孟生旺《金融数学基础》2015版课件（3）变额年金

1孟生旺中国人民大学统计学院/mengshw变额年金

（VaryingAnnuities）2主要内容离散变额年金每年支付一次的离散变额年金（递增、递减、复递增）每年支付m次的离散变额年金（递增、递减、复递增）连续支付的离散变额年金（递增、递减、复递增）连续变额年金一般形式的连续变额现金流特例：连续递增（或递减）的年金31、递增年金（increasingannuity）期末付递增年金(increasingannuity-immediate)：第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支付n元。按算术级数递增。用表示其现值：上式两边乘以(1+i)：4

递增年金的现值：5例：证明下列关系式成立：

（1）（2）6例：写出下述年金的现值表达式7递增年金的累积值为现值累积值期初付递增年金(increasingannuity-due)8当时，还可以得到递增永续年金的现值为在计算上述极限时，递增永续年金(increasingperpetuity)9例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现值应该是多少？解：年金分解如下：1000110018001900900900900900100200900100010Exercise：Aninvestmentof700istobeusedtomakepaymentsof10attheendofthefistyear,20attheendofsecondyear,30attheendofthirdyear,andsoon,everyyearassolongaspossible.Asmallerfinalpaymentispaidoneyearafterthelastregularpayment.Thefundearnsaneffectiveannualrateof5%.Calculatethesmallerfinalpayment.解：价值方程为（不考虑最后一次非正常付款）700102030R11解上述方程（应用excel求解）即得n=14.49。因此有14次正规支付和在第15年末有一次小额支付。设小额支付为R，则12时期

0123…n–1

n递减年金nn–1n–2…

21等额年金111…11111…1111…………

111111期末付递减年金(decreasingannuity-immediate)：第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元。按算术级数递减。2、递减年金（decreasingannuity）13递减年金的现值可以表示为上述等额年金的现值之和，即：14递减年金的其他公式：15例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。证明该项年金的现值可以表示为12nn-1116

17Example：Findthepresentvalueofanannuityimmediatesuchthatpaymentsstartat1,eachpaymentthereafterincreasesby1untilreach10,andthenremainatthatleveluntil25paymentsintotalaremade.Solution：0101011025次数：金额：212183、复递增年金（compoundincreasingannuity）

含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。期初付复递增年金

：在第1年初支付1元，此后每年的支付金额按的复利r增长，直到第n年初支付(1+r)n-1。注：r<0

，递减。19令，则：其中20期末付复递增年金的现值：

其中21例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给付金额按5％递增，假设年实际利率为4%，请计算这项年金在时刻零的现值。解：年金的现金流如下：22

现值：其中现值：例年金的年增长率r与年实际利率i相等，即j=0.请计算期初付年金与期末付年金的现值分别是多少？解：期初付=n期末付=n/(1+i)2324ExerciseAperpetuity-immediatepays100peryear.Immediatelyafterthefifthpayment,theperpetuityisexchangedfora25-yearannuity-immediatethatwillpayXattheendofthefirstyear.Eachsubsequentannualpaymentwillbe8%greaterthantheprecedingpayment.Immediatelyafterthe10thpaymentofthe25-yearannuity,theannuitywillbeexchangedforaperpetuity-immediatepayingYperyear.Theannualeffectiverateofinterestis8%.CalculateY.25100100100100100第一次替换时，永续年金的现值为100/0.08＝1250100X1.08X1.082X1.083X1.0824X利率i＝0.08，等于年金增长率，故递增年金的现值为：P=X·n/(1+i)=25X/1.08X=541250=25X/1.08第一次替换后的递增年金：25次付款26X1.089X1.0810X1.0824X第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08价值方程(X=54)为：Y/0.08=54(1.0810v+1.0811v2+…+1.0824v15)=54(1.08)9·15注：v=1.08-1由此可得：Y=129.5Y……原年金剩余15次原年金已支付10次年金的基本类型271年支付1次1年支付m次连续支付284、每年支付m次的递增年金(increasingmthlyannuity)第一年末支付1元，第二年末支2元，…，第n年末支付n元。每年的付款分m次支付。29每年支付m次的递增年金(increasingmthlyannuity)：现值：每年支付m次的递增年金31推广到期初付（练习）：32例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：10010010010020020020020001233100200300400500600700800012例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：34每年支付m次的递减年金（练习）每年支付m次的复递增年金（练习）35小结：每年支付m次的年金365、连续支付的递增年金和递减年金

(continuouslypayablevaryingannuity)含义：连续支付，但支付金额离散变化。连续支付的递增年金连续支付的递减年金连续支付的复递增年金连续支付的递增年金：第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…，第n年连续支付n元。37连续支付的递增年金的现值：38例：一个现金流在第1年连续支付30元，第2年连续支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支付120元，假设年实际利率为5%，求这项年金的现值。解：分解为两项年金:39计算：40连续支付的递增永续年金的现值：第1年连续支付1元，第2年连续支付2元，第3年连续支付3元，并以此方式无限地延续下去。其现值为41连续支付的递减年金：第一年连续支付n元，第二年连续支付n-1元，…，第n年连续支付1元。42小结：连续支付的年金注：适用于递增，递减，复递增43Exercise:1000isdepositedintoFundX,whichearnsanannualeffectiverateof6%.Attheendofeachyear,theinterestearnedplusanadditional100iswithdrawnfromthefund.Attheendofthetenthyear,thefundisdepleted.TheannualwithdrawalsofinterestandprincipalaredepositedintoFundY,whichearnsanannualeffectiverateof9%.DeterminetheaccumulatedvalueofFundYattheendofyear10.X：annualeffectiverate6％10001001001001000×6%=60900×6%=54100×6%=6withdrawalsofprincipal

withdrawalsofinterest10916×Y：annualeffectiverate9％10010010010916×LevelannuityDecreasingannuity45Exercise:Aperpetuitycosts77.1andmakesannualpaymentsattheendoftheyear.Thisperpetuitypays1attheendofyear2,2attheendofyear3,…,n

attheendofyear(n+1).Afteryear(n+1),thepaymentsremainconstantatn.Theannualeffectiveinterestrateis10.5%.Calculaten.123n-1n……77.1i=10.5%123nyear：perpetuity：n+1n+2n46Thecostofthisperpetuity=Sincei

=10.5%,wehaveHencen=19.Solution：47乘以(1+i)乘以乘以乘以变额年金的计算乘以变额年金：算数级数变化48变额年金：几何级数变化49每年支付m次的年金连续支付的年金506、一般形式的连续变额现金流现值：付款从时刻a到时刻b，在时刻t的付款率为rt，利息力为dt。时刻

t支付的1在时刻0的现值为：在时刻t的付款率为rt，所有付款在时刻0的现值是将所有付款的现值加总：51例：一个连续支付的现金流支付期从时刻0开始到时刻0.5结束在时刻t的付款率为利息力为请计算此现金流在时刻零的现值。解：f=function(t)(10*t+3)*exp(-(0.1*t^2+0.06*t));integrate(f,0,0.5)$value52令现值为：

（课后）53终值：在时刻t的1元，累积到时刻T的终值为从时刻a到时刻b内所有付款到时刻T的终值，就是将该期间内所有付款的终值加总：例：一个连续支付的现金流，其付款率为，支付期间从

t=1到t=6，利息力为，请计算此现金流在t=9的终值。解：54

>f=func