分式解题技巧

例1例1解方程T+V+Tx-2x-ax-4x-6一、裂项法 宀―……分析方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子.根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分将分子化为1.解原方程可化为(疋一刃+1,(x-8)+l(x-4)+l,(x-6)+l(x-4) x-61x-2 x-8(x-4) x-61x-2 x-8即—+—=—+ ,x-2 x-8 x-4 x-6移项得士-士=士-士'22通分得解之得x=5‘经检验x=5是原方程的解..•.X2—14x+48=X2—6x+8,例3解方程：-L--—二、局部通分法 分析用去分母化整式方程的常规办法来解，将会带来繁琐的运算，如能适当局部通分，并辅以除法求解，将会得到较为理想的效果. 解局部通分得‘a去分母，得X2—7x+10=X2—9x+18.故2x=8.・°・x=4.经检验知x=4是原方程的解.分式运算中的“七巧” 1•巧用公式的基本性质X-1例1计算口一例1计算口一(x-2X X22•巧用逐步通分法例^简在+丄+"+仁X-—22•巧用逐步通分法例^简在+丄+"+仁亍分析若一次性完成通分，运算量很大，注意到(1—x)(l+x)=l—X2,而(1—X2)(l+x2)=l—x4，可以用逐步通分法化简.解原式=▲+厶+二=宀+宀=宀1-x2 1+x21+x4 1+x1 盪了 4/ 2瓦 13．巧用运算律 例3计算1一盜1+X81+J1+瓦$ 1+3．巧用运算律 例3计算可以先用加法交换律整理顺序如下再用逐步通分法化简．可以先用加法交换律整理顺序如下再用逐步通分法化简．例4化简解例4化简解原式==［胚务+畠+胚匕「冬型=(-)2+2(-)+1(乘法分配律)XX ■4．巧用已知条件例5当4．巧用已知条件例5当x2－4x＋1=0时，求各…士)的值•解原式吕-刖解原式吕-刖为了求出代数式的值，将已知条件变形为为了求出代数式的值，将已知条件变形为x2+1=4x,则原式=手=4ba兰_5•巧用乘法公式 例6计算Jb^ba兰_5•巧用乘法公式 例6计算Jb^a解应用立方和公式原式6．巧变形1例7计算1b + +・・・+ 0+1)0+2)(X+2)(x+3)(X+99)(x+100)分析我们注意一个事实2 5-3 1 1 ==3x53x5 3 5?4 7-3 1 1 = =3x7 3x7 3 丁般地有耳abab1 12 5-3 1 1 ==3x53x5 3 5?4 7-3 1 1 = =3x7 3x7 3 丁般地有耳abab1 1ababba针对本题1_11(x+l)(x+2)_ _x+211_11(x+99)(x+100)=x+99_x+100解:原式=7n~x+2+x+2_7T3+'_x+1x+100991 1x+99x+100(x+l)(x+100)7．巧换元 例8化简b3a通过换元，降低了式子中字母的次数，便于计算．@+l)g+2)仗+3)6+4)+1例9计算 解把分子括号适当搭配［(a+l)(a+4)][(a+2)(a+3)]+l=(a2+5a+4)(a2+5a+6)+1.这时若把a2+5a+5看作m 贝Ua2看作m 贝Ua2+5a+4=m—1a2+5a+6=m+1原式_(m_1)山+1)+1m2-1+1 =mm=a2+5a+5讨论分式问题的四点注意1.讨论分式有无意义时，要注意对原分式进行讨论，不能在约分后再讨论•因为约分后常会使未知数取值范围扩大.例1当富取何值时，分式,+2『有意义.x-x-6错解原式=x+2

仗错解原式=x+2

仗+2)(x-3)由X—3H0得xH3.•:当xH3时，原分式有意义.分析上述解法是错误的，事实上当x=-2时，原分式也没有意义．2．讨论分式的值为零时，不但要使分子的值为零，而且还要注意使分母的x=1时，分式的分母为零，分式无意义．值不能为零．例2当盜为何值时，分式J二值不能为零．例2当盜为何值时，分式J二3的值为零错解由x2-1=0，得x=±1．当汁士时分式庄二的值为零分析当3．讨论繁分式有无意义时，不能只讨论最后一层分母，而且要注意对每层例3芷为何值时，繁分式」^有意义.分母都要讨论. 错解由x-1H0得xHl. ・••当xHl时，原繁分式有意分析原分式中1+亠是分母，当諏值使每一层的分母的值义. 都不为零时，繁分式才有意义.4.讨论分式方程的解时，不但要使各分母的值不能为零，还要注意分子为例4解关于超的方程二=