8-7方向导数与梯度

#章节题目第七节方向导数与梯度内容提要方向导数的概念及计算梯度的概念与几何意义重点分析方向导数的计算梯度概念的理解难点分析梯度概念的理解梯度的几何意义题布P602、4、7、10备注教学内容一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行.二、方向导数的定义讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题.设函数Z=f(x,y)在点P(x,y)的某一领域U(P)内有定义,自点P引射线L,设x轴正向到L射线的转角为0，并设p'(x+Ax,y+Ay)为L上的另一点oI•.・IPP'I=p=\.1(Ax)2+(Ay)2,且Az=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y),考虑生,当P'沿着l趋于P吐Imf(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)是否存在？P p-o P定义 函数的增量f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)与PP'两点间的距离p=\；'(Ax)2+(Ay)2之比值，当P'沿着l趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数在点 P沿方向l的方向导数.*Sf f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)TOC\o"1-5"\h\z记为—=lim .Sl p-o p依定义，函数f(x,y)在点p沿着x轴正向e={1,0}、y轴正向e={0,1}的方向1 2导数分别为f,f;xy定理如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，那末函数在该点沿任意方向

L的方向导数都存在，且有 空与cos干+fsin中，其中w为x轴到方向LTOC\o"1-5"\h\zdl dx dy的转角.证明由于函数可微，则增量可表示为Sf Sff(x+Ax,y+Ay)—f(x,y)=——Ax+—Ay+o(p)Sx Sy两边同除以p,得到f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)SfAxSfAyo(p) = , + , + p Sxp Sypp设—为cosw,Ay为sinwTOC\o"1-5"\h\zp p故有方向导数Sf ].f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)—=lim Slp-0 pSf Sf=cosw+—sinw.Sx Sy例1求函数z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数.f f 兀解这里方向l即为PQ={1,-1},故x轴到方向l的转角w=--4SzSz•・■—=e2y=1；—=2xe2y=2,Sx(1,0)(1,0) Sy(1,0)(1,0)所求方向导数二■=cos(--)+2sin(--)= .Sl 4 4 2例2求函数f(x,y)=x2-xy+y2在点(1，1)沿与x轴方向夹角为a的方向射线l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有(3)等于零?(1)最大值； (2(3)等于零?解由方向导数的计算公式知SfSl(1,1)=f(1,1)cosa+f(1,1)sina=(2x-y)cosa+(2y-x)(1,1)sina,(1,1)=cosa+sina=。2sin(兀

a+—),4故(1)=-时，方向导数达到最大值＞5；4(2)(3)匹时，方向导数达到最小值-v2；4”和。=三时，方向导数等于0.4 4推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数uff(%,y,z)，它在空间一点P(%,y,z)沿着方向L的方向导数，可定义为SL=limf(%+A%,y+Ay,z+Az)-f(%,y,z)(其中p=\.;(A%)2+(Ay)2+(Az)2)设方向L的方向角为a,p,yA%=pcosa,Ay=pcosP,Az=pcosy,同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有L=Sfcosa+LcosP+Lcosy.Sz设n是曲面2%2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u1 1上(6%2+8y2)2在此处沿方向n的方向导数.z解令F(%,y,z)=2%2+3y2+z2一6,F'=4,FP=6,FP :=2,Pn=\;42+62+22=2寸'14,方向余弦为2cosa=~^=v14cospSuIz\.'6%2+8y2cosy6 Su8yJ14'Syp z\；6%2+8y2<14.;V1466%2+8y2犯SuSu Su Su11故——=(—cosa+—cosp+—cosy)=一snS% Sy Sz7PP三、梯度的概念问题：函数在点P沿哪一方向增加的速度 最快？定义设函数z=f(%,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点TOC\o"1-5"\h\zP(%,y)eD，都可定出一■个向量i+©^/，这向量称为函数z=f(%,y)在点d% dyP(%,y)的梯度，记为gradf(%,y)=—i+—j•d% dy设e=cos干i+sin9j是方向l上的单位向量，由方向导数公式知sf Sf Sf .Sf Sf .—=—cos9+—sin9={—,—}•{cos9,sin9}Sl S% Sy S% Sy=gradf(%,y)•e=Igradf(%,y)Icos9,其中9=(gradf(%,y)ee),当cos(gradf(%,y),5)=1时，工有最大值.Sl结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为Igradf(%,y)I="Sf-]+SL .Sfs%当f不为零时，%轴到梯度的转角的正切为tan9=1y.s% f在几何上z=f(x,y)表示一个曲面曲面被平面z=c所截得(所得曲线在xoy面上投影如图等高线的画法

sf一sf一sf-gradf(%,y,z)=——i+——j+——k.S% Sy Sz类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.类似地，设曲面f(%,y,z)=c为函数u=f(%,y,z)的等量面，此函数在点P(%,y,z)的梯度的方向与过点P的等量面f(%,y,z)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例4求函数u=%2+2y2+3z2+3%-2y在点(1,1,2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得Su；Su二Su一 ； 二 一gradu(%,y,z)=—i+—j+—k=(2%+3)i+(4y—2)j+6zk,S% Sy Sz故gradu(1,1,2)=5i+2~j+12k.. 31 在P(—-,-,0)处梯度为0.0 22四、小结1、方向导数的概念(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)2、梯度的概念(注意梯度是一个向量)3、方向导数与梯度的关系梯度的方向就是函数 f(%,y)在这点增长最快的方向.

思考题讨论函数z=f(x,y)=Jx2+y2在(0,0)点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？思考题解答az r f(Ax,0)—f(0,0)r 1Ax1=lim =111n.ax