方程及其应用

中国教育出版网三、方程(组)及其应用吴明威【近四年江苏省十三大市中考方程(组)及其应用的分值与比率】(仅供参考)2006年2007年2008年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市1411．671512．501310．83苏州市86．40129．60118．46无锡市107．69118．4675．38常州市1411．67119．171210．00镇江市1411．6797．501411．67扬州市85．3321．331510．00泰州市1510．0064．001711．33南通市2116．1596．001610．67盐城市149．3332．0032．00淮安市32．311610．671610．67宿迁市128．00149．33128．00徐州市149．3396．00106．67连云港市1711．331711．33128．00合计164134158平均13．6710．0711．178．1613．179．47【09年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为11分，比率为7．33%】【课标要求】1．能够根据具体问题中的数量关系，列出方程(组)，解决简单的问题，体会方程(组)是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2．经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程．3．会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程(方程中分式不超过两个)、可化为一元二次方程的分式方程、简单的三元一次方程组、简单的二元二次方程组(一个二元一次方程和一个二元二次方程组成)．4．理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．5．掌握一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系．6．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．【课时分布】方程(组)及其应用这一部分在第一轮复习时大约需要5个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)课时数内容1一元一次方程、二元(三元)一次方程组、分式方程１一元二次方程、分式方程(换元法)、二元二次方程组１一元二次方程根的判别式、根与系数的关系１方程(组)的应用１方程(组)单元测试【知识回顾】1．知识脉络实际问题实际问题方程一元一次方程二元一次方程一元二次方程分式方程二元一次方程组三元一次方程组方程(组)的应用2．基础知识(1)方程的有关概念含有未知数的等式叫做方程．能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．只含有一个未知数的方程的解，也叫做根．求方程的解的过程叫做解方程．(2)一元一次方程①只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式是．②一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．(3)二元一次方程(组)①含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程．②含有两个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．求方程组的解的过程叫做解方程组．③二元一次方程组的解法：基本思想是消元，基本方法是代入消元法和加减消元法．(4)三元一次方程(组)①含有三个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程．②含有三个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做三元一次方程组．③三元一次方程组的解法：基本思想是消元，通过消元把三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程，基本方法是代入消元法和加减消元法．(5)一元二次方程①只含有一个未知数，且未知项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为()，其中分别叫做二次项，一次项；分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项．②一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．③一元二次方程()的根的判别式()，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．以上结论，反之亦成立．注：当≥０时，一元二次方程有两个实数根．④一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程(是已知数，)的两根为、，则．(6)分式方程①分母中含有未知数的方程叫做分式方程．②分式方程的解法：其基本思想是将分式方程转化为整式方程，其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解分式方程必须要验根．有时也可采用换元法．(7)二元二次方程(组)①含有两个未知数，且未知项的最高次数是２的整式方程叫做二元二次方程．②含有两个未知数，且未知项的最高次数是２，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元二次方程组．③二元二次方程组的解法：基本思想是消元和降次，基本方法是代入消元法和加减消元法．(8)列方程(组)解应用题的一般步骤①审清题意，找出等量关系；②设未知数；③列出方程(组)；④解方程(组)；⑤检验方程(组)的根；⑥作答．3．能力要求例1解下列方程(组)：(1)；(2)；①②①②(3)；(4①②①②【分析】(1)本题有配方法、因式分解法、公式法等多种解法，选用因式分解法较为适宜；(2)直接去分母法可以化为整式方程，但通过观察方程结构特点，采用换元法较为简便；(3)此题可以用代入消元法或加减消元法，本题选用加减法消字母y较为适宜；(４)二元二次方程组一般用代入消元法，本题的几何意义是求抛物线与直线的交点坐标．【解】(1)∵，∴∴．(2)设y＝，则原方程可化为：，解得：，∴或，∴，经检验：是原方程的根，∴原方程的根是．(3)①2＋②，得，解得，把代入①，得y＝4，∴原方程组的解是．(4)把方程①代入方程②，并整理得：，解得：，当时，y1＝0；当时，y2＝4；∴原方程组的解是，【说明】(1)解分式方程的关键在于确定最简公分母转化为整式方程，由于可能产生增根，所以必须检验；(2)在解方程(组)时，若能先观察方程(组)的结构特征，运用整体代入、换元等数学思想方法可以使解题简便．例2先化简，再求值：，其中，a是方程的根．【分析】本题应先化简，再根据方程根的含义，把代入方程并将看成整体代入化简后的代数式中求值．【解】原式是方程的根，∴原式【说明】本题考查代数式的化简、方程的解的含义，当然也可利用方程根的含义解出a的值代入求解，本题运用整体带入的数学思想方法较为简便．例3已知一元二次方程的根为3和x1，则p＝_______；x1＝______．【分析】本题可以直接利用根与系数的关系建立方程组直接求解．【解】由题意知：解之得：．【说明】本题也可利用根的定义，将－3带入方程，求得p的值，再通过解方程求得另一根，教学时可培养学生自己发现此类题目用根与系数关系来解比较适宜．例4已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由一元二次方程可得k≠0；另有两个不相等的实数根可得△＞0；从而求出k的范围；(2)由条件联想到根与系数关系，由此得到关于k的方程．【解】(1)由题意知：k≠0且△＝＞0，∴k＞且k≠0(2)不存在．x1＋x2＝，x1x2＝又，可求得k＝－3<所以满足条件的k值不存在．【说明】本题考查一元二次方程的根的判别式以及根与系数关系，根据题意建立关于k的方程或不等式，解题后对于k的取值要尤其注意检查是否保证二次项系数不为零、≥０等相关的条件．例5为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是()A． B．C． D．【分析】利用增长率公式可以直接得出方程．【解】选择B．【说明】增长率(降低了)问题是初中数学中的一个典型问题，掌握了这种模式的应用题的规律，便会使这类问题迎刃而解．教学中应培养学生建模思想．例4某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册．(1)求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？(2)有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？【分析】本例第(1)问通过列二元一次方程组解决，第(2)问利用不等式解题，然后在(1)，(2)的基础上作出决策分析，较好地考查了学生综合运用数学知识解决简单问题的能力．【解】(1)设文化衫和相册的价格分别为x元和y元，则解得．答：一件文化衫和一本相册的价格分别为35元和26元．(2)设购买文化衫t件，则购买相册本，则，解得．∵为正整数，∴t＝23，24，25，即有三种方案．第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元；第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元；第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元；所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．【说明】本题考查能否利用“方程与不等式”来解决决策型问题，好的决策型问题在考查同学们运用知识解决实际问题能力方面具有较好的效度．例5某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．(1)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？(2)10000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？(3)请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润？【分析】(1)根据利润＝销售额－成本额的等量关系建立方程；(2)利用配方法求出表示利润的代数式的最大值；(3)由函数的性质判断何时获利．【解】(1)设每个书包涨价元，则书包售价为元，书包销售量为个，由题意得，解得：，．当时，；当时，，都符合题意．答：每个书包售价为50元或80元；(2)10000元不是最大利润，设每个书包涨价x元，利润为y元，则，当时，，∴当每个书包售价为65元时，获得最大利润为12250元．(3)在中，令，得：，解得，，故抛物线与x轴交于(－10，0)，(60，0)，由图象知当，，即当售价在大于30元且小于100元时均获利润．【说明】本题考查利用等量关系建立一元二次方程以及用配方法求代数式的最值．对于方程的解要根据具体问题检验是否合理；在配方时注意不能改变代数式的值，二次项系数只能提取而不能约去；抓住一元二次方程与二次函数间的关系，运用数形结合的思想，化难为易．【复习建议】1．正确理解课标要求，通过复习使学生进一步理解和掌握解方程(组)的基本思想和方法，提高基本运算能力．解方程(组)主要采用加减消元法、代入消元法、因式分解法、公式法、去分母法等；对于特殊形式的方程(组)可采用整体代入、换元法等特殊的方法求解．2．列方程(组)解应