2021-2022学年浙江省精诚联盟高二下学期3月联考数学试题(解析版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat6页2021-2022学年浙江省精诚联盟高二下学期3月联考数学试题一、单选题1．直线：的方向向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直线的方向向量定义求解.【详解】因为直线：的斜率为2，所以其方向向量可以是，故选：A2．已知双曲线的离心率为，则的值是（

）A． B．9 C． D．15【答案】D【分析】根据双曲线方程得到，再利用离心率公式求解.【详解】解：由双曲线得，，则，所以，解得，故选：D3．如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图形即可得解.【详解】根据题意可得:故选：D.4．已知曲线在处的切线为，点到切线的距离为为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】先利用导数求得切线方程，然后利用点到直线的距离公式求得.【详解】，所以切线的斜率为，切点为所以切线方程为，所以.故选：B5．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（

）A．36个 B．30个 C．25个 D．20个【答案】C【分析】根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.【详解】因为点不在轴上，所以点的横坐标不能为0，分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有个点，第二类坐标不含0的点，共有个点，根据分类加法计数原理可得共有个点.故选：C6．过点的直线与抛物线：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的2倍，则（

）A． B． C．10 D．17【答案】C【分析】设出直线方程，与抛物线联立得到两根之和，两根之积，利用面积之比得到线段之比，进而得到关系式，结合韦达定理求出，从而求出.【详解】由题意得：，设直线：，与抛物线联立得：，则，，抛物线准线方程为：，则，所以，由可得：，即，又，故，所以，由可得：，整理得：，解得：，.故选：C7．已知数列满足，，则使得成立的的最小值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】当时，，当时，可推出，即，从而可求出数列的通项公式，解不等式可求出的最小值【详解】当时，，当时，，，所以，所以，所以数列从第二项起是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，综上，由，得，所以，因为，所以，所以，所以的最小值为12，故选：C8．已知m，n为实数，不等式恒成立，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】设，求出其导数，利用导数求得其最大值，则得到恒成立，再利用的表达式构造函数，再利用导数求其最值，解得答案.【详解】设，当时，恒成立，故在上单调递增，存在实数，比如使得，此时不等式不成立，不合题意；当时，令，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，即恒成立，由于，所以，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，故，故，故选：A二、多选题9．关于空间向量，下列说法正确的是（

）A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则B．直线的方向向量为，直线的方向向量，则C．若对空间内任意一点，都有，则P，A，B，C四点共面D．平面，的法向量分别为，，则【答案】BCD【分析】A.由是否为零判断；B.由是否为零判断；C.由空间向量共面向量定理判断；D.由是否为零判断；【详解】A.因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且，所以不平行，故错误；B.因为直线的方向向量为，直线的方向向量，且，所以，故正确；C.因为，即，即，所以，所以P，A，B，C四点共面，故正确；D.因为平面，的法向量分别为，，且，所以，故正确；故选：BCD10．如图给出的是一道典型的数学无字证明问题，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（

）A．矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列B．前9个矩形块中所填写的数字之和等于C．面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为D．记为除了前块之外的矩形块面积之和，则【答案】ABD【分析】易得矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，然后逐项判断.【详解】A.由矩形块中所填数字可知：所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故正确；B.前9个矩形块中所填写的数字之和为,故正确；C.面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为，故错误；D.前块之外的矩形块面积之和为，故，故正确；故选：ABD11．已知圆：和圆：相交于A、B两点，下列说法正确的是（

）A．圆的圆心为，半径为1 B．直线AB的方程为C．线段AB的长为 D．取圆M上的点，则的最大值为6【答案】BC【分析】将圆：配方，可得其圆心和半径，判断A;将两圆方程相减可得公共弦的方程，判断B;利用圆心到公共弦的距离和圆的半径以及弦长之间的关系可求得线段AB的长，判断C;求出圆心M和点(5,1)的距离，根据的几何意义可判断D.【详解】圆：即：，圆心为，半径为1，故A错误；将圆：和圆：的方程相减，得直线AB的方程为:,故B正确；线段AB的长为，故C正确；设点，则,故的最大值为，故D错误，故选：BC12．已知曲线C的方程为，点，则（

）A．曲线C上的点到A点的最近距离为1B．以A为圆心、1为半径的圆与曲线C有三个公共点C．存在无数条过点A的直线与曲线C有唯一公共点D．存在过点A的直线与曲线C有四个公共点【答案】BC【分析】原方程等价于，然后对各选项逐一分析判断即可得答案.【详解】解：原方程等价于，对A：由题意，当为曲线C在第一象限上的点时才有P点到A点的最近距离，此时，所以，，故选项A错误；对B：因为，且椭圆右顶点、上顶点到点的距离分别为、，故椭圆上恰有三个点到的距离为，故选项B正确；对C：由于与无交点时，联立，有，由可得，此时直线只与椭圆部分有一个交点，故选项C正确；对D：双曲线的渐近线斜率为，当过A点的直线斜率或时，直线与曲线C的椭圆部分有两个交点，与双曲线部分无交点；当时，直线与曲线C的椭圆部分有一个交点，与双曲线部分最多两个交点，所以与曲线至多有三个公共点，故选项D错误.故选：BC.三、填空题13．直线与圆的位置关系是_________.（填相切、相交、相离）【答案】相交【分析】首先求出直线过定点坐标，再判断点与圆的位置关系，即可判断直线与圆的位置关系；【详解】解：直线恒过定点，又，即点在圆内，所以直线与圆相交；故答案为：相交14．如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.【答案】4【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，，得，，又，∴，所以，即.故答案为：4.15．某地区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等8名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天.现要求甲、乙、丙至少选两人参加.考虑到实际情况.当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为________.（请算出具体数值）【答案】【分析】由排列组合中的分类计数原理，分类讨论当甲、乙、丙只有两人参加时和当甲、乙、丙三人都参加时不同的安排数，再求解即可．【详解】解：①甲、乙、丙中只选两人，有种选法，再从余下5人中任选4人有选法，将选取的6人安排到周一到周六有种，因此，共有不同安排种数为，②当甲、乙、丙三人都参加时，因为丙一定得排在甲乙之间，从余下5人中任选3人有选法，周一到周六中取3天安排甲、乙、丙且丙在甲乙之间有种，另3天安排所选3人有种，那么不同的安排数为种，故不同的安排数为，故答案为：．16．设，则_________.【答案】496【分析】先把化成的形式，把看成整体，应用二项式定理即可求解.【详解】，，故.故答案为：496.四、解答题17．在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知为等差数列的前项和，若____________.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）①②根据所选条件得到方程组，求出与，即可求出通项公式；③根据，计算可得；（2）利用分组求和法与裂项相消法求和即可；【详解】(1)解：若选①，，则，解得，所以；若选②，，则，解得，所以；若选③，当时，当时，所以，当时也成立，所以(2)解：因为，所以，所以所以18．已知展开式中各项的二项式系数和为32.(1)求展开式中的有理项；(2)求展开式中系数最大的项.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据展开式中各项的二项式系数和为32，由，解得，再利用其通项公式求解；（2）设第r+1项的系数最大，根据通项公式，由求解.【详解】(1)解：因为展开式中各项的二项式系数和为32，所以，解得，其通项公式为，当时，，当时，，所以展开式中的有理项有，；(2)设第r+1项的系数最大，则，解得，因为，解得，所以.19．某工厂共有10台机器共同生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定数量的次品.根据经验知道，每台机器生产的次品数（万件）与每台机器的日产量（万件）之间满足关系：，已知每生产1万件合格的元件可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元.(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润（万元）表示为关于（万件）的函数（利润盈利亏损）；(2)当每台机器的日产量（万件）为多少时，获得的利润最大，最大利润为多少?【答案】(1)(2)日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为万元．【分析】（1）利用利润盈利亏损，得到与的关系，将代入整理即可；（2）对（1）的解析式求导，判定取最大值时的值，求最大利润．【详解】(1)解：由题意，所获得的利润为(2)解：由（1），所以，令，得到或（舍去）；所以当，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减；所以当时，函数取极大值，即最大值，所以当时利润最大，为（万元），当每台机器的日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为万元．20．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，.(1)若是上一点，且，证明：平面；(2)若E是的中点，点F满足，M是线段PA上的任意一点.求与平面所成角的正弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）点作交于点，连接，即可得到且，从而得到四边形为平行四边形，即可得到，从而得证；（2）如图建立空间直角坐标系，令，即可求出点的坐标，设，利用空间向量法表示出线面角的正弦值，再根据函数的性质计算可得；【详解】(1)解：过点作交于点，连接，因为又，所以，又，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面(2)解：因为平面ABCD，，如图建立空间直角坐标系，则，设，则、、、，又，所以，设，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，设与平面所成角为，则当时，当时，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，所以当且仅当时取等号，所以，所以，所以，即，综上可得；21．已知，是椭圆：的焦点，焦距为2，且经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C右焦点F的动直线与椭圆C交于点P，Q（与左右顶点不重合），判断x轴上是否存在点E，使得直线EP，EQ关于x轴对称，若存在，求出点E坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由焦距可得,将点代入椭圆方程及，可得，，从而得出椭圆C的方程；（2）联立直线l和椭圆方程，利用韦达定理结合得出点E坐标.【详解】(1)由题意有，解得，，所以椭圆C的方程为．(2)由（1）得，设直线l的方程为，，，由，得，所以，，设x轴上存在点，使得直线EP，EQ关于x轴对称，则，所以，所以，故x轴上存在点，使得直线EP，EQ关于x轴对称．【关键点睛】解决第（2）问时，关键在于将直线EP，EQ关于x轴对称转化为，结合韦达定理得出点E坐标.22．已知函数，.(1)若，求的单调区间；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(2).【分析】（1）把代入函数解析式中得，对函数进行