平面向量与复数提升卷(文)

单元检测五 平面向量与复数(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷 (选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间 100分钟，满分 130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z满足i＝3＋4i，则|z|等于()zA．1B．2C. 5D．5答案D解析3＋4i＝4－3i，因为z＝＝－(3＋4i)ii所以|z|＝42＋－32＝5.2．若z＝(1＋i)2z1)12A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i答案B解析∵z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，z12i2i1＋i－2＋2i＋i.∴＝＝＝2＝－1z21－i1－i1＋i3．设平面向量＝(－1，2)，＝(2，)，若∥，则|＋|等于()mnbmnmn5B.10C.2D．35答案 A解析 由m∥n，m＝(－1，2)，n＝(2，b)，得b＝－4，故n＝(2，－4)，所以m＋n＝(1，－2)，故|m＋n|＝ 5，故选A.→ → → → →4.如图所示，向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，点A，B，C在一条直线上，且AC＝－4CB，则( )1A．c＝21a＋23bB．c＝23a－21b14C．c＝－a＋2bD．c＝－3a＋3b答案D→→→1→→1→→4→1→41解析c＝OB＋BC＝OB＋3AB＝OB＋3(OB－OA)＝3OB－3OA＝3b－3a.故选D.5．设向量a＝(x，1)，b＝(1，－3)，且a⊥b，则向量a－3b与b的夹角为()ππ2π5πA.6B.3C.3D.6答案D解析因为a⊥，所以x－3＝0，解得x＝3，所以＝(3，1)，－3＝(0，4)，则baabcos〈a－3b，b〉＝a－3b·b－43＝－35π＝，所以向量a－3b与b的夹角为，|a－3|·||4×226bb故选D.6.如图，在正方形→→→)ABCD中，E为DC的中点，若AD＝λAC＋μAE，则λ－μ等于(A．1B．3C．－1D．－3答案D→1→→→→→解析E为DC的中点，故AE＝2(AC＋AD)，所以AD＝－AC＋2AE，所以λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3，故选D.7．已知向量a＝(1，x)，b＝(x，4)则“x＝－2”是“向量a与b反向”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若a∥b，则x2＝4，解得x＝±2，当且仅当x＝－2时，向量a与b反向，所以“x＝－2”是“向量a与b反向”的充要条件，故选C.8．在△ABC中，边BC的垂直平分线交→→BC于点Q，交AC于点P，若|AB|＝1，|AC|＝2，则→→)AP·BC的值为(233A．3B.2C.3D.2答案B→→→→→→→→→→→1→解析由题知QP⊥BC，所以QP·BC＝0，则AP·BC＝(AQ＋QP)·BC＝AQ·BC＋QP·BC＝2(AB→→→1→2→23＋AC)·(AC－AB)＝2(AC－AB)＝2，故选B.9．已知a＝(2，cosx)，b＝(sinx，－1)，当x＝θ时，函数f(x)＝a·b取得最大值，则sin2θ＋π等于()472B.2272A.C．－D．－10101010答案D解析f(x)＝a·b＝2sinx－cosx＝5sin(x－φ)，其中sinφ＝12，cosφ＝，θ－φ55＝2kπ＋π，∈Z，解得θ＝2π＋π＋φ，∈Z，所以sinθ＝cosφ＝2，cosθ＝－2kk2k51423sinφ＝－5，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－5，cos2θ＝1－2sinθ＝－5，所以π272sin2θ＋4＝2(sin2θ＋cos2θ)＝－10，故选D.10.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F→→→→是AD上的两个三等分点，BE·CE＝2，BF·CF＝－1，则→·→等于()BACAA．5B．6C．7D．8答案C解析→→→2→2→2→2→→→2→2→2→2BE·CE＝ED－BD＝4FD－BD＝2，BF·CF＝FD－BD＝－1，所以FD＝1，BD＝2，因此→·→＝→2－→2＝9→2－→2＝7，故选C.BACAADBDFDBD11．(2018·西宁检测)定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，||＝5，·＝－6，则|×|等于()babab3A．6B．－8或8C．－8D．8答案Da·b－634解析cosθ＝|a||b|＝10＝－5，且θ∈[0，π]，则sinθ＝5，则|a×b|＝|a|·|b|sinθ410×5＝8，故选D.→→M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点→→12．在△ABC中，CM＝2MB，过点P，Q，若AP＝mAB，→＝→，则＋的最小值为()AQnACmnmA．63B．23C．6D．2答案D→2→1→解析由已知易得，AM＝3AB＋3AC，→2→1→∴AM＝3AP＋3AQ.mn又M，P，Q三点共线，1＋＝1，3m3n2n∴m＝3n－1，易知3n－1>0.2nmn＋m＝m(n＋1)＝3n－1·(n＋1)24＝93n－1＋3－1＋5≥2，n当且仅当m＝n＝1时取等号．∴mn＋m的最小值为 2.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题 5分，共20分．把答案填在题中横线上 )13．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在 y轴负半轴上，则实数 a的值是________．答案 －1解析 因为复数(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是 (a2－1，2a)．又因为该点在 y轴负半轴上，a2－1＝0，所以有 解得a＝－1.2a<0，414．在△ABC中，AB＝5，AC＝7.若O为△ABC的外接圆的圆心，则→→AO·BC＝________.答案12解析取BC的中点D，由O为△ABC的外接圆的圆心得→→→→→OD⊥BC，则AO·BC＝(AD＋DO)·BC＝→→→→→→1→→→→1→2→2AD·BC＋DO·BC＝AD·BC＝2(AC＋AB)·(AC－AB)＝2(AC－AB)＝12.15．欧拉在1748年给出了著名公式eiθ＝cosθ＋isinθ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e＝2.71828，根据欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ，任何一个复数z＝r(cosθ＋isinθ)，都可以表示成z＝reiθ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，iiz1________象限．若复数z1＝2e3，z2＝e2，则复数z＝z在复平面内对应的点在第2答案四解析1i3＝2cosπ＋isinπ因为z＝2e33＝1＋i＝cosπ＋isinπ＝i，3i，z2＝e22211＋3i1＋3i－i所以z＝z2＝i＝i－i＝3－i.复数z在复平面内对应的点为Z(3，－1)，点Z在第四象限．→→→S，12SS，则1＝______.S2答案16解析设E为AB的中点，连接，延长到，使＝4，因为点O为△内一点，OEOCDODOCABC→→→→→→E，O，C，D共线，且满足OA＋OB＋4OC＝0，所以OA＋OB＋OD＝0，则点O是△ABD的重心，则11S1OD∶OE＝2∶1，所以OC∶OE＝1∶2，则CE∶OE＝3∶2，则S1＝3S△BCE＝6S△ABC，所以1＝6.2S三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知向量a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，c＝(1，1)．求向量a与b的夹角的大小；若c∥(a＋kb)，求实数k的值．解(1)设向量a与b的夹角为α，则cosα＝a·b－3－22＝＝－，|a|·|b|10·52又α∈[0，π]，53πa与b的夹角的大小为3π所以α＝4，即向量4.a＋kb＝(－3＋k，1－2k)，因为c∥(a＋kb)，所以1－2k＋3－k＝0，4 4解得k＝3，即实数 k的值为3.18．(12分)已知a＝(3，－2)，b＝(2，1)，O为坐标原点．(1)若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，求实数m的取值范围；(2)设→＝，→＝，求△的面积．OAaOBbOAB解 (1)∵a＝(3，－2)，b＝(2，1)，∴ma＋b＝(3m＋2，－2m＋1)，a－2b＝(－1，－4)，令(ma＋b)·(a－2b)<0，6即－3m－2＋8m－4<0，解得m<，51 1∵当m＝－2时，ma＋b＝－2a＋b，a－2b与ma＋b方向相反，夹角为平角，不合题意．1∴m≠－ ，∴若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，的取值范围为－∞，－116∪－，.m225设∠AOB＝θ，△OAB面积为S，1则S＝2|a|·|b|sinθ，∵sin22a·b2，θ＝1－cosθ＝1－|a|·|b|∴4S2＝|a|2|b|2·sin2θ|a|2|b|2－(a·b)265－16＝49.7∴S＝2.→ →19．(13分)如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足AP＝λPB.61→→→(1)若λ＝2，用向量OA，OB表示OP；(2)若|→|＝4，|→|＝3，且∠＝60°，求→·→取值范围．OAOBAOBOPAB解(1)∵→＝1→，∴→－→＝1(→－→)，AP2PBOPOA2OBOP3→→1→→2→1→∴2OP＝OA＋2OB，即OP＝3OA＋3OB.(2)→→→→→→，∵OA·OB＝|OA|·|OB|·cos60°＝6，AP＝λPB(λ>0)→→→→＋λ)→→→∴OP－OA＝λ(OB－OP)，(1OP＝OA＋λOB，→1→λ→∴OP＝1＋λOA＋1＋λOB.→→→∵AB＝OB－OA，→→·(错误!－错误!)∴OP·AB＝错误!＝－1→2＋λ→2＋1－λ→·→1＋λOA1＋λOB1＋λ1＋λOAOB－16＋9λ＋6－6λ3λ－1013＝1＋λ＝1＋λ＝3－1＋λ.13∵λ>0，∴3－1＋λ∈(－10，3)．→→．∴OP·AB的取值范围是(－10，3)20．(13分)已知向量＝3sinx，1，＝cosx，cos2x，记f(x)＝·.m4n44mn(1)若f(x)＝1，求cosx＋π3的值；(2)在锐角三角形 ABC中，内角A，B，C的对边分别是 a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(2A)的取值范围．f(x)＝m·n＝xx2x解(1)3sin4cos4＋cos43x1x1＝2sin2＋2cos2＋2x＋π1＝sin26＋2.由f(x)＝1，得sinx＋π＝1，262π2xπ1所以cosx＋3＝1－2sin2＋6＝2.7(2)因为(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sin A－s