最优资产组合选择

最优资产组合选择第1页，共24页，2023年，2月20日，星期五第一节资产组合的有效边界一、一个无风险资产与一个风险资产的组合假设投资者投资到风险资产的财富比例为w，投资到无风险资产的财富比例为1-w，则投资组合的期望收益和标准差可以写成如下形式：进而容易得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：上式就是当市场中只有一个风险资产和一个风险资产的时候，资产组合所有可能的风险-收益集合，又称为投资组合可行集。第2页，共24页，2023年，2月20日，星期五

在“期望收益-标准差”平面中对应着一条直线，穿过无风险资产rf

和风险资产r，我们称这条直线为资本配置线（CapitalAllocationLine）资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所增加的期望收益，也即每单位额外风险的额外收益。因此，我们有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率第3页，共24页，2023年，2月20日，星期五一般来讲，存款利率要低于贷款利率。如果把存款利率视为无风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险利率。此时，资本配置线就变成一条折线。第4页，共24页，2023年，2月20日，星期五二、两个风险资产的组合假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股票和一个公司债券，且投资到股票上的财富比例为w，则投资组合的期望收益和标准差为：同样，容易得到，两个风险资产构成的资产组合的期望和标准差之间的额关系式：其中：第5页，共24页，2023年，2月20日，星期五情形一，此时，两个资产的收益率是完全正相关的，我们容易得到：情形二，此时，两个资产的收益率是完全负相关的，类似可以得到：

第6页，共24页，2023年，2月20日，星期五情形三，此时，在期望-标准差平面中对应着两条双曲线。考虑到经济含义，我们只需考虑坐标轴第一象限内的部分：在情形二和情形三中，我们可以根据最小方差点将可行集分为两个部分：位于最小方差点上方的部分（SE1和SE2）和位于最小方差点下方的部分（E1B和E2B）。对于风险规避的投资者而言，只会选择最小方差点上方的资产组合，我们称这部分资产组合为全部资产组合的效率边界（EfficientFrontier）。第7页，共24页，2023年，2月20日，星期五三、一个无风险资产与两个风险资产的组合假设两个资产的投资权重分为w1和w2，无风险资产的投资权重为1-w1-w2。两个风险资产构成一个风险资产组合，三个资产构成的投资组合可行集等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构成的可行集。随着w1和w2的变化，风险资产的期望收益和方差并不是确定的值，而是不断变化的。给定w1和w2的某一比例k，在期望收益-方差平面中就对应着一个风险资产组合，该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置线，这条资产配置线就是市场中存在三个资产时的投资组合可行集合。我们容易发现，在所有资本配置线中，斜率最高的资本配置线在相同标准水平下拥有最大的期望收益率，也即与风险资产组合效率边界相切的一条线，我们称之为最有资本配置线，相应的切点组合P0被称为最优风险资产组合。第8页，共24页，2023年，2月20日，星期五第二节最优资产组合选择上一节中我们确定了市场的投资可行集。投资者接下来就是确定在可行集中进行资产组合的选择。对投资者的个人特征和行为准则做几个假定：投资者都是风险规避的，即在收益相同的条件下，投资者会选择风险最低的投资组合。投资者在最有资产组合的选择中只关心资产的均值、方差以及协方差。最有资产组合就是使投资者效用达到最大的资产组合，换句话说，投资者在资产组合的选择过程中遵循效用最大化原则。第9页，共24页，2023年，2月20日，星期五一、不同市场环境下最优资产组合的选择定义效用为收益率的均值和标准差的函数，即给定效用水平，在期望值-标准差平面中就是投资者的无差异曲线。对于风险规避的投资者而言，期望收益的增加会提高投资者效用水平，标准差或者风险水平的增大则会降低效用水平，因此有：在期望值-标准差平面中，无差异曲线就是一条向右上倾斜的曲线，并且左上方的无差异曲线代表的效用高水平要高于右下方无差异曲线的效用水平。给定投资者的效用函数，当风险和期望的边际替代率是递减的时候，无差异曲线就是凸向原点的。第10页，共24页，2023年，2月20日，星期五一个无风险资产和一个风险资产此时，投资组合可行集就是通过无风险资产和风险资产的资本配置线。给定投资者的效用函数，我们可以通过描述不同效用水平下的无差异曲线，得到投资者的最优投资组合。不同的投资者风险规避程度是不同的，因而在风险和收益之间的权衡也存在差异，对于风险规避程度较高的投资者而言，会将财富更多地投入到无风险资产中，从而获得较低风险水平的资产组合。第11页，共24页，2023年，2月20日，星期五两个风险资产当市场中存在两个风险资产时，供投资者选择的有效资产组合就是上图中的双曲线上半部分的效率边界。随着无差异曲线向左上方移动，两者相切的切点即为最优资产组合。不同投资者无差异曲线的形状不同，与效率边界的切点位置也不同。对于风险规避程度较高的投资者而言，他们会选择效率边界左侧、风险较低的资产组合。第12页，共24页，2023年，2月20日，星期五一个无风险资产和两个风险资产当市场存在一个无风险和两个风险资产时，投资者会在两个风险资产构成的风险资产组合和无风险资产之间进行财富分配。在所有通过无风险资产的资本配置线中，与效率边界相切的资本配置线在相同风险水平下拥有最大的期望收益，因此对于所有的投资者来说，他们都会在这条资本配置线上进行最优资产组合的选择。最优资产组合就是无差异曲线与资本配置线相切的点。第13页，共24页，2023年，2月20日，星期五二、分离定理分离定理（SeparationTheorem）：当市场中存在无风险资产和多个风险资产的时候，只要投资者是风险规避者，不管他具体的效用函数如何，他们选择的风险资产组合都是一样的，也就是无风险资产与效率边界相切的P点。投资者的效用函数或者说风险规避程度只决定了他持有的无风险资产和风险资产组合P的比例。根据这一定理，投资组合的选择过程可以分为两个阶段：首先，投资者要根据各风险资产的期望收益、方差以及协方差确定最优风险资产组合。之后，投资者在确定了最优风险资产组合的基础上，根据自身的风险规避程度确定投资在最有风险资产组合和无风险资产上的比例，从而得到最终的最优资产组合。第14页，共24页，2023年，2月20日，星期五第三节马科维茨资产组合选择模型一、马科维茨资产组合选择模型Markowitz（1952）的资产选择模型考察的是存在多个风险资产时，投资者最优资产组合的选择。边界资产组合（FrontierPortfolio）：如果一个资产组合在其期望收益相同的资产组合中拥有最小的方差，我们就称其为边界资产组合，所有边界资产组合构成的资产组合集构成一个投资组合边界（PortfolioFrontier）。Markowitz资产组合模型的假设：市场中存在N>=2个风险资产。每个资产的方差是有限的，没资产的期望收益率都是不相等的，且各资产的回报率是线性独立的（LinearlyIndependent）。投资者是风险规避的，在收益相等情况下，投资者会选择风险最低的投资组合。投资期限为一期，在期初时，投资者按照效用最大化的原则进行资产组合的选择。第15页，共24页，2023年，2月20日，星期五市场是完善的，无交易成本，且风险资产可以无限细分，投资者还可以对风险资产进行卖空操作。投资者在最有资产最有资产组合的选择过程中，只关心风险资产的均值、方差以及不同资产间的协方差。在以上假设下，最有资产组合的选择问题就可以写成如下优化问题：其中，w是风险资产组合中各资产的权重构成的向量；V为风险资产收益率的方差协方差举证；e为风险资产组合中各资产期望收益率构成的向量；1为单位向量。为了解这个最优化问题，构造Lagrange函数如下：第16页，共24页，2023年，2月20日，星期五该最优化问题的一阶条件为：我们容易求得其中：第17页，共24页，2023年，2月20日，星期五将上述答案带回原式，得到最优资产组合的权重：其中，g和h为两个一维向量，其表达式分别为从上式可以看出，如果一个边界组合的期望收益率等于0，那么这一资产组合中各资产的权重就是g。如果一个边界组合的期望收益率等于1，组合中各项资产的权重就是g+h，因此，g和g+h就对应着投资组合边界上两个边界组合。事实上，投资组合边界中任意资产组合都可以由任意两个期望收益率不相等的边界组合按照一定权重构建出来。第18页，共24页，2023年，2月20日，星期五二、存在无风险资产时的最优资产组合选择Tobin（1958a,1958b）对Markowitz的模型进行了改进，Tobin假定市场中除了N个风险资产外，还存在一个无风险资产，投资者可以按照无风险资产收益率rf借入或者借出资金。此时，最优化问题就变成如下形式：其中，w是风险资产的投资权重，1-w‘1则是无风险资产的投资权重。通过构造Lagrange函数，最优化问题转化为：该优化问题的一阶条件为：结合约束条件：容易得到最优资产组合的权重：其中，第19页，共24页，2023年，2月20日，星期五进而将权重表达式带入目标函数中，我们得到最优资产组合的方差上述两个式子各自对应着期望收益-标准差平面上一条从（0，rf）发出的射线。当rf的取值不同时，这两条射线与风险资产可行集的相对位置也会发生变化。第20页，共24页，2023年，2月20日，星期五第四节资产组合风险分散化一、资产收益率的相关性与资产组合的风险分散当存在两个风险资产的时候，资产组合的期望收益等于组合中每个资产期望收益的加权平均值，即：但是资产组合的方差并不是两个资产各自方差的加权平均值，而是：可以看出，给定两项资产的期望收益率，如果这两项资产收益率的协方差是负的，那么资产组合的方差就比较小。只要两项资产的相关系数不等于1，也即只要两项资产不是完全正相关，资产组合的标准差就低于每个证券标准差的加权平均值。由它们组成的资产组合的风险-收益机会总是犹豫资产组合中各资产单独的风险-收益机会。第21页，共24页，2023年，2月20日，星期五资产组合包含N个风险资产的情况该资产组合的方差为可以看出，资产组合的风险可以分为两个部分：每个资产的方差和不同资产之间的协方差，前者反映了每个资产的风险状况对资产组合的贡献，后者则是不同资产相互作用对组合风险的影响。上述矩阵形式中，对角线上是每个资产收益率的方差，矩阵其他位置上的元素则是不同资产收益率的协方差。当资产组合有N个风险资产时，方差部分共N项，而协方差部分则有N2-N项。当N较大时，协方差项目将远远超过方差项目。此时，资产组合的风险主要取决于资产收益率的协方差的大小。第22页，共24页，2023年，2月20日，星期五假设N项资产以相同比例构成资产组合，即每项资产的权重均为1/N，而且每项资产的方差都等于σ2，不同资产之间的相关系数等于ρ,则资产组合的方差即为：当N趋于无穷大的时候，方差部分趋于零，协方差部分趋于一个常数。由此可见，当资产组合