8、范数为零的矩阵一定是零矩阵（V）.9、奇异矩阵的范数一定是零（X）.10、雅可比迭代也高斯一塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快(X).三、(10分)已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274，用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差.解：用线性插值计算：sin0.3367=L(0.3367)=y+y1―气(0.3367—x)10x—x0=0.314567+0.01892x0.0167=0.3303650.02截断误差：R1(0.3367)<|sin0.3367—匕(0.3367)<0.92x10-5.用抛物插值计算：Sin0.3367=0.330374；误差：|七(0.3367)<6x0.9493x0.0167x0.033x0.0233<2.0132x10-6四、（10分）求次数小于等于3的多项式P（x），使其满足条件P（0）=0，P’(0)=1,P(1)=1,P’(1)=2.解：本题是标准的埃尔米特插值问题，可直接套用公式，利用两点的埃尔米特插值公式，以(x)=(1+2———x^)(——x^)2=x2(3—2x),1x—xx—xp(x)=(x—x)(x-x1)2=x(x—1)2,00x—xp(x)=(x—x)(x—‘0)2=(x—1)x2,11x1—x0P(x)=x2(3—2x)+x(x—1)2+2x2(x—1)=x3—x2+x五、(10分)确定求积公式jhf(x)dx注Af(—h)+A0f(0)+Af(h)中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.解：jhf(x)dx总hf(—h)+少f(0)+hf(h)—h333具有3次代数精度.六、（10分）用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组11X+-X+—X1526311X+-X+—X14253-x+x+2x=82123解:LU6045-361315Ux9,y-4,y476LU6045-361315Ux9,y-4,y476154:-227.08-tv（10分）设线性方程组x+0.4x+0.4x0.4x+x+0.8x2,0.4x+x+0.8x2,0.4x+0.8x+x考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯一塞德尔迭代法的收敛性.解：（1）雅可比迭代法的迭代矩阵0-0.4-0.4B=D-i(L+U)=-0.40-0.8-0.4-0.80|XI-B|=(X-0.8)(X2+0.8X-0.32)Jp(B)=1.0928203>1J所以，雅可比迭代法不收敛.(2)高斯一塞德尔迭代法的迭代矩阵-0.4-0.40.16-0.64-0.4-0.40.16-0.64-0.0320.672所以，高斯一赛德尔迭代法收敛.S0p(B)<B=0.8<1S00八、(10分)求方程X3-X2-1=0在X=1.5附近的一个根，设将方程改写成下

0列等价形式，并建立相应的迭代公式.X=1+—,迭代公式X=1+—；X2k+1X2kX3=X2+1,迭代公式X=Jx2+1;k+1、kX2——-—,迭代公式x—y,—；X-1k+1/Bk-1试分析每种迭代公式的收敛性.解：考虑x=1.5的邻域[1.3,1.6].0⑴当xg[1.3,1.6]时，(p(x)=1+—g[1.3,1.6],,X2TOC\o"1-5"\h\z991kp,(x)=-—<——=0.910=L<1,故迭代X=1+—在[1.3,1.6]上整体收敛.X31.32灯1X2k12x1.63(1+1.3)%当