河北省2022届高考数学一轮复习知识点攻破习题：数列的综合应用

数列的综合应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则此数列的奇数项的前n项和是()\f(1,3)(2n＋1－1) \f(1,3)(2n＋1－2)\f(1,3)(22n－1) \f(1,3)(22n－2)解析：由Sn＝2n－1，得an＝2n－1，∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴此数列的奇数项的前n项和为eq\f(a1[1－(q2)n],1－q2)＝eq\f(1－22n,1－4)＝eq\f(1,3)(22n－1)．答案：C2．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<logm(ab)<1，则m的取值范围是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(0,8) D．(8，＋∞)解析：∵a，b，a＋b成等差数列，∴2b＝2a＋b，b＝2a∵a，b，ab成等比数列，∴a≠0，b≠0，且b2＝a2b，b＝a2.②由①②知a2＝2a，a＝2，b＝4，ab∵0<logm(ab)＝logm8<1，∴m>8.答案：D3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是()A．1994 B．1996C．1998 D．2000解析：设出齐这套书的年份是x，则(x－12)＋(x－10)＋(x－8)＋…＋x＝13958，∴7x－eq\f(7(12＋0),2)＝13958，x＝2000.答案：D4．(2022·宁夏银川一模)已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为()A．25 B．50C．100 D．不存在解析：由S20＝100得a1＋a20＝10，∴a7＋a14＝10.又a7>0，a14>0，∴a7·a14≤(eq\f(a7＋a14,2))2＝25.答案：A5．(2022·河南郑州一模)数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋eq\f(1,bn)＝0的两个根，则数列{bn}的前n项和Sn等于()\f(n,2n＋1) \f(n,n＋1)\f(1,2n＋1) \f(1,n＋1)解析：∵an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋eq\f(1,bn)＝0的两个根，∴an＋an＋1＝2n＋1，an·an＋1＝eq\f(1,bn).∴bn＝eq\f(1,an·an＋1).又a1＝1，∴a2＝2，a3＝3，…，an＝n.∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n(n＋1))＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).答案：B6．已知数列{an}的通项公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a()A．B．C．{a|27≤a≤33，a∈N*}D．{a|24≤a≤36，a∈N*}解析：设f(x)＝3x2－(9＋a)x＋6＋2a，其对称轴为x＝eq\f(9＋a,6)，当eq\f(11,2)≤eq\f(9＋a,6)≤eq\f(15,2)时，即24≤a≤36时，a6与a7至少有一项是an的最小值．答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)7．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读的字数为__________．解析：设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，2为公比的等比数列，可求得三日共读的字数为eq\f(a(1－23),1－2)＝7a＝34685，解得a＝4955，∴2a＝9910，即该君第二日读的字数为9910.答案：99108．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则解析：设公差d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－eq\f(4,33)a1<0.解不等式an>0，即a1＋(n－1)(－eq\f(4,33)a1)>0，所以n<eq\f(37,4)，则n≤9，当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．答案：99．已知数列{an}满足eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋2,n)(n∈N*)，且a1＝1，则an＝__________.解析：本题考查利用递推公式确定数列通项公式．据已知有：n≥2时利用累乘法得：an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝1·eq\f(3,1)·eq\f(4,2)·eq\f(5,3)·…·eq\f(n,n－2)·eq\f(n＋1,n－1)＝eq\f(n(n＋1),2)，又验证知a1＝1也适合，故an＝eq\f(n(n＋1),2).答案：eq\f(n(n＋1),2)10．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2022的值为__________.x12345f(x)41352解析：∵x0＝5，xn＋1＝f(xn)，∴x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5.从而知数列{xn}是以4为周期的数列，而x2022＝f(x2022)＝f(x1)＝f(2)＝1.答案：1三、解答题(共50分)11．(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225；数列{bn}是等比数列，b3＝a2＋a3，b2b5＝128.(1)求数列{an}的通项an及数列{bn}的前8项和T8；(2)求使得eq\f(1,an－7)>eq\f(1,4)成立的正整数n.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知a1＋2d＝5,15a1＋eq\f(1,2)×15×14d＝225，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋7d＝15，))解得d＝2，a1＝1，所以an＝2n－1.设等比数列{bn}的公比为q，因为b3＝a2＋a3，所以b1q2＝8，因为b2b5＝128，所以beq\o\al(2,1)q5＝128，解得q＝2，b1＝2，T8＝eq\f(2×(1－28),1－2)＝510.(2)eq\f(1,an－7)>eq\f(1,4)即eq\f(1,2n－8)>eq\f(1,4)，解之得4<n<6，所以n＝5.12．(15分)(2022·福建泉州一模)某城市决定对城区住房进行改造，在新建住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房am2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少am2；已知旧住房总面积为32am2(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m2?(2)求前n(1≤n≤10且n∈N)年新建住房总面积Sn.解：(1)10年后新建住房总面积为a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋5a＋4a设每年拆除的旧住房为xm2，则42a＋(32a－10x)＝2×解得x＝a，即每年拆除的旧住房面积是am2.(2)设第n年新建住房面积为a，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n－1a，1≤n≤4，,(12－n)a，5≤n≤10.))所以当1≤n≤4时，Sn＝(2n－1)a；当5≤n≤10时，Sn＝a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋…＋(12－n)a＝15a＋eq\f((n－4)(19－n)a,2)＝eq\f((23n－n2－46)a,2)，故Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((2n－1)a，1≤n≤4且n∈N，,\f((23n－n2－46),2)a，5≤n≤10且n∈N.))13．(20分)(2022·江西高考)各项均为正数的数列{an}，a1＝a，a2＝b，且对满足m＋n＝p＋q的正整数m，n，p，q都有eq\f(am＋an,(1＋am)(1＋an))＝eq\f(ap＋aq,(1＋ap)(1＋aq)).(1)当a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(4,5)时，求通项an；(2)证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有eq\f(1,λ)≤an≤λ.解：(1)由eq\f(am＋an,(1＋am)(1＋an))＝eq\f(ap＋aq,(1＋ap)(1＋aq))得eq\f(a1＋an,(1＋a1)(1＋an))＝eq\f(a2＋an－1,(1＋a2)(1＋an－1))，将a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(4,5)代入上式化简得an＝eq\f(2an－1＋1,an－1＋2)，所以eq\f(1－an,1＋an)＝eq\f(1,3)·eq\f(1－an－1,1＋an－1).故数列{eq\f(1－an,1＋an)}为等比数列，从而eq\f(1－an,1＋an)＝eq\f(1,3n)，即an＝eq\f(3n－1,3n＋1).可验证，an＝eq\f(3n－1,3n＋1)满足题设条件．(2)由题设eq\f(am＋an,(1＋am)(1＋an))的值仅与m＋n有关，记为bm＋n，则bn＋1＝eq\f(a1＋an,(1＋a1)(1＋an))＝eq\f(a＋an,(1＋a)(1＋an))考察函数f(x)＝eq\f(a＋x,(1＋a)(1＋x))(x>0)，则在定义域上有f(x)≥g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋a)，a>1,\f(1,2)，a＝1,\f(a,1＋a)，0<a<1))