勾股定理的常见解题误区

慧眼识错剖析勾股定理及其逆定理的认识误区湖北省恩施市龙凤初中（衙门台）邹兴平（邮编：445003）勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理，其应用非常广泛，但在应用时，常会出现这样或那样的错误，现归纳剖析如下：一、审题不仔细，受定势思维影响错点1、在Rt△ABC中，两边长分别为a=3cm,b=4cm，则的长为5cm。错因分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边。正解：（1）当a,b为两直角边时，为斜边，的长为；（2）当b为斜边，a为直角边时，为直角边，的长为。则的长为5cm或cm。二、考虑不全面造成漏解错点2、在△ABC中，两边长分别为第三边上的高为，则此三角形的面积为．错因分析：初看上去，上述答案没有错误，其实答案不完整，因为∠C除了为锐角外，还可能是钝角．DCBA图2正解：当∠C为DCBA图2DCBA图1DCBA图1∴，从而得；当∠C为钝角时，如图2，，从而得。则此三角形的面积为或．三、忽视最大角对的边是最长边错点3、已知△ABC的三边的长分别是BC=41，AC=40，AB=9．则∠C=90°。错因分析：直角三角形中哪个角是直角，应以最大边所对的角来确定，这里的最大边为BC，其所对的角为A，所以这里的∠A=90°．而不是∠C=90°．正解：因为BC=41，AC=40，AB=9，所以BC2=AC2+AB2，所以∠A=90°，∠C≠90°。点评：应用勾股逆定理时,应注意把握三角形边角之间的对应关系，一定要注意最长边对的角为直角．四、“勾股定理”与其“逆定理”混淆不清错点4、在△ABC中，a＝12，b＝5，c＝13，由勾股定理可知△ABC为直角三角形．错因分析：本题错在混淆了勾股定理和它的逆定理，其实本题应依据勾股定理的逆定理来判断△ABC为直角三角形．正解：因为a2+b2=122+52=169，c2=132=169，所以a2+b2=c2．根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．五、把实际问题转化为直角三角形模型时错解。错点5、如图，圆柱体的底面周长为80,高为9，BC为直径．一只蚂蚁从点A沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程大约是41cm。错因分析：假设把这个圆柱体沿着直线AB剪开，摊平得到一个长方形，如图，则A、C两点间的最短线路长就是线段AC的长，即为蚂蚁爬行的路程．由题意可知：AB＝9，BC等于圆周长的一半，即BC＝40．在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，则AC＝41．得蚂蚁爬行的最短路程大约是41．而没有考虑其他方法将圆柱表面展开，来求展开图中两点之间的最短距离。正解：当蚂蚁从点A沿线段AB爬行，再沿线段BC爬行到点C时，AB+BC=9+80÷兀＜35，蚂蚁爬行的最短路程大约是（9+80÷兀）．【知识点拨】（1）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长为a、b、c且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（3）运用勾股定理计算三角形的边长时，注意勾股定理的使用条件：三角形必须是直角三角形；注意找准斜边和直角边，避免出现斜边与直角边的思维定势上的错误，防止因思考片面而造成的漏解或错解；注意勾股定理的变形使用．如，由a2+b2=c2可变形为a2=c2－b2，c2－a2=b2等；注意从实际问题中构建直角三角形模型．（4）运用勾股定理的逆定理时，应用三角形较小两边的平方和（a2+b2）与最大边的平方（c2）作比较，看它们是否满足a2+b2=c2，若满足，该三角形是直角三角形;否则，不是直角三角形．练习：1、在△ABC中，的对边分别为，且，则（）（A）为直角；（B）为直角；（C）为直角；（D）不是直角三角形。2、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）（A）1、2、3（B）（C）（D）3、下列长度的各组线段构成勾股数的是（）A、,,B、6,8,10C、n2－1，2n，n2＋1（n＞1）D、,,14、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC＝a，AC＝b，若AB＝16，CD＝6，那么a－b=（）A、8B、－8C、±85、如右图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A． B． C． D．6、有一个长方体硬纸盒，其棱长AB=3，BC=1，AA1=2，一只蜘