2017高等代数第3章课件

Zhanglizhuo-§3.5矩阵Zhanglizhuo-一、矩阵的行秩与二、初等变换对矩阵行秩、列秩的影响、矩阵的秩与其最高阶非零子式的关一、矩阵的行秩与引言为了求向量组的秩，我们来考虑矩阵，矩阵的行((Zhanglizhuo-设J是一个45阶梯形 eJ00

0000

2 e300 a1b2c30，于是a1b2c3是J的主元，12345Zhanglizhuo-先求J的列秩。由 c2a1b2c3 a1b1c1 3a1b1c10bc ,2,200c3 Zhanglizhuo- 因000 000 000000 向量 b1 c1 d10 b c d

b1 c1 e10 b c e ,2,2,

2与 ,2,2,2都线性相关0 0 c3 d3

0 0 c3 e3 因此123是12345的一个极大线性无关组，从而矩阵的列秩rank{1,2345}=3。Zhanglizhuo-再求J的行 a1b2c3因此a1b1c10

1a1b1c1d1e1,2(0b2c2d2e2),3(00c3d3线性无关，又4=O，因此123是1234的一个Zhanglizhuo- cd 0002J2

10J的行秩=J的列秩=J的非零行数Zhanglizhuo-同理可证Zhanglizhuo-二、初等行变换对矩阵行秩、列秩的影【证】设矩阵A的行向量组为1ijm，设1,…,i,…,ki+j…,显然B的行组可由A的行组线性表出，又由A的行组可由B的行组线性表出，即二向量组等Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-设矩阵A经初等行变换变成矩阵B，且设Bj1j2jr列构成B的列向量组的一个极大线性无关组，则A的第j1,j2,…,jr列构成A的列向量组的一个极大线性Zhanglizhuo-12n，则齐次线性方齐次线性由于C经初等行变换变成D，因此上述两个方程组同Zhanglizhuo-从而12n线性相12n线性相特别地，若x1=k1x2=k2xn=kn是上方程组的非零解，

k3

kn 此时也

k3kn Zhanglizhuo-j1,j2,…,jr列组成的矩阵A1变成了矩阵B的第j1,j2,…,jr换下，A的第j1,j2,…,jr,k列组成的矩阵A2变成了B的第j1,j2,…,jr,k列组成的矩阵B2,由题设,B2的列向量组线性相关,于是由(1)知,A2的列向量组线性相关，故A的第j1,j2,…,jr列构成A列组的一个极大线性无关组。从而A的列秩=r=B的列秩。Zhanglizhuo-【注】矩阵的初等行变换不改1、矩阵的2、矩阵的列向量组的线性相关3、矩阵的4、矩阵的任部分列向量间的线性相关Zhanglizhuo-0 0 0 0 001212

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 Zhanglizhuo-A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩Zhanglizhuo-定义1矩阵A的行秩与A的列秩统称为矩阵的秩，记rank(A)Zhanglizhuo-推论5设矩阵A经过初等行变换化成阶梯形矩阵JA的秩等于J的非零行的数目。设J的主元所在的第j1,jr列，则A的第j1j2jr列构成A的列向量组的一Zhanglizhuo-上述方法也可用来解决下列问10只要把每个向量写成列向量，组成一个矩阵20Zhanglizhuo-推论6rank(AT)=rank(A)【证】AT的行(列)向量组是A的列(行)向量组，因Zhanglizhuo-矩阵也有初等列变；ikii上述三种变换称为矩阵的初等列变换Zhanglizhuo-换变成矩阵BT，于是据推论6和定理2，Zhanglizhuo-三、矩阵的秩与矩阵的最高阶非零子式 Ai1,i2,…,第j1,j2,…,jr列线性无关，它们组成矩阵A2，则A2是r级矩阵，且A2的列向量组线性无关，因此A20A有一个r阶子式A20Zhanglizhuo-设t>r，且tmin{m,n}，任取A的一个t阶子Ak1,k2,,ktl,l,, 设A的列向量组的一个极大线性无关 所以A的第l1l2lt列可以

1

,,j j

线性表由Ak1,k2,,kt由l,l,, 线性相Zhanglizhuo-于是

Ak1,k2,,l,l,,

综上述得，A的秩为A的最高阶非零子式的阶【注】求矩阵秩的又一方确定矩阵的非零子式的最高阶Zhanglizhuo-推论 一个n级矩阵A的秩等于n当且仅当A0【证】n级矩阵A的秩等于A的非零子式的最高阶数为A0Zhanglizhuo-依推论9，方阵A为满秩矩阵当且仅当A0Zhanglizhuo-推论 设mn矩阵A的秩为r，则A的不等于零的r 【证】设A的秩为rAk1k2,kr l,l ,

0,从而这r阶子 列线性无关,由于A的列秩为r,因此A的第l1l2lr列类似可证A的行向量组的极大线性无关组的结论。Zhanglizhuo-10矩阵的秩=矩阵的行秩==其行空间的维数=其列空间的维数=非零子式的最高阶20矩阵的非零子式所在的行(列)都线性无关Zhanglizhuo-例1设向量-7 1 3 5 -4-2 - 1 3 -2 , , , , 1

5 -

-7

1-

8 4

0

- 【解】以12345为列向量组成矩阵A，对A施以Zhanglizhuo- 4 1 2 A

000

3 0 rank(A)=3，所以1,25为12345的一个Zhanglizhuo-000100011000A410，8110 Zhanglizhuo-【归纳方法】先以向量组为列组成矩阵20Zhanglizhuo-例2设向量

，

51

1p2

10p p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出Zhanglizhuo-【解】以1,2,3,4,为列组成矩阵A，对其施以初等12112110211560101A

4 003 p 3

p p当p2时,rank(A)=4,即1,2,3,4线性无Zhanglizhuo-继续对所得矩阵施以初等行变

3p4

p2

00 p

p

p1p2可由1,2,3,4线性表出23p4p1 p p