高二数学必修2-第二章-异面直线成角(线线角)求解方法总结与例题

PAGEPAGE1构造异面直线所成角的几种方法二、例题讲解

例1已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．

讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．

构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．

综上可知ｃ与ｄ平行或异面．

正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供思考练习：

（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．

A．两条平行直线B．两条相交直线

C．一条直线和直线外一点D．两个点

（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N的关系是（）．

A．M=NB．MNC．MND．不确定

（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．

A．若a∥b,b∥c，则a∥c

B．若a⊥b,b⊥c,则a⊥c

C．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交

D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．

A．异面直线B．相交直C．平行直线D．垂直直线

（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直

例2在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．

Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°

讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．

易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．

取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．

在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．

显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．

故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．

若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：

解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，

∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.

过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．

∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，

S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，

S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.

即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.

用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．

三、专题训练

1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，

①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；

②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；

③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；

④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．

其中正确的个数是（）．

Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3

2．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化

3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．

A．dmax=（3／2）a,dmin=（／4）aB．dmax=（3／4）a,dmin=（／4）a

C．dmax=（／4）a,dmin=（1／4）aD．dmax=（／2）a,dmin=（3／4）a

4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．图

-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．

Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④

5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD和BC所成角的度数是____________．

7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．

8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。例：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD解法1：平移法设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE//D1B，所以∠C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角△C，所以异面直线所成的角为解法2：补形法在长方体ABCD—A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，，所以异面直线A1C1与BD1所成的角为解法3：利用公式设OA是平面α的一条斜线，OB是OA在α内的射影，OC是平面α内过O的任意一条直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是、1、2，则（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC换成平面α内不经过O点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D1B在平面ABCD内射影是BD，AC看作是底面ABCD内不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为∠AOD，D1B与BD所成角为∠D1BD，设D1B与AC所成角为，，。所以，所以异面直线A1C1与BD1所成的角为解法4：向量几何法：设为空间一组基向量，所以异面直线A1C1与BD1所成的角为解法5：向量代数法：以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），所以异面直线A1C1与BD1所成的角为解法6：利用公式定理：四面体A—BCD两相对棱AC、BD间的夹角必满足解：连结BC1、A1B在四面体中，异面直线A1C1与BD1所成的角是，易求得由定理得：，所以例1．如图，已知不共面的直线相交于点，是直线上的两点，分别是上的一点。求证：和是异面直线。证（法一）：假设和不是异面直线，则与在同一平面内，设为，∵，∴，又，∴，∵，∴，同理，∴共面于，与已知不共面相矛盾，所以，和是异面直线。（法二）：∵，∴直线确定一平面设为，∵，∴，∴且，又不共面，，∴，所以，与为异面直线。4．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．说明：为了简便，点通常取在异面直线的一条上。5．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作．例2．正方体中．那些棱所在的直线与直线是异面直线？求与夹角