九年级数学上全册教案

1.1、你能证明它们吗（一）

教学目标：

1、了解作为证明基础的儿条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书

写格式。

2、经历“探索一发现一猜想一证明”的过程。能够用综合法证明等

腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义。

教学重点：了解作为证明基础的儿条公理的内容，通过等腰三角形

性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理

（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。

教学方法：观察法。

课时安排：一课时

教学过程：

复习：

1、什么是等腰三角形？

2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下

来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？

新课讲解：

在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，

运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些

结论。

回忆上学期学过的公理

♦本套教材选用如下命题作为公理：

♦1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线

平行；

♦2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

♦3.两边夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS）

♦4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）

♦5.三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）

♦6.全等三角形的对应边相等，对应角相等.

由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：

推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）

定理：等腰三角形的两个底角相等。

这一定理可以简单叙述为：等边对等角。

想一想：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能

得到什么结论？

推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相

重合。

随堂练习：做教科书第4页第1,2题。（引导学生分析证明方法，

学生动手证明，写出证明过程。）

课堂小结：通过这节课的学习你学到了什么知识？

（学生小结：通过本课的学习我们了解了作为基础的儿条公理的内

容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索一发现一猜想一证明”

的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体

会了反证法的含义。）

五、作业：1、基础作业：P5页习题1.11、2o

2、拓展作业：《目标检测》3、预习作业：P5-6页议一议

六、板书设计：

七、课后记:

1.1、你能证明它们吗（二）

教学目标：

1、进一步了解作为证明基础的儿条公理的内容，掌握证明的基本步

骤和书写格式。

2、经历“探索一发现一猜想一证明”的过程。能够用综合法证明等

腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论

归纳出一般结论。

3、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。

4、了解反证法的推理方法。

5、会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。

教学重点：正确叙述结论及正确写出证明过程。熟悉作为证明基础

的儿条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。

教学方法：探究式教学法自主探究与合作探究

课时安排：一课时

教学过程：

复习回顾：你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?、

探索——发现一一猜想——证明

1、引导探索：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线

具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有

怎样的性质呢？（提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想）

2、探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发

现图中有那些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？（学生动手画

图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）

3、证明：A

（1）例i证明：等腰三角形两底角的平分线相等。A

（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。）E/V

已知：如图，在AABC中，AB=AC,BD,CE是//\

△ABC的角平分线。B

求证：BD=CE（一生口述证明过程，然后写出证明过程。）

证明：（略）

此题还有其它的证法吗？

（2）你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？

（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。其它

证法合作交流完成。）

4、议一议

课堂小结1：

（1）归纳判定等腰三角形判定有几种方法，

（2）证明两条线段相等的方法有哪几种。（讨论、交流）A

随堂练习：D/\

已知：在AABC中，AB=AC,D在AB上，DE〃ACn/\

求证：DB=DE

（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。）

想一想：

反证法的概念P8

课堂小结2：

通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？

（学生小结：掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索一发现

一猜想一证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中

线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出•般结论。等腰三

角形的判定定理。了解反证法的推理方法。）

五、作业：1、基础作业：P9页习题1.21、2、3o

2、拓展作业：《目标检测》

3、预习作业：P10T2页做一做

六、板书设计：

七、课后记:

L1你能证明他们吗？（第三课时）

教学目标：

1、进一步学习证明的基本步骤和书写格式。

2、掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。

教学重点、难点：关于综合法在证明过程中的应用。

课时安排：一课时

教学过程:

温故知新

1、已知：NABC,NACB的平分线

相交于F,过F作DE〃BC,交AB于D,

交AC于E

(1)找出图中的等腰三角形

(2)BD,CE,DE之间存在着怎样的关系？

(3)证明以上的结论。

2、复习关于反证法的相关知识

证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

(笔试，进一步巩固学习证明的基本步骤和书写格式)

学一学

1、探索问题：①一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三

角形？

②你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证

明你的思路吗？(把你的思路与同伴进行交流。)

定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

2、做一做：用两个含30°角的三角尺，能拼成一个怎样的三角

形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由。

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎

样的大小关系？能证明你的结论吗？

A

(提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论，并证明)

证明：在aABC中，ZACB=90°,ZA=30°,则NB=60°

延长BC至D,使CD=BC,连接AD

ZACB=90°

/.ZACD=90°

,.,AC=AC

.,.△ABC多△ADC(SSS)

，AB=AD(全等三角形的对应边相等)

.,.△ABD是等边三角形

BC=-BD=-AB

22

得到的结论：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等

于斜边的一半。

3、例题学习

等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高。

已知：在aABC中，AB=AC=2a,ZABC=ZACB=15°

度，CD是腰AB上的高

求：CD的长

4、练习：课本12页随堂练习1

四、课堂小结：

通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？

（学生小结：掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理

和判定定理）

五、作业：1、基础作业：P13页习题1.31、2、3题

2、拓展作业：《目标检测》

3、预习作业：P15T7页读一读“勾股定理的证明”

六、板书设计：

§1.1、你能证明它们吗（三）

有一个角等于60°的等腰三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于

30°,

是等边三角形。那么它所对的直角边等于斜边的一

半。

教学反思:

1.2直角三角形(1)

教学目标：

1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法

2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原

命题成立其逆命题不一定成立。

教学重点、难点：进一步掌握演绎推理的方法。

课时安排：一课时

教学过程：

一、温故知新

1、你记得勾股定理的内容吗？你曾经用什么方法得到了勾股定理？

定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

二、学一学

1、问题情境：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的

平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论,

你能证明这个结论吗？

已知：在△ABC中，AB2+AC=BC2

求证：AABC是直角三角形

a)(!)(2)

C

C,

（讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明

过程，得出结论。）

结论：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角

形是直角三角形。

2、议一议：

观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

（引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它

们的共性，进一步得出“互逆定理”的概念。）

3、关于互逆命题和互逆定理。

（1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命

题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另

一个命题的逆命题。

（2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一

个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理

称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

（引导学生理解掌握互逆命题的定义。）

4、练习：

（1）写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”

的逆命题，并判断是否是真命题。

（2）试着举出一些其它的例子。

（3）随堂练习1

5、读一读“勾股定理的证明”的阅读材料。

6、课堂小结：本节课你都掌握了哪些内容？

（引导学生归纳总结，互逆定理的定义及相互间的关系。）

三、作业

1、基础作业：P20页习题1.41、2、3o

2、拓展作业：《目标检测》

3、预习作业：P21-22页做一做

板书设计：

1.2直角三角形

勾股定理：互逆定理

课后记:

L2直角三角形（2）

教学目标：

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题。

重点：能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。并且用纸解

决问题。

难点：证明“HL”定理的思路的探究和分析。

课时安排：一课时

教学过程：

一、复习提问

1、判断两个三角形全等的方法有哪儿种？

2、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其

中一个角是直角呢？请证明你的结论。

（思考交流引导学生分析证明思路，写出证明过程）

二、探究

两边及其一个角对应相等的两个三角形全等吗？如果相等说明理

由。如果不相等，应如何改变条件？用自己的语言清楚地说明，并写出

证明过程。

问题1,此定理适用于什么样的三角形？（适用于直角三角形）

2、判定直角三角形的方法有哪些，分别说出？

（HL,SAS,ASA,AAS,SSS.先考虑HL,在考虑另外四种方法。）

三、做一做/人

如图利用刻度尺和三角板，能否/

做出这个角的角平分线？并证明。/

（设计做一做的目的为了让学生体会数tB

结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表

达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。）

四、练习随堂练习P23—1

判断命题的真假，并说明理由

1、锐角对应相等的两个直角三角形全等。

2、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。

3、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、一条直角边和另一条直角边上的中线队以相等的两个直角三

角形全等。

（对于假的命题要举出反例，真命题要说明理由。教师分析讲解。）

五、议一议

如图：已知NACB=NBDA=90

rD

要使/ACBg/BDA,还需要什么条件？

把他们写出来，并说明理由。/><\

A

B

(教学中给予学生时间和空间，

鼓励学生积极思考，并在独立思考的基础上，

通过交流，获得不同的答案，并将一种方法写出证明过程。)

六、小结：

1、本节课学习了哪些知识？

2、还有那一些方面的收获？

七、作业：

1、基础作业：P23页习题1.51、20

2、拓展作业：《目标检测》

3、预习作业：预习：线段的垂直平分线。

板书设计：

§1.2直角三角形(2)

斜边直角边定理：如图：已知NACB=NBDA=90

要使/ACBg/BDA,还需要什

么条件？把他们写出来，并说明

理由。

教学后记:

1.3线段的垂直平分线（第一课时）

教学目标:

1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识

和能力。

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。

3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高,

能利用尺规作出等腰三角形。

教学重、难点：线段的垂直平分线的性质及其逆定理的证明。

课时安排:一课时

教学过程:

我们曾利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两

个端点的距离睛等，你能证明这•结论吗?

定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

已知：如图，直线MN_LAB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的

任意一点。

求证：PA=PBo

证明：VMN1AB,

ZPCA=ZPCB=90°

VAC=BC,PC=PC

/.△PCA^APCB(SAS)

，PA=PB（全等三角形的对应边相等）

想一想，你能写出上面这个定理的逆合题吗？

它是真命题吗？如果是请证明:

定理到一条线段两个端点距离相等的点,

在这条线段的垂直平分线上。

（利用等腰三角形三线合一）

做一做

AB

D

用尺规作线段的垂直平分线

已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线。

作法：1、分别以点A和B为圆心，

以大于3AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D,

2、作直线CD。

直线CD就是线段AB的垂直平分线。

请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，

并与同伴进行交流。

因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，

所以我们也用这种方法作线段的中点。

随堂练习：P26

作业:P27,1、2、3、

板书设计：

教学后记:

1.3线段的垂直平分线（第二课时）

教学目标：

1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识

和能力。

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。

3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高,

能利用尺规作出等腰三角形。

教学重、难点：线段垂直平分线的性质及其应用

课时安排：一课时

教学过程：

引入：

剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这

三条垂直平分线，你发现了什么？当利用尺规作出三角形三条边的垂直

平分线时，你是否也发现了同样的结论？

定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶

点的距离相等。

证明：在aABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P,连接AP、

BP、CP,

•.•点P在线段AB的垂直平分线上

.•.PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）

同理：PB=PC

/.PA=PC

.•.点P在AC的垂直平分线上

（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线

±）o

...AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P。

议一议：1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形

吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作

出无数多个，它们不都全等）

2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形

吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边

的两侧，它们全等）。

做一做：

已知底边上的高，求作等腰三角形。

已知：线段a、b

求作：AABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.

ah

作法：

（1）作线段BC=a（如图）;（2）作线段BC的垂直平分线L,

交BC于点D,

（3）在L上作线段DA,使DA=h（4）连接AB,AC

作业：

板书设计:

教学后记:

1.4角平分线

教学目标：

1、进一步发展学生的推理证明意识和能力；

2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论

3、能够利用尺规作已知角的平分线。

教学重点：发展学生的推理证明意识和能力。

教学难点：角平分线的性质及其应用。

课时安排：一•课时

教学过程：

定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

证明：如图0C是NAOB的平分线，点P在0C上

PD±OA,PE±OB,垂足分别为D、E,

VZ1=Z2,OP=OP,

ZPDO=ZPEO=90°

/.△PDO^APEO(AAS)

.,.PD=PE(全等三角形的对应边相等)

其逆命题也是真命题。引导学生自己证明。

定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的

平分线上。

做一•做：用尺规作角的平分线。

已知：ZAOB

求作：射线0C,使NAOC=NBOC

作法：1、在0A和0B上分别截取OD、0E,使OD=OE

2、分别以D、E为圆心，以大于gDE的长为半径作弧，两弧在N

AOB内交于点C。

、作射线

3OCA

OC就是NAOB的平分线。

读一读：尺规作图不能问题：

三等分一个任意角，倍立方——求作一个立方体，使该立方体的体

积等于给定立方体的两倍。化圆为方——求作一个正方形，使其与给定

圆的面积相等。

课堂练习：P32,1、2题

作业：P34,1、2、3题。

板书设计：

教学后记

2.1花边有多宽

教学目标：

1、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和

能力。

2、渗透“夹逼”思想

教学重点难点：用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的

近似解。

教学方法：讲授法

教学用具：幻灯机

课时安排：一课时

教学程序：

一、复习：

1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：

ax2+bx+c-0(aW0)

2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

(1)2X2-X+1=0(2)-X2+1=0(3)X2-X=0(4)一小

x2=0

二、新授:

1、估算地毯花边的宽。

地毯花边的宽x(m),满足方程(8-2x)(5-2x)=18

也就是：2x2—13x+ll=0

你能求出x吗？

(1)*可能小于0吗？说说你的理由；x不可能小于0,因为x表示

地毯的宽度。

(2)x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？

x不可能大于4,也不可能大于2.5,x>4时，5—2x<0,x>2.5时，5—

2x<0.

(3)完成下表

X00.511.522.5

2x2—

13x+ll

从左至右分别11,4.75,0,-4,-7,-9

(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与

同伴交流。

地毯花边1米，抖,因8-2x比5-2x多3,将18分解为6X3,8-

2x=6,x=l

2、例题讲析：

例：梯子底端滑动的距离x(m)满足(X+6)2+72=1()2

也就是x?+12x-15=0

(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

(2)x的整数部分是几？十分位是几？

X00.511.52

X2+12X—

-15-8.75-25.2513

15

所以l<x<1,5

进一步计算

X1.11.21.31.4

X2+12X—

-0.590.842.293.76

15

所以l.l<x<1,2

因此x的整数部分是1,十分位是1

注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。

三、巩固练习：P47,随堂练习1

四、小结：估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很

高。

五、作业：P47,习题2.2：1、2

板书设计：

教学反思：

2.2配方法（第一课时）

教学目标：

1、会用开平方法解形如（x+m）2=n（n20）的方程；

2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程;

3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。

教学重、难点：二次项系数为1的配方

课时安排：一课时

教学程序：

一、复习：

1、解下列方程：

(1)X2=9(2)(X+2)2=16

2、什么是完全平方式？

利用公式计算：

(1)(x+6)2(2)(x—；了

注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。

3、解方程：(梯子滑动问题)

X2+12X-15=0

二、新授：

1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为

第1题的方程的形式呢？

2、解方程的基本思路(配方法)

如：X2+12X-15=0转化为(X+6)2=51

两边开平方，得x+6=土4I

•*.XI=\/5T—6x2=—-6(不合实际)

因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形

式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n20时，两

边开平方便可求出它的根。

3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：

(1)X2+12X+=(x+6)2

(2)x2-l2x+=(x-)2

(3)X2+8X+=(x+)2

从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。

4、讲解例题：

例1：解方程：X2+8X-9=0

分析：先把它变成(x+m)2』(n20)的形式再用直接开平方法求解。

解：移项，得：X2+8X=9

配方，得：X2+8X+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方)

即：(X+4)2=25

开平方，得：x+4=±5

即：x+4=5,或x+4=—5

所以：Xi=l,X2=—9

5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,

这种解一元二闪方程的方法称为配方法。

三、巩固练习：P50,随堂练习：1

四、小结:

(1)什么叫配方法？

(2)配方法的基本思路是什么？

(3)怎样配方？

五、作业：P50习题2.31、2

板书设计：

教学后记

2.2配方法(二)

教学目标：

1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。

2、进一步理解配方法的解题思路。

教学重点、难点：用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。

课时安排:一课时

教学程序：

一、复习：

1、什么叫配方法？

2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。

3、解方程：

(1)X2+4X+3=0(2)X2-4X+2=0

二、新授：

1、例题讲析：

例3：解方程：3X2+8X-3=0

分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。

Q

解：两边都除以3,得：x2+jx-1=0

Q

移项，得：x2+^X=1

配方，得：X2+|x+(1)2=1+(1)2(方程两边都加上一次项系数

一半的平方)

(x+3M)2

451

即：x+g=±]所以xiq,x2=—3

2、用配方法解一元二次方程的步骤：

(1)把二次项系数化为1；

(2)移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

(4)用直接开平方法求出方程的根。

3、做一做：

一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)

与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2

小球何时能达到10m高？

三、巩固：练习：P51,随堂练习：1

四、小结：用配方法解一元二次方程的步骤。

(1)化二次项系数为1;

(2)移项；

(3)配方：

(4)求根。

五、作业：P33,习题2.41、2

板书设计：

教学后记

2.2配方法(三)

教学目标：

1、经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现

实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能

力；

2、进一步掌握用配方法解题的技能

教学重点、难点：列一元二次方程解方程。

课时安排：一课时

教学程序：

一、复习：

1、配方：

(1)X2-3x+=(x_)2

(2)X2—5x+=(x—)2

2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

3、用配方法解下列一元二次方程？

(1)3x2-l=2x(2)X2-5X+4=0

二、引入课题：

我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一

些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读

课本，并思考：

三、出示思考题：

1、

(幻灯片)

如图所示:

(1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程?

(16-2x)(12-2x)=1X16X12

(2)一元二次方程的解是什么？

X|=2X2=12

(3)这两个解都合要求吗？为什么？

xi=2合要求，X2=12不合要求，因荒地的宽为12m,小路的

宽不可能为12m,它必须小于荒地宽的一半。

2、设花园四角的扇形半径均为xm,可列怎样的一元二次方程？

1

x2JT=^X12X16

(2)一元二次方程的解是什么？

X2心一5.5

(3)合符条件的解是多少？

X|=5.5

3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。

(1)花园为菱形?(2)花园为圆形

(3)花园为三角形？

四、练习：P56随堂练习

五、小结：

1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。

2、设计方案时，关键是列一元二次方程。

3、一元二次方程的解一•般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的

解。

六、作业：P56,习题2.5,1、2

板书设计：

教学后记:

2.3公式法

教学目标

1.一元二次方程的求根公式的推导

2.会用求根公式解一元二次方程

教学重点：一元二次方程的求根公式.

教学难点：求根公式的条件：b2-4ac>0

教学方法：讲练结合法

课时安排：一课时

教学过程：

一、复习

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？

2、用配方法解方程：X2-7X-18=0

二、新授：

1推导求根公式：ax2+bx+c=O(aWO)

解：方程两边都作以a,得x2+^x+;=0

da

移项，得：x2+^X=—

dd

配方，得：X2+^X+信)2-；+(92

Va^O,所以4a2>0

当b2—4ac20时，得

+b+/b2--4ac+4ac

—b±db2-4ac

:.x-2a

一。般地，对于一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO)当b?-4ac20时，它的根

是x——上士3”注意:当b2—4ac<0时，一元二次方程无实数根。

2、公式法：

利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

3、例题讲析：

例：解方程：X2-7x—18=0

解：这里a=l,b=—7,c=-18

Vb2-4ac=(-7)2-4X1X(-18)=121>O

7±\(121

x=--y".—即nn：X|=9,x=—2

ZA12

例：解方程:2X2+7X=4

三、巩固练习：P58随堂练习：1、2

四、小结：

(1)求根公式：x_—b±//4ac(b2-4ac^0)

/a

（2）利用求根公式解一元二次方程的步骤

五、作业：

（―）P59习题2.61、2

（二）预习内容：P59-P61

板书设计：

一、复习

二、求根公式的推导

三、练习

四、小结

五、作业

教学后记:

2.4分解因式法

教学目标：

1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解

决问题方法的多样性。

2.会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的

一元二次方程。

教学重点：掌握分解因式法解一元二次方程。

教学难点：灵活运用分解因式法解一元二次方程。

教学方法：讲练结合法

课时安排：一课时

教学过程：

一、回顾交流［课堂小测］

用两种不同的方法解下列一元二次方程。

1.5X2-2X-1=02.10(x+l)2-25(X+1)+10=0

观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这

个数是儿？你是怎样求出来的？

分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

二、范例学习

例：解下列方程。

1.5X2=4X2.x-2=x(x-2)

想一想：你能用儿种方法解方程x2-4=0,(X+1)2-25=0O

三、随堂练习随堂练习1、2

［拓展题］分解因式法解方程：X3-4X2=0O

四、课堂总结

利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌

握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程

的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。

五、布置作业：P62习题2.71、2

板书设计：

一、复习

二、例题

三、想一想

四、练习

五、小结

六、作业

教学反思：

2.5为什么是0.618(第一课时)

教学目标：

1、掌握黄金分割中黄金比的来历；

2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过

程，认识方程模型的重要性。

教学重点难点：列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程

教学方法：讲练结合

课时安排：一课时

教学程序：

一、复习

1、解方程：(1)X2+2X+1=0(2)X2+X—1=0

2、什么叫黄金分割？黄金比是多少？(0.618)

3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？

(方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式)

二、新授

1、黄金比的来历

如图，如果煞等，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。

f\DAL

\--------------1-------L

ACB

由隽=AC，得AC?=AB•CB

设AB=1,AC=x,贝iJCB=l-x

/.x2=lX(l—x)即：x?+x—1=0

1

解这个方程，得X1「1产,x2---^(不合题意，舍去)

bi*些人AC—1+^5

所以：黄金比通=~2~心0.618

注意：黄金比的准确数为目二1,近似数为0.618.

上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实

际问题都可以应用一元二次方程来解决。

2、例题讲析：

例1：P64题略(幻灯片)

(1)小岛D和小岛F相距多少海里？

(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与

补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到

0.1海里)

解：(1)连接DF,则DF1BC,

VAB±BC,AB=BC=200海里

/.AC=V2AB=200啦海里，ZC=45°

/.CD=1AC=100^/2海里DF=CF,啦DF=CD

；.DF=CF考CD考X10072=100海里

所以，小岛D和小岛F相距100海里。

(2)设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x

海里

EF=AB+BC—(AB+BE)—CF=(300—2x)海里

在Rt^DEF中，根据勾股定理可得方程：X2=1002+(300-2X)2

整理得，3x2—1200x+100000=0

解这个方程，得：xl=200-1号^^118.4

x2=200+型学适(不合题意，舍去)

所以，相遇时，补给船大约航行了118.4海里。

三、巩固：练习，P65随堂练习：1

四、小结：列方程解应用题的三个重要环节：

1、整体地，系统地审清问题；

2、把握问题中的等量关系；

3、正确求解方程并检验解的合理性。

五、作业：P66习题2.8：1、2

板书设计：

教学后记:

2.5为什么是0.618（第二课时）

教学目标：

1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；

2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解

决问题的能力。

教学重点、难点：列一元一次方程解应用题，找出等量关系列方程。

教学方法：讲练结合

课时安排：一课时

教学程序：

一、复习：

1、黄金分割中的黄金比是多少？［准确数为咛工，近似数为

0.618］

2、列方程解应用题的三个重要环节是什么？

3、列方程的关键是什么？（找等量关系）

4、销售利润=［销售价］-［销售成本］

二、新授

在日常生活生产中，我们常遇到一些实际问题，这些问题可用列一

元二次方程的方法来解答。

1、讲解例题：

例2、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表

明，为销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50

元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均

每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？

分析：

每天的每台的总利润

销售量（台）利润（元）（元）

降价前84003200

降价后8+4X400—x4x

<8+50)

X

50X(400-x)

每台冰箱的销售利润X平均每天销售冰箱的数量=5000元

如果设每台冰箱降价为x元，那么每台冰箱的定价就是(2900—x)

元，每台冰箱的销售利润为(2900—x—2500)元。这样就可以列出一个方

程，进而解决问题了。

解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得：

V

(2900-X-2500)(8+4X否)=5000

2900-150=2750元

所以，每台冰箱应定价为2750元。

关键：找等量关系列方程。

2、做一做：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月

能售出600个，调查表明这种台灯的售价每上涨一元，某销售量就减少

10个，为了实现平均每月20000的销售利润，这种台灯的售价应定为多

少？这时应进台灯多少个？

分析：每个台灯的销售利润X平均每天台灯的销售量=10000元

可设每个台灯涨价x元。

(40+x-30)X(600-10x)=10000

答案为:xl=10,x2=40

10+40=50,40+40=80

600-10X10=500600-10X40=200

三、练习：P68随堂练习1

四、小结：

五、作业：P68习题2.91

六、板书设计

七、教学后记:

一元二次方程的复习

教学目标：

1、熟练掌握一元二次方程的解法，能灵活选择方法解一元二次方程。

2、能利用方程解决有关实际问题，提高学生的应用能力。

教学重点、难点：一元二次方程的儿种解法；列一元二次方程解应

用题。

教学程序：

一、复习：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？它的二

次项系烽，一次项系数，常数项各是什么？

2、一元二次方程有哪些解法？

3、一元二次方程的求根公式是什么？

4、列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？关键是什么？

二、新课讲析：

1、解下列方程：

(1)2(X+3)2=X(X+3)(2)x2—2小x+2=0

三、练习：

1、解下列方程：

(1)x(x-8)=0(2)X2+12X+32=0

2、当x为何值时，代数式x2-13x+12=0的值等于42?

3、已知2T5是方程x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c

的值。

4、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做

成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长。

四、课堂小结：

1、一元一次方程的一般形式：

ax2+bx+c=0(aWO)

2、一元二次方程的解法：

(1)配方法：方程两边同加上一次项系数一半的平方。

(2)公式法：：x--b±^b(b2-4ac^0)

(3)分解因式法：方程一边为0,另一边分解为两个一次式的积。

3、列一元一次方程解应用题：

(1)步骤：a、设未知数；b、列方程；c、解方程；d、检验；e、

作答。

(2)关键：寻找等量关系。

五、作业：P69复习题：4、6、7、8

六、教学后记：

3.1平行四边形(一)

教学目标：

1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

2.能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论，

3.体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。

教学重点：掌握平行四边形的性质定理。

教学难点：探索证明过程，感悟归纳类比、转化的数学思想。

教学方法：讲练结合法

课时安排：一课时

教学过程：

一、回顾交流

问题提出：1.平行四边形有哪些性质?

2.平行四边形有哪些判定条件？

3.如何运用公理和已有的定理证明它们？

定理：平行四边形的对边相等。

学生证明。

拓展：由上面的证明过程，你还能得到什么结论？

定理：平行四边形对角相等。

二、范例讲解

例证明：等腰梯形在同一底上的

两个角相等。

拓展：这个命题的逆命题成立吗？如果成立，请你证明它。

学生证明。

定理同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

三、随堂练习

课本随堂练习1、2

学生独立练习。

四、课堂总结：平行四边形的主要性质有：对边相等、对角相等,

对边平行，对角线互相平分。

五、布置作业：课本习题3.11、2

板书设计：

教学后记：

3.1平行四边形（二）

教学目标：

1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

2.能运用综合法证明平行四边形的判定定理。

3.感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。

教学重点：掌握证明平行四边形的方法。

教学难点：运用综合法证明问题的思路。

教学方法：讲练结合法

课时安排：一课时

教学过程：

一、回顾交流

提问：1.请观察屏幕上的平行四边形，说一说它有哪些性质？

2.你能写出（1）中的逆命题吗？

3.如何证明判别一个四边形是平行四边形的方法？与同伴交

流。

二、小组合作、推理论证

1.的逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

议一议

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？如果是，请你证明

它，并与同伴交流。

学生先独立证明，再与同桌交流，上讲台演示。

定理一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

做一做

证明：如图中的四边形MNOP是平行四边形。

学生先独立证明，再与同桌交流，上讲台演示。

三、随堂练习：课本随堂练习1、2、3学生独立练习。

四、课堂总结

涉及到平行四边形判定的问题，应注意灵活选择不同的判定方

法。从边看：有三种判定方法：两组对边分别相等；两组对边分别平行;

一组对边平行且相等。从角看：两组对角分别相等。从对角线看：对角

线互相平分。

五、布置作业：课本习题3.21、2

板书设计：

教学后记:

3.1平行四边形（三）

教学目标：

1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

2.能运用综合法证明有关定理的结论。

3.理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。

教学重点：掌握和运用三角形中位线定理

教学难点：三角形中位线定理的证明

教学方法：讲练结合法

课时安排：一课时

教学过程：

一、创设情境

实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形。

你是如何切割的？

活动：将学生分成四人小组，将准备好的三角形模型进行拼摆。并

互相交流。

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

想一想

三角形的中位线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？

学生根据提示证明猜想。

定理三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半。

拓展：利用这一定理，你能证明出分割出来的四个小三角形全等吗？

学生口述理由

二、合作交流、拓展延伸

做一做

如图，任意作一个四边形，并将其四边的厂/<^\

中点依次连接起来，得到一个新的四边形，//

这个新的四边形的形状有什么特征？请证/X.

明你的结论，并与同伴交流。~

学生书写证明过程。

三、随堂练习

课本随堂练习1

学生独立练习。

四、课堂总结

学生自己小结

五、布置作业

课本习