河北省2022届高考数学一轮复习知识点攻破习题：平面向量的概念及初等运算

第五章平面向量平面向量的概念及初等运算时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2022·北京高考)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：∵c∥d且a，b不共线，∴存在唯一实数λ使c＝λd.∴ka＋b＝λa－λb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝－λ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,λ＝－1.))故选D.答案：D2．(2022·山东高考)设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，则()\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0解析：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝－2eq\o(PB,\s\up6(→))，即eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0.答案：B3．(2022·广东高考)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．2eq\r(7) B．2eq\r(5)C．2 D．6解析：如图1设eq\o(OF1,\s\up6(→))代表力F1、eq\o(OF2,\s\up6(→))代表力F2，则本题实际上是求eq\o(OF1,\s\up6(→))与eq\o(OF2,\s\up6(→))的和向量eq\o(OG,\s\up6(→))的长度，则余弦定理|eq\o(OG,\s\up6(→))|2＝|eq\o(OF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(F1G,\s\up6(→))|2－2|eq\o(OF1,\s\up6(→))|·|eq\o(F1G,\s\up6(→))|cos∠OF1G＝4＋16－2·2·4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝28.∴|eq\o(OG,\s\up6(→))|＝2eq\r(7)，故选A.图1答案：A4．已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于()A．aB．bC．cD．0解析：由共线向量定理可设a＋b＝λ1c，b＋c＝λ2a，所以b＝λ1c－a，b＝λ2a－c.由向量的唯一性可知λ1＝λ2＝－1，所以a＋答案：D5．已知a，b是不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ1a＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ1λ2－1＝0B．λ1＝λ2＝1C．λ1＝λ2＝－1D．λ1λ2＋1＝0解析：A、B、C三点共线⇔eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))⇔λ1λ2＝1.故选A.答案：A6．已知平面内有一点P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则()A．点P在△ABC外部B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上D．点P在线段AC上解析：因为eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))⇔eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))⇔2eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以P在线段AC上，选择D.答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)7．设a和b是两个不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，且A、B、D三点共线，则实数k的值等于__________．解析：A、B、D三点共线⇔向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－a－b＋2a－b＝a－2b，由此可解得k＝－4.答案：－48．设I为△ABC的内心，当AB＝AC＝5，BC＝6时，eq\o(AI,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，则实数x、y的值分别是__________．解析：如图2，设AI交BC边于D，∵△ABC为等腰三角形，故D为BC中点，BD＝3，在△ABD中，由内角平分线定理可知eq\f(AI,ID)＝eq\f(AB,BD)＝eq\f(5,3).设eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\f(5,8)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\f(5,8)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(5,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,16)eq\o(BC,\s\up6(→))，故x＝eq\f(5,8)，y＝eq\f(5,16).图2答案：eq\f(5,8)eq\f(5,16)9．如图3所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为r1、r2、r3，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝__________.图3解析：eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝r1＋(r2－r1)＋(r3－r2)＋(r1－r2)＝r3＋r1－r2.答案：r3＋r1－r210．(2022·天津高考)在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\f(1,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BA,\s\up6(→))|)))eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BC,\s\up6(→))|)))eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BD,\s\up6(→))|)))eq\o(BD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的面积为__________．图4解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,1)知AB綊DC.又eq\f(1,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BA,\s\up6(→))|)))eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BC,\s\up6(→))|)))eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BD,\s\up6(→))|)))eq\o(BD,\s\up6(→))知四边形ABCD为菱形，且AB＝AD＝eq\r(2)，又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BA,\s\up6(→))|)))·\o(BA,\s\up6(→))＋\f(1,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BC,\s\up6(→))|)))·\o(BC,\s\up6(→))))2＝3，∴∠ABC＝60°，BD＝eq\r(6).∴∠BAD＝120°，故sin∠BAD＝eq\f(\r(3),2)，∴SABCD＝eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)三、解答题(共50分)11．(15分)如图5所示，梯形ABCD，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别为DC和AB的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(MN,\s\up6(→)).图5解：解法1：连结CN，N为AB的中点．∵AN∥DC，且AN＝DC.∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AN,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,4)a.解法2：在梯形ABCD中，有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，即a＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋(－eq\f(a,2))＋(－b)＝0，可得eq\o(BC,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)a.在四边形ADMN中，有eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NA,\s\up6(→))＝0，即有b＋eq\f(1,4)a＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋(－eq\f(1,2)a)＝0，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a－b.12．(15分)如图6所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.图6(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))、eq\o(AF,\s\up6(→))、eq\o(BE,\s\up6(→))、eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求证：B、E、F三点共线．解：(1)延长AD到G，使eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))，连结BG、CG，得到▱ABGC，如图7，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)．eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)由(1)可知eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，所以B、E、F三点共线．图713．(20分)已知P点是△ABC内一点，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＋2eq\o(BP,\s\up6(→))＋3eq\o