【例31】每箱产品有10件,其次品数从0到2是等可能的

#/6领航考研名师铁军2006年考研数学预测38题31-38［例31］每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被漏查误判为正品的概率为10%。求：(1)检验一箱产品能通过验收的概率；(2)检验10箱产品通过率不低于90%的概率［详解］(1)设白="一箱内有i件次品"，i=0,1,2。则A0,AjA2两两不相容，其和为Q,构成一个完备事件组。设事件B="一箱产品通过验收”，B1="抽到一件正品”。依题意，有P(A)=1,P(BIA)="i=0,1,2；P(B।B)=0.98,P(B।B)=0.10TOC\o"1-5"\h\zi3 1i10 1 1应用全概公式,得P(B)=£P(A)P(BIA)=1£1°^=0.91 i1i3 10_i=0 i=0・•.P(B)=1-P(B)=1—0.9=0.1.11又由于81与B1为对立事件，再次应用全概公式有P(B)=P(B1)P(BIB1)+P(B1)P(BIB1)=P(BB1)+P(BB1)=0.9x0.98+0.1x0,1=0,892(2)由于各箱产品是否通过验收互不影响，则设10箱产品中通过验收的箱数为X，X服从参数为n=10，P=P(B)=0.892的二项分布。X..・尸{正>90%}=P{X>9}=P{X=9}+P{X=10}=0.89210+010(0.892)9.0.108=0.705［例32］设随机变量X的密度函数为f(%)=［1-M,-1<*<1求随机变量r=X2+1的分布函数与密度函数。X 10,其他［详解］令y=%2+1，-1<%<1,0<%<1,0<X2<1,1<*2+1<2.：3(y)取非零值的X围为［1,2］。当1<y<2时，有

F(y)=P(Y<y)=P(X2+1<y)Y=P(-,；口<X<ZFi)=J上(1一|x|)dx=2Jy-1(1-x)dxy-1- 1 . tt- 7=2(x——x2)|y-1=1-(1-、y-1)2^2 。0，y<1・•・Y=X2+1的分布函数 F(y)=<1-(1-%：y-1)2,1<y<21,y>2Y的密度函数为fY的密度函数为f(y)=F'(y)={4:yrj1 -1,1<y<20,其他注意：本题中y=x2+1(-1<x<1)不是单调函数，不能直接用公式求解。此例表明，先考虑随机变量的取非零值的X围，然后在此X围内求分布函数值可以简化运算。至于取非零值X围之外的分布函数值，可以由分布函数的性质决定其为0或1。［例33］袋中有n只黑球，每次从中随意取出一球，并换入一个白球，如此交换共进行n次。已知袋中白球数的数学期望为a，则第n+1次从袋中任取一球为白球的概率是［详解］依题意，袋中白球数是一个随机变量，X可取0，1,2,……，n，且EX=EkP(x=k)=ak=0若记B="第n+1次从袋中任取一球为白球"，A="第n次交换后袋中有k个白球"=a=4。k则由全概率公式，得P(B)=»(A)P(BIA)kkk=0=£p(X=k)-P(BIX=k)k=0=£p(X=k)--=1工k-P(X=k)=ann nk=0 k=0［例34］设一台机器上有3个部件，在某一时刻需要对部件进行调整，3个部件需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,且相互独立，任一部件需要调整即为机器需要调整。(1)求机器需要调整的概率；(2)记X为需要调整的部件数，求期望E(X)、方差D(X)。［详解］设事件A为机器要调整，记A为第i个部件需要调整，i=1,2,3.i(1)显然A=A+A+A，则P(A)=1-P(A)=1-P(A^A^A-)=1-P(A•A•A)(根据事件1 2 3 1 2 3 123的独立性知)=1-P(A)P(A)P(A)=1-0.9X0.8X0.7=0.496.123(2)求期望E(X)、方差D(X)有两种解法：解法一：先求X的分布律，根据分布律再求数学期望和方差。根据X的意义，显然有X=0,1,2,3.事件的记法如(1),并注意到事件之间的独立性，有P(X=0)=P(彳・T•T)=0.9X0.8X0.7=0.504;123TOC\o"1-5"\h\zP(X=1)=P(A•A・A)+P(A•A・A)+P(A•A•A)123 123 123=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)

123 123 123=0.1X0.8X0.7+0.9X0.2X0.7+0.9x0.8x0.3=0.398；P(X=2)=P(AAA)+P(AAA)+P(AAA)123 123 123=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)123 123 123=0.1x0.2x0.7+0.1x0.8x0.3+0.9x0.2x0.3=0.092；P(X=3)=P(AAA)=P(A)P(A)P(A)=0.1x0.2x0.3=0.006.123 1 2 3所以，X~(0 1 2 3所以，X~10.5040.3980.0920.006)E(X)=0x0.504+1x0.398+2x0.092+3x0.006=0.6，D(X)=E(X2)-(EX)2=12x0.398+22x0.092+32x0.006-(0.6)2=0.46解法二：可以不求X的分布律，引进新的随机变量，利用期望、方差的性质求出期望E(X)、方差D(X)。V［1,第i个部件需要调整，即事件A发生现引进新的随机变量X定义如下:iTOC\o"1-5"\h\zX=< ..一一一一 现引进新的随机变量X定义如下:ii|0,第i个部件不需要调整因此我们有 XX, E(X)=2EX,iii=1 i=1而X服从(0-1)分布，E(X)=P(X=1)=P(A)，i ii i所以 E(X)=XEX=P(A)+P(A)+P(A)=0.1+0.2+0.3=0.6，i1 2 3i=1又因为D(X)=P(X=1)P(X=0)=P(A)P(A)，且X之间相互独立，i i i ii i所以D(X)=ZD(X)=ZP(A)P(A)=P(A)P(A)+P(A)P(A)+P(A)P(A)i ii 11 22 33i=1 i=1=0.1x0.9+0.2x0.8+0.3x0.7=0.46.［评注］本题中解法二比解法一简单得多,这就是引进新的随机变量的好处,但如何引进新的随机变量是一个难点。一般在考研试题中，总是引进X服从(0-1)分布，用独立性和2X来简化计算。ii

i［例35］假设一批共100件产品,其中一、二、三等品分别为80,10,10件。现在从中任抽取一件,记(k—1,2,3)(k—1,2,3)*X—1 ,kI0,若不然试求：(1)随机变量X1和X2的联合分布；(2)随机变量X1和X2的相关系数。［详解］引进事件A—{抽到k等品}(k—1,2,3)k由条件，知P(A1)—0.8,P(A2)—0.1,P(A3)—0.1.易见，(X］,X2)有四个可能值：(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)P{X—0,X—0}—P(A)—0.1,TOC\o"1-5"\h\z12 3P{X—0,X—1}—P(A)—0.1,12 2P{X—1,X—0}—P(A)—0.8,12 1P{X—1,X—1}—P(。)—0.12又「P(XX―0)—1EXX―012 12又,:EX—0.8,DX—0.8x0.2—0.16；EX—0.1,DX—0.1x0.9—0.091 1 2 ,1cov(X,X)—EXX-EXEX—-0.08；.p—cov(X1,X2)=二.°g—_21 2 12 1 2 \DXdDX <0,16<0.09 31 2［例36］—生产线上源源不断地生产成箱的零件，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977？(0(2)—0.977)。［详解］以X(i—1,2,…n)表示装运的第i箱产品的实际重量，n为所求箱数。由条件X,X，…X是独立同

i 12n分布随机变量(但具体分布未知)，因而总重量为丁=X+X+…+X。12 n由条件知EX=50千克,o—DXT=5千克.ET—50n千克,0T—DDXT=5、n千克。又••・随机变量X,X，…X独立同分布且数学期望和方差都存在，故根据列维―林德伯格中心极限定理，12n只要n充分大，随机变量T就近似服从正态分布N(50n,25n)。由题意知，所求n应满足条件：PT<500。}—P1T-50n<1000-10n；>0.977［5t：n nn J当n充分大时变量U-T-50n)/nn近似服从N(0，1)，可见PU<2}=0.977，从而有1000-10n>2 n<98. 即最多只能装98箱。nn［例37］设总体X为连续型随机变量，概率密度函数为f(%)，从该总体抽取容量为n的简单随机样本X,X，…,X。试求在曲线f(%)下方，统计量M—max{X}对应的统计值m-max{1}的右方的(曲边形)12 n 1<i<ni 1<i<ni

面积S的数学期望。［详解］设f(%)为总体X的分布函数，则S=kf(%)dx=1」mf(x)dx=1-F(m)m -8先求M=max{xj的分布函数G(m)的概率密度g(m)。1<i<n1•・•M的分布函数G(m)=P(M<m)=P(max{X}<m)1<i<n=P收<m,X<m，•一X<m)1 2 n=P收<m)P(X<m)•一P(X<m)12 n=Fn(m):.M的概率密度g(m)=G(m)=Fn((mJ=nFn-1(m)f(m)因此，计算S的数学期望：ES=E(1-F(M))=1-EF(M)=1-P8F(m)•g(m)dm-8=1一卜8nFn(x)•g(x)dx-8=1-卜8nFn(x)f(x)dx-8=1-卜8nFn(x)dF(x)令t=F（x）1一J1ntndt=1 n—=== 0 n+1n+1［例38］已知某种材料的抗压强度X~N（四,02），现随机地抽取10个样品进行抗压试验，测得数据如下（单位：105Pa）:样本均值x=457.50，样本方差s2=35.222.（1）求平均抗压强度日的矩估计值；（2）求平均抗压强度日的95%的置信区间；（3）若已知o=30，求日的95%的置信区间.［详解］（1）口=x=457.50.Sy—,X+nnSSy—,X+nnSnn（2）设总体X〜N（目,o2）,02与从均未知，则从的置信水平为1-a的置信区间为X-\a其中X=t(n-1),P(t>t(n-1))=一.TOC\o"1-5"\h\za a 22 2性质：t (n-1),=t(n-1). S=:—£(X-X)2.1-a a Vn—1i\o"CurrentDocument"2 2 i=1由题意知这里是02未知的情况，用S2代替02.而样本标准差S=35.22,i-a=