金融经济学（王江）习题解答

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金融经济学习题解答

王江

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2023年8月

第2章

基本框架

2.1U(c)和V(c)是两个效用函数，c2R+，且V(x)=f(U(x))，其中f(￠)是一正单调

n

函数。证明这两个效用函数表示了一致的偏好。

解.假设U(c)表示的偏好关系为o，那么8c1;c22R+有U(c1)?U(c2),c1oc2而f(￠)是正单调函数，因而

V(c1)=f(U(c1))?f(U(c2))=V(c2),U(c1)?U(c2)

因此V(c1)?V(c2),c1oc2，即V(c)表示的偏好也是o。

N

2.2*在1期，经济有两个可能状态a和b，它们的发生概率相等：

ab

考虑定义在消费计划c=[c0;c1a;c1b]上的效用函数：U(c)=logc0+(logc1a+logc1b)3

1

2′

U(c)=

11?11?°111?°°c+c+1?°0°1a1?°c1b21?

000U(c)

证明它们满足：不满足性、连续性和凸性。

?￠ac?21e?ac+e?ac=?e?

解.在这里只证明第一个效用函数，可以类似地证明其次、第三个效用函数的性质。

(a)先证明不满足性。假设c?c，那么

0

有c0?c00;c1a?c01a;c1b?c01b而log(￠)是单调增函数，因此有

log(c0)?log(c00);log(c1a)?log(c01a);log(c1b)?log(c01b)因而U(c)?U(c)，即coc。

0

0

2

第2章基本框架

(b)现在证明连续性。令fc

(n)13(n)

g1为R中一个序列，且limn!1c=c。对于

\8\0;9±，当jc0i?cij·±时我们有jlog(c0i)?log(ci)jU(C0)，那么

1log(c0)log(c)+1log(c)+1log(c)>log(c0)+1log(c0)+

1b1a1b001a

2222

对于8?2(0;1)，

U(?C0+(1??)C)

1100

=log(?c0+(1??)c0)+2log(?c1a+(1??)c1a)+2log(?c1b+(1??)c1b)

111010

??(log(c0)+2log(c1a)+?)(log(c0)+2log(c1a)+2log(c1b))2log(c1b))+(1?

00

=?U(C)+(1??)U(C)>U(C)

0

0

故凸性成立。

2.3U(c)=c?2ac是一可能的效用函数，其中c2R+，a是非负的系数。U(c)具有不

满足性吗？假使不，那么a取什么值和/或c在什么范围内时U(c)具有不满足性？

12

解.不一定。譬如当a=1时，U(2)=8U(3)=?1:5。U(c)不

具有不满足性。当a=0时，U(c)=c具有不满足性；当a>0时，当c2[0;

1a]时U(c)具有不满足性。

131

2.4考虑一个经济，它在1期有三个可能状态：a，b和c：

a

bc

证券市场包括证券1和2，它们具有如下的支付向量：X1=[1;1;1]以及X2=[1;2;3]。它们的价格分别为S1和S2。

(a)描述这个经济的支付空间。

(b)写出这个经济的市场结构矩阵X。

(c)考虑含有μ1单位的证券1和μ2单位的证券2的组合。写出这个组合的

支付向量。这个组合的价格是多少？

°c王江金融经济学

3

(d)假设这个市场中总共有K个参与者。每个参与者的禀赋是1单位的证券1

和2单位的证券2。这时的市场组合是什么？市场组合的支付向量是什么？市场组合的总价值是多少？

(e)写出市场化支付的集合。

(f)假使市场不允许卖空。市场化支付的集合是什么？

(g)现在引入新的证券3，它的支付向量为X3=[0;0;1]。写出新的市场结构矩

阵。在这个市场结构下，市场化支付集合是什么？

解.

3

(a)这个经济的支付空间是R；4115

13

(b)市场结构矩阵为X=2123=[X1;X2]；

(c)组合的支付向量为μ1X1+μ2X2=[μ1+μ2;μ1+2μ2;μ1+3μ2]，组合的价格是μ1S1+μ2S2；

；(d)市场组合是K单位的证券1和2K单位的证券2，组合的支付向量为

[3K;5K;7K]，组合的总价值是KS1+2KS2(e)市场化的支付集合是M=fY2R

2

2

:Y=μ1X1+μ2X2;μ1;μ22Rg；

(f)这时的市场化支付集合是M+=fY2R:Y=μ1X1+μ2X2;μ1;μ22R+g；

41105合为。3

1

3

1

(g)新的市场结构矩阵为X=21203=[X1;X2;X3]，此时的市场化支付集

M=fY2R:Y=μ1X1+μ2X2+μ3X3;μ1;μ2;μ32Rg

2.5在练习2.4中定义的只存在证券1和2的经济中。考虑一个禀赋为μ1单位的

证券1和μ2单位的证券2的参与者。写出他的预算集。

解.参与者的预算集是fC2R+:C=?1X1+?2X2;其中?1S1+

3

?2S2·μ1S1+μ2S2g。

2.6在上面的练习中引入练习2.4中定义的证券3，它的价格为S3。这时，参与者的

预算集是什么（他在证券3上的禀赋为0）？证明由证券1、2、3构成的预算集包含仅由证券1、2构成的预算集。

解.此时参与者的预算集就变成了fC2R+:C=?1X1+?2X2+?3X3;其中?1S1+

3

?2S2+?3S3·μ1S1+μ2S2+μ3S3g。

2.7*考虑一个在1期只有一个可能状态的经济。（在这种状况下不存在不确定性。）参与者

1的0期禀赋为100而1期禀赋为1，即他的禀赋向量为[100;1]。他的偏好可

金融经济学江

°c王

4第2章基本框架

以表示成如下形式：

U(c0;c1)=logc0+?logc1:

系数?为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数。有一只证券，它

的0期价格为1、1期支付为1+rF。这里，rF是利率。

(a)假使这个参与者不能在市场上进行交易，那么他的消费计划以及相应的效用

U是什么？

(b)现在假设他可以在市场上进行交易。

2他的预算集是什么？以当前消费为单位，他的总资产w是多少？

2写出参与者的优化问题。令c0为参与者的当前（即0期）最优消费、s为最优储蓄以及U为在最优策略下得到的效用。求解他的最优消费/储蓄选择

以及相应的效用。把U表示成资产w、利率rF和偏好系数?的函数。2探讨参与者的最优选择如何依靠于利率rF和偏好系数?。给出解释。

b

b

a

(c)证明U?U。

(d)令g为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的好处。它的定义为

U(w?g)=U:

计算g。探讨g如何依靠于?？g如何依靠于rF？给出解释。

b

a

ba

解.

(a)假使不能交易，那么参与者只能消费自己的初始禀赋，即

c0=100;c1=1;U=log(100)+?log(1)=log(100)

(b)参与者的预算集是fC2R+:c0=100?S;c1=1+S(1+rF);S2Rg，如

果以当前消费为单位，他的总资产是w=100+1+rF。参与者的优化问题就是

a

2

1maxlog(100?S)+?log(1+S(1+rF))

S

我们求得最优储蓄1S=100?(1+rF)?

(1+?)(1+rF)最优消费为

c王江100(1+rF)+11?(100(1+rF)+1)?(1+rF)c0=(1+?)(1+rF)=1+?w;c1=(1+?)(1+rF)=1+?w

金融经济学°

4第2章基本框架

以表示成如下形式：

U(c0;c1)=logc0+?logc1:

系数?为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数。有一只证券，它

的0期价格为1、1期支付为1+rF。这里，rF是利率。

(a)假使这个参与者不能在市场上进行交易，那么他的消费计划以及相应的效用

U是什么？

(b)现在假设他可以在市场上进行交易。

2他的预算集是什么？以当前消费为单位，他的总资产w是多少？

2写出参与者的优化问题。令c0为参与者的当前（即0期）最优消费、s为最优储蓄以及U为在最优策略下得到的效用。求解他的最优消费/储蓄选择

以及相应的效用。把U表示成资产w、利率rF和偏好系数?的函数。2探讨参与者的最优选择如何依靠于利率rF和偏好系数?。给出解释。

b

b

a

(c)证明U?U。

(d)令g为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的好处。它的定义为

U(w?g)=U:

计算g。探讨g如何依靠于?？g如何依靠于rF？给出解释。

b

a

ba

解.

(a)假使不能交易，那么参与者只能消费自己的初始禀赋，即

c0=100;c1=1;U=log(100)+?log(1)=log(100)

(b)参与者的预算