刚体的有限转动 欧拉定理

刚体的有限转动欧拉定理将刚体上的不动点记为0,如图4-2所示过该点建立刚体的连体基和考察刚体运动的参考基，分别记为护=(rA别记为护=(rA图4-2定点运动刚体的连体基

刚体在参考基*上的姿态与该刚体连体基『相对于参考基旷的姿态是一致。它可以用基即相对于基『的方向余弦阵（即Arb）来描述，由式（1.3-3），有(4.1-1)(4.1-1)从刚体运动的角度，刚体当前的姿态『是以前某一姿态的改变，这种改变称为刚体绕定点0的有限转动。如果认为参考基才是刚体的前一个姿态，那么刚体当前的姿态相对于前一个姿态的方向余弦阵为Arb。考虑该方阵本征根方程，由于式（1.3-8）与（1.3T5），它可表为弹出-纠=龙-〔州+血+£）#+（4】+血+的护_1=。图4-3两个基的一次转动矢量可知该本征根方程至少存在一个九可知该本征根方程至少存在一个九=1的根。将该本征根九=1的本征矢量记为芒。在基『的坐标由此可得到如下结论：对于任意两个基『与基『存在一个矢量昌，它在两基的坐标阵相等（见图4-3）。此结论也可理解为将矢量芒作为一个旋转轴，基带是基*绕$转过一个有限角度后到达的新的方位。考虑到此矢量的存在性，可得到如下的定理：刚体绕定点的任意有限转动可由绕过该点的某根轴一次有限转过某个有限角度实现。此定理称为欧拉有限转动定理。将单位矢量戸称为由基『到基即一次转动矢量。转过的有限角gr称为一次转动角，记为丫。从上面分析不难看出，刚体相对于基的不同姿态均可绕相应的一次转动矢量和作相应的一次转动角来实现，也就是说刚体的不同姿态对应不同的一次转动矢量和一次转动角。如前所述，矢量的坐标阵与矢量基有关。对于两个不同的矢量基*与『，同一个矢量圧分别有两个坐标阵ar与ab,它们之间应存在一定的关系。在讨论此关系前，需先引入方向余弦阵的概念。对于两个不同的矢量基与，即(1.3-1)

定义以下3X3方阵为基沪相对于基*的方向余弦阵：duf川二十.护】 （1.3—2）如果所定义的参考基£为公认或在约定的情况下，基旷相对于基£的方向余弦阵Arb有时可简写为Ab或A。展开式（1.3-2）有22210fefe(1.3-3)22210fefe(1.3-3)可见方向余弦阵的元素为两个基的基矢量的点积，又由矢量的点积公式，这些点积为单位矢量夹角的余弦，这也就是将矩阵Arb称为方向余弦阵的原因。方向余弦阵元素间几何约束方程既然纠凡/凡」（j=l,2,3）为基矢量幻在*上的坐标阵，则由基矢量的性质，可得到如下15个关系式：=>■4 =珂1血斗珂1血+AiAi==>■4 =珂1血斗珂1血+AiAi=oe2°e?=O=血円3十+j43Jj^3=0AA=AsAi+AsAiAsAi=。AiAs-血血

lAiAs-AiAs;地1(1.3-6)(1.3-7a)(1.3-7b)(1.3-7c)(1.3-8a)(1.3-8b)(1.3-8c)(1.3-8c)由于式(1.3-7)的3个方程描述三个基矢量正交，式(1.3-8)的9个方程表示三个基矢量依次右旋正交。后9个方程可由前3个方程得到，故这12个式子只有3个独立，加上(1.3-6)的3个方程，这样方向余弦阵中的9个量需满足6个独立的方程，称为方向余弦阵元素的几何约束方程。由此可知，9个方向余弦矩阵的元素中只有3个是独立的。例1.3-1定义的两个基护与N不变，在斜剖面对角线上定义一矢量d=BP。写出该矢量在基护与計的坐标阵。解：故矢量匝在基芒的坐标阵与坐标方阵分别为解：故矢量匝在基芒的坐标阵与坐标方阵分别为(1)(1)75-1P』=1『=101丄C1一1由式(1.3-13)，利用例1.3-1已得到的方向余弦阵式(1)，可得到矢量臣在基N的坐标阵为(2)(2)读者不难从图中验证此解的正确性。同样由式(1.3-14)可得到矢量臣在基N的坐标方阵为\|IX

O1O

0^0\|IX

O1O

0^0XI——|\=V12D72丁

^-20^-2011]1-1O-O0忑2^2-oO

2272_2读者也可由式(2)直接根据坐标方阵的定义得到"，过程比较简单，结果与上式一致。方向余弦阵的一些性质方向余弦阵有如下一些性质：基『相对于基*的方向余弦阵Arb和基*相对于基'的方向余弦阵Abr互为转置。冷y=@u屮 (1.3-9)当两个基的基矢量的两两方向一致，则它们的方向余弦阵为三阶单位阵。才=Fj (1.3-10)若有三个基'、与'，其中'相对于'和相对于'的方向余弦阵分别为Ars与Asb，有(1.3-11)事实上，由矢量基的变换公式，有er= =屮且临“

读者可根据上标的排列记住上述关系。此关系可推广到有限个基的方向余弦阵转换。方向余弦阵是一正交阵。事实上，作为式(1.3-11)特殊情况，考虑到式(1.3-9)与(1.3-10)，有才=才==Zj故有本性质，即(1.3-12)(1.3-12)不同基下矢量坐标阵间的关系式为(1.3-13)(1.3-13)事实上，对于矢量a，由式嘔-扩爲-a40邑爲0根据方向余弦矩阵定义即可得式(1.3-13)。arar=(1.3-14)请读者注意坐标阵与坐标方阵变换式(1.3-13)与(1.3-14)的差别。事实上，如果引入任意矢量,r- 孑er考虑到表1.2-1与上式，矢量式 在基占与*下的坐标式分别可表为cfi=沪矿=abA^brcr=arbr

fb=j4trrr由式(1.3-13), ，将以上两式代入，经整理有A^arbr二abA^br考虑到矢量的任意性，两边乘Arb考虑到性质(4)即可得式(1.3-14)。方向余弦阵的行列式等于方向余弦阵的行列式等于1，即(1.3-15)(1.3-15)事实上，考虑到 j=1,2,3)为基矢量引在『上的坐标阵，由行列式定义与表1.2