交通大学概率论与数理统计第二学期期末考试试卷6答案

2015-2016学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page1of9交通大学2015~2016学年第二学期概率论与数理统计期末考试一试卷（A卷）一．（此题满分9分）假定一个人在一年中患感冒的次数X听从参数为4的Poisson散布．现有一种预防感冒的新药，它关于22%的人来讲，可将上边的参数降为1（称为疗效明显）；对37%的人来讲，可将上边的参数降为3现有一人服用此药一年，在这一年中，（称为疗效一般）；而关于其他的人来讲则是无效的．他患了2次感冒，求此药对他是“疗效明显”概率有多大？解：设A1此药疗效明显，A2此药疗效一般，A3此药无效，某人一年中患2次感冒．由题设，可知假如事件A1发生，则X听从参数为1的Poisson散布；假如事件A2发生，则X听从参数为3的Poisson散布；假如事件A3发生，则X听从参数为4的Poisson散布．所以，由Bayes公式，我们有PA1BPA1PBA13k1PAkPBAk12e10.2220.2206．0.2212320.4142e10.37e3e4222二．（此题满分8分）一房间有3扇相同大小的窗户，此中只有一扇是翻开的．有一只鸟在房屋里飞来飞去，它只好从开着的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，并且鸟飞向各个窗子是随机的．若令X表示鸟为了飞出房间试飞的次数．求⑴X的散布律（4分）．⑴这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率（4分）．解：⑴X的取值为1,2,3,，并且第1页共9页2015-2016学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page2of92k1PXkP前k1次试飞均未飞出房间，第k次试飞飞出房间133所以X的散布律为2k11PXkk1,2,3,．33219．⑵P这只鸟最多试飞3次就飞出房间PX3121213333327三．（此题满分10分）设随机变量X的密度函数为fxaxbx20x10其他，并且已知EX1．，试求方差DX2解：由fxdx1及EXxpxdx1，得21axbx2dxab，1fxdx02311bx2dxab．xfxdxxax2034ab1由此得线性方程组23．1ab342解此线性方程组，得a6,b6．1113，所以，EX2x2fxdxx26x6x2dx66045103121．所以，varXEX2EX210220四．（此题满分10分）设随机变量X与Y互相独立，X~U0,1散布，Y听从参数1的指数散布．令ZXY，第2页共9页2015-2016学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page3of9求随机变量Z的密度函数fZz．解：由题设，随机变量X及Y的密度函数分别为fXx10x1，fYyeyy0．0其他0y0所以，随机变量ZXY的密度函数为1fZzfXxfYzxdxfYzxdx．0作变换uzx，则dudx，有z1zfZzfYudufYudu．zz1①若z0，在区间z1,z上，fYu0，所以，fZz0．②若0z1，则z10，所以，0z0zfZzfYudufYudu0dueudu1ez．z10z10③若z1，则z10，有zeuzfZzeudu1e1zez．z1z综上所述，随机变量ZXY的密度函数为0z0fZz1ez0x1．e1zezx1五．（此题满分15分）设二维随机变量X,Y听从二元正态散布，其结合密度函数为11x22rx1yfx,yexp121r222121r2112此中1,2,1,2,r均为参数．⑴求随机变量X及Y的边沿密度函数⑵经过察看fx,y，fXx及fYy，你总结到什么结论？（8分）解：第3页共9页

y222，22fXx及fYy（7分）；2015-2016学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page4of91x22rxyy2⑴对X,Y的结合密度函数中的1122进21r2221122行配方，得1x22rxyy2112221r22211222221xyrxr2x21212121r21211x21yrx21r221．2122121所以，fXxfx,ydyx12211yrxe212exp21dy．2121r221r221作变换u12y2rx1，则dudy2．所以有1r2121rx12u2x12x12111fXx2e212e2due2122e212．12121即随机变量X的边沿密度函数为x121fXxe212，x．21注意到X,Y的结合密度函数中的x与y的地位对称，得随机变量Y的边沿密度函数为y121fYye222，y．22⑵经过察看fx,y，fXx及fYy，我们总结到以下结论：①二元正态散布的两个边沿散布分别是两个一元正态散布，即X~N1,12，Y~N2,22．②1EX，2EY，12varX，22varY．③二元正态散布的两个边沿散布仅与二元正态散布中五个参数1,2,1,2,r中第4页共9页2015-2016学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案的四个参数1,2,1,2有关系，而与参数r没有关系．④假如二维随机变量X1,Y1听从二元正态散布，密度函数为11x2yfx,yexp12r1x122221122121121r1r二维随机变量X2,Y2也听从二元正态散布，密度函数为11x22r2x1y2gx,y1121r22exp2221r22112则X1,Y1与X2,Y2不一样散布，可是，

Page5of9y22，22y22，22X1~N1,2，X2~N1,211Y1~N2,2，Y2~N2,222即X1与X2同散布，Y1与Y2同散布．

；．六．（此题满分10分）将一颗均匀的骰子独立地掷10次，令X表示这10次出现的点数之和，求EX（5分）与DX（5分）．解：设Xk表示第k次出现的点数，k1,2,,10．10则X1,X2,,X10互相独立，并且XXk．k1而Xk的散布列为PXkj1，j1,2,,6．6661所以，EXkjPXkjjj1j1616j1217，k1,2,,10．6j162所以，由数学希望的性质，得EXE10Xk10EXk10771035．k1k1k122第5页共9页2015-2016学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page6of9661EXk2j2PXkjj2j1j1616j219191，k1,2,,10．6j166所以，由X1,X2,,X10的互相独立性，及数学希望的性质，得101010DXDXkDXkk1k1k1

919110455．663七．（此题满分10分）设二维随机变量X,Y的结合密度函数为px,y3x0yx10其他，求X与Y的协方差covX,Y及有关系数X,Y．解：1x3x2dy1x3dx3，EXxpx,ydxdydx300041x13，EYypx,ydxdy3xdxydy3x3dx002081x13，EX2x2px,ydxdydx3x3dy3x4dx00051x11，EY2y2px,ydxdy3xdxy2dyx4dx0005EXYxypx,ydxdy31x2dxxydy31x4dx3，002010所以有协方差为covX,YEXYEXEY3333，10481603323，DXEX2EX25480EY213219，DYEY258320所以，有第6页共9页2015-2016学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page7of9covX,Y33X,Y160．DXDY3195780320八．（此题满分8分）某餐厅每日招待400位顾客，假定每位顾客的花费额（单位：元）听从区间20,100上的均匀散布，并且每位顾客的花费额是互相独立的．试求：⑴该餐厅每日的均匀营业额；⑴用中心极限制理计算，该餐厅每日的营业额在均匀营业额760元内的概率．（附：正态散布的散布函数x的某些取值：x1.551.601.651.70x0.93940.94520.95050.9554解：⑴设Xi表示第i位顾客的花费额，i1,2,,400．则有X1,X2,,X400互相独立，Xi~U20,100，i1,2,,400．所以，EXi60，varXi8021600．123再设X表示餐厅每日的营业额，则400XXi．i14004004006024000所以，EXEXiEXi（元）．i1i1⑵由独立同散布场合下的中心极限制理，有760X24000760P760X24000760P1600160016004004004003337607601.645120.950510.901．16002160040040033九．（此题满分10分）罐中有N枚硬币，此中枚是一般硬币，它掷出正面与反面的概率均为0.5；其他N枚硬币的两第7页共9页2015-2016学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page8of9面都是正面．现从罐中随机拿出一枚硬币，将它连掷两次并记下其结果，但不去查察它属于哪一种硬币，而后把它放入罐中．这样重复n次，若掷出0次正面的次数为n0，1次正面的次数为n1，2次正面的次数为n2，（n0n1n2n）．试求参数的极大似然预计量?L（提示：令X表示从罐中拿出一枚硬币掷出的正面数，先求X的散布律）．解：设X表示从罐中拿出一枚硬币掷出的正面数，则X取值为0,1,2．并且PX0;11，PX1;1，2NN24N22NPX2;11N14N4N44N3．N22N4N4N所以，似然函数为LPX0;n0PX1;n1PX2;n2n0n14N3n24N2N4N取对数，得lnLn0lnln4Nn1lnln2Nn2ln4N3ln4N．上式对求导数，得dlnLn0n13n2n0n13nn0n1，d4N34N3令dlnL0，得似然方程n0n13nn03n10，d4N4N4N解方程，得解n0n1，所以参数的极大似然预计量为?n0n1．3nL3n十．（此题满分10分）设整体X的密度函数为fx6xx0x3，0其他此中0是未知参数，X1，，Xn是从该整体中抽取的一个样本．.求未知参数的矩预计?；.判断?能否为参数的无偏预计；第8页共