考研数学历年真题详解

第一章行列式

1.（95,九题，6分）设A是“阶矩阵，满足4T=E（E是”阶单位阵，是4的转置

矩阵,L4l<0,求IA+EL

【分析】由矩阵等式求抽象矩阵A+E的行列式，联想到利用此等式条件，则有两

种方法：

①将E=AA，直接代入要计算的行列式中。

②“凑”出可利用已知矩阵等式中左端的形式AA"再将44,=E代入计算。

像这种矩阵运算与行列式计算结合考查的题型，应注意.

【详解】根据A47=E有

\A+E\-\A+AAr1=1A(E+AT)\^\AWE+A\^\AWA+E\,

于是(ITAI)IA+EI=O

因为广福l〉0,IA+£I=O

%00仇

0a.b.0

2.（96,选（5）题，3分）四阶行列式J2八的值等于

04阳0

比004

(A)a{a2a3a4—b}b2b3b4

(B)2a3a4+2b3b4

(C)(q/一姑2)33a4-姑4)

(D)(a2a3-h2b3)(a1a4一仙)

【答】应选（D）

【分析】本题是根据行列式展开定理按照第一行展开计算求解的，也可以按照拉普拉斯展开

定理进行计算分析•，解答本题有一定的技巧性

【详解】按第一行展开，

a2h2002b2

~-2b?a2

原式=a]♦®/0,0b3仆=。］。4~~岫4

瓦00瓦与4

00对

=（%43—%，3）（%。4一々坊）

故正确选项为(D)

3.(99,选(4)题，3分)设4是机X”矩阵，B是矩阵，贝ij

(A)当机时，必有行列式11481W0.(B)当加>”时，必有行列式IIAB1=0.

(C)当">〃?时，必有行列式IIABIwO.(D)当〃>,〃时，必有行列式IIABI=O.

[]

【答】应选(B)

【分析】四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条

件，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，所以最终只要判断AB是否满秩即可。本题

未知AB的具体元素，因此不方便直接应用行列式的有关计算方法进行求解。

【详解】因为AB为m阶方阵,且r(AB)Smin[r(A),r(B)]4min(7n,〃)

当m>n时，由上式可知，r(AB)<n<m,即AB不是满秩的，故有行列式IABI=O,因此正

确选项为(B)

一210'

4.(04,填(5)题，4分)设矩阵A=120,矩阵B满足A84*=284*+E,其中A*

001

为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则IBI=-

9

【分析】可先用公式A*A=1AIE进行简化

【详解】己知等式两边同时右乘A,得

ABA*A=284*A+A,而IAI=3,于是有

3AB=6B+A,即(3A-6E)B=A,再两边取行列式有：

I3A-6EIIBI=IAI=3,而I3A-6EI=27,故所求行列式为IBI=-

9

5.(05,填(5)题，4分)设,,二2，£3均为3维列向量，记矩阵

A=(a1,a2,a3),B=(a,+a2+a3,at+2a2+4a3,a,+3%+9%)

如果IAI=L那么IBI=2

【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可。

【详解】对矩阵B用分块技巧，有

-11r

B=9]a2a3)123

149

两边取行列式，并用行列式乘法公式，得

111

|B|=|A|123=2\A\

149

所以IBI=2.

6.(06,(5)题，4分)设矩阵A,E为单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E,则

【分析】本题为计算方阵行列式，应利用矩阵运算与行列式的关系来求解

【详解】由BA=B+2E得

BA-B=2E

B(A-E)=2E

IB(A-E)I=I2EI

IBIIA-EI=4

IBMIA-EI-1

11

=4=4x2=8

第二章矩阵

一、矩阵运算

12-2

1.(97,填(4)题，3分)设A=4t3,8为三阶非零矩阵，且AB=O,则1=-3

3-11

【分析】由AB=O也可推知r(A)+r(B)W3,而r(B)>0。于是r(A)W2,故有IAI=0=>t=-3.

【详解】由于B为二阶非零矩阵，且AB=O,可见线性方程组Ax=O存在非零解，故

12-2

|?1|=4t3=0=>/=-3

3-11

二、伴随矩阵

1.(05,12题，4分)设A为n(〃N2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,

8*分别为A,B的伴随矩阵，则

(A)交换A*的第1列与第2列得B*

(B)交换A*的第I行马第2行得

(C)交换A*的第1列与第2列得-B*

(D)交换A*的第1行与第2行得-8”

【答】应选(C)

【分析】本题考查初等变换得概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系

以及伴随矩阵的性质尽心分析即可

【详解】为书写简捷，不妨考查A为3阶矩阵，因为A作初等行变换得到B,所以用初等

矩阵左乘A得到B,按已知有

010

100A=6

001

010T,F010

于是Bi=AT1o0=4一|100

001001

010

/?*A*

从而——=——1o0

\B\\A\

001

一01O-

又因IAHIBI,故A*100=一3*,所以应选(C)

001

三、可逆矩阵

1.(96,八题，6分)设4=后—笈'，其中E是n阶单位矩阵，J是n维非零列向量，?

是J的转置，证明：

(1)屋=A的充要条件是打「=1

(2)当打7=1时，A是不可逆矩阵

【分析】本题考查矩阵乘法的分配律、结合律。题中J是n维列向量，则打7■是n阶矩阵且

秩为1。而三&是一个数

【详解】

(1)A2=(E-^T)(E-2^r)=E-2穹+其3次T=E-穹

因11匕A2=A=E_(2_=E—打7'o6飞-l)^r=0

因为JwO,所以弃,HO故屋=A的充要条件为3j=i

(2)方法一：当夕&=1时-，由4=后一打L有=C学飞=1=0,

因为Jw0故Ax=0有非零解，因此IAI=0,说明A不可逆

方法二：当歹J=l,由A2=AnA(E—A)=0,即E—A的每•列均为Ax=0的解，

因为E—A=打'H0,说明Ax=0有非零解，故秩(A)<n,因此A不可逆

方法三：用反证法。假设A可逆，当g%=1,有A2=A

于是才丛2=4-y，即人=以这与A=E—矛盾，故A时不可逆矩阵

2.(01,填(4)题3分)设矩阵A满足42+A—4E=0,其中E为单位矩阵，贝U(A—E)

](A+2E)

【分析】本题中矩阵A的元素没有给出，因此用伴随矩阵，用初等行变换求逆的方法行不

通，应当考虑用定义法。

【详解】由题设，A?+A—4E=0,

有屋+A-2E=2E,(A—E)(A+2E)=2E

也即(A—E)-5(A+2E)=E

故(A_E)T=_(A+2E)

四、初等变换和初等矩阵

a

。1223

I.(95,选(5)题，3分)设A=,B=a

。22i3

032。33+°13

100

00>p2~010，则必有

0110

(A)APtP2=B(B)AP2Pt=B

(C)P\P#=B(D)P2P}A^B

【答】应选(C)

【分析】因为耳，8为初等矩阵，对A左乘或右乘初等矩阵，相当于对A施行了一次行或

列初等变换，这里，B是由A先将第一行加到第三行，再交换第一、二行两次初等变换得

到的，故有［6A=8

【详解】耳是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，［是将单位矩阵的第一行加到第

三行所得初等矩阵，而B是由A先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等

交换得到的，因此有4gA=8,故正确选项为(C)

2.(97,八题，5分)设4是〃阶可逆方阵，将A的第i行和第，行对换后得到的矩阵为B

(1)证明8可逆；

(2)求AB-

【分析】本题考查了初等矩阵的定义，性质•级初等变换的关系，将A的第i行和第，行对

换，相当于左乘一初等矩阵，交换两行，行列式变号，其值仍不为零，从而B可逆

【详解】（1）记E（i,J）是由n阶单位矩阵的的i行和的j行对换后得到的初等矩阵，则

B=E（i,力A,于是有IBI=IE（i,力IIAZAIHO,故B可逆

3.（04,选（11）题，4分）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B得

第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为

010010

(A)100(B)101

101001

-010--o1r

(C)100(D)100

011001

【答】应选（D）

【分析】本题考查初等矩阵的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应

的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积

【详解】由题意，有

010100

4100=B,B011=c

_001_001

01。］0()「01r

于是A10°°11=A100=c

00［。01001

可见应选（D）

4.(06,(12)题，4分)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1

110

列的一1倍加到第2列得C,记P=010则

001

(A)C^P'AP(B)C=PAP-'

(C)C=PTAP(D)C=PAP1

【分析】本题为矩阵运算，需要利用矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来求解。

【详解】因为P为初等矩阵，PA相当于把A的第2行加到第1行，记B=PA,所以正选应

在（B）,（D）之中，而8P，相当于把B的第2列加到第1歹IJ,故选项（D）错误，于是,

正确选项为（B）

五、矩阵方程

一1

oo

3-

1

oO

1.（95,填5题，3分）设三阶方阵A,B满足关系式：A-iRA=6A+84,且A=4-

1

OO-

7

一

300

贝|JB=020

001

【分析】解这种矩阵的题型，应先进行化简后再计算，但注意的是：左乘与右乘矩阵时是有

区别的，请不要轻易地犯这种低级错误。

【详解】在已知等式4TA4=6A+6A两边右乘以得

A-'B=6E+B

于是

B=6(A-'-EY'

00

00

2.（00,十题，6分）且4J*=吐+3E,

10

08

其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B

【分析】本题为求解矩阵方程问题，B相当于是未知矩阵，其一般原则是先化简，再计算,

根据题设，等式可先右乘A,再左乘A*,尽量不去计算A"

【详解1】由A4*=A*4=IAIE,知因此有

8TA*|=|A|3,于是|A|=2

在等式AA4T=84一|=3E两边先右乘A,再左乘A*,得

(2E—A*)8=6E,

10006000

01000600

于是3=6(2E—A*》=6—

-10106060

030-6030-1

【详解2】IAI=2（同解1）。由AA*=\A\E,得

1000'-2000'

01000200

A=A|(A*)T=2A()T=2-1010=-2020

3,、13~1

0-0-0-0-

8844.

可见A-E为可逆矩阵，于是由（力―=3E,有6=3(4-£尸4,而

'1000■-1"1000'

01000100

(AR-2010=2010

33cc4

0-0——010——

44L3J

-1000--2000-

6000

01000200

0600

因此B=32010-2020

6060

八■八431

010——0-0-030-1

3_44.

六、矩阵得秩

102

1.(96,填5题,3分）设A是4X3矩阵，且A得秩r（A）=2,而8020,贝h

-103

(AB)=2

【分析】本题是基本题型，考查的是矩阵的秩

102

【详解】因为忸1=020=10/0,说明矩阵B可逆，故秩「08）=秩r（A）=2

-103

6

是满秩的，则直线21£=上二九=三区与

C

2.（98,选4题，3分）设矩阵a2，22

"i-a?by-b、

«3&C3

直线.一.=y-a=z-C|

4一%b,一bjC2C3

(A)相交于一点(B)重合

(C)平行但不重合(D)异面

[]

【答】应选(A)

【分析】本题综合运用了线性代数于空间解析几何两个知识点，主要考查对满秩方阵、二向

量共线的条件及三向量共面的条件等概念的理解及应用，作为选择题本题首先可由两直线

不共线,排除选项(B)和(C),根据对称性,不难观察到点3-。2+。3，瓦-瓦+》3，C|-，2+。3)

同时满足两个方程，故应选(A)

«)4q

【详解】设矩阵a2b2c2是满秩的，所以通过行初等变换后得矩阵

4。3_

ax-a2b{-b2cl-c2

。2一。3%一4仍是满秩的，于是两直线的方向向量

_«3b3.

S[={。]一电力1—，2，C]一。2}$2=3一％也—”3，，2—C3}

线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合。又(％,仇,Cj、(生,4,，3)分别为两直线上

的点，其连线向量为：Si^{a}-a2,h]-b2,cl-c2},满足S3=S1+S2,可见$，S2,S3

共面，因此S2必正交，即两直线肯定相交

第三章向量

一、向量组地线性相关问题

I.（97,选4题,3分）设%=a2,at=b2,tZI=c2,则三条直线qx+Ay+q=0,

a2x+b2y+c2=0,a3x+/>3y+c3=0（其中a：+b；/0,，'=1,2,3）交于一点地充要条件是

(A)线性相关(B)线性无关

(C)秩“%,。2，[3)=秩，(01,%)(D)线性相关，a1，%线性无关

[

【答】应选(D)

alx+bly+cl-0

【分析】三条直线交于一点的充要条件是方程组,。2%+4〉+。2=0有惟解

a^x+b^y+c3=0

【详解】由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组

qx+bj+C]=0

<a2x+b2y+c2-0

a3x+Z?3y+c3=0

有惟一,解，其充要条件为秩r(at,a2,a3)=秩rCa^a,)=2

(A),(C)必要但非充分；(B)既非充分又非必要；只有(D)为充要条件，故应选(D)

2.(98,十一题，4分)设A是n阶矩阵，若存在正整数k,使线性方程组A«x=0有解向

量a,且不TJCNO,证明：向量组a,Aa,…,A*-%线性无关

【分析】向量组a,Aa,…,不一力是线性无关的，则当4a+4Aa+…+4_|不一勿=0时,

必有4=4=…=4_]=o成立

【详解】设有常数4,4,…，4_「使得

4a+4A&H■…+=0

则有Ak-'（4a+4Aa+…+4TAia）=。

从而41Ala=0

由题设不一匕*。，所以％=0

类似地可以证明4=4=…=4_|=0，因此向量组a,Aa,…,不一勿是线性无关的

3.（00,选4题，3分设n维列向量组a”…,a,“（men）线性无关，则n维列向量组瓦…，口”

线性无关的充分必要条件为

（A）向量组4”可由向量组片,…，乩线性表示

（B）向量组片,…，色可由向量组线性表示

（C）向量组4,…,a,“与向量组笈,…，凡等价

（D）矩阵A=）与矩阵8=（四,…，色）等价

[]

【答】应选（D）

【分析】向量组片,…,凡线性相关O向量组的秩“片,…,"）=〃?，由定理“若,，…,4

可由四，…,以线性表出，则“%,…,…,力）”

【详解】用排除法

（A）为充分但非必要条件：若向量组必，…,a,”可由向量组笈，…,总线性表示，则一定可

推导出片,…，凡线性无关，因为若必，…,凡线性相关，则八%,…,%,）＜〃？，于是

名,…,%，必线性相关，矛盾。但反过来不成立，如当m=l时，/=（1,0）,自=（0,1/■均

为单个非零向量是线性无关的，但必并不能用女线性表示

（B）为既非充分又非必要条件。如当m=l时，考虑/=（1,0）7,川=（0,1尸均线性无关，

但四并不能由名线性表示，必要性不成立；又如名=（1,0），用=（0,0尸，与可由%线性

表示，但4并不线性无关，充分性也不成立

（C）为充分但非必要条件，若向量组,，…,4”与向量组才,&等价，由名,…,区”线

性无关秩,r（国，…，/3m）=r（%,…，a,“）=m,因此…线性无关，充分性成立；当

m=l时,考虑口=（1,0）与4=（0,1/■均线性无关，但％与天并不是等价的,必要性不成立

故剩下（D）为正确选项。事实上，矩阵4=（%,与矩阵8=（自，…,凡）等价

。r（A）=«B）or（4,……因此是向量组取,…，色线性无关的

充要条件

4.（03,选4题，4分）设向量组I:区,。2,…,%可由向量组H：凡可，…血线性表示，则

（A）当r<s时，向量组II必线性相关（B）当>s时，向量组H必线性相关

（C）当r<s时，向量组I必线性相关（D）当os时，向量组I必线性相关

【1

【答】应选（D）

【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：%,。2,…,巴可

由向量组n：4,四，…,凡线性表示，则当〉s时，向量组I必线性相关，或其逆否命题：若

向量组I可由向量组II：4,外，…血线性表示，且向量组I线性无关，则必

有rWs,可见正确选项为（D）。本题也可通过举反例用排除法找到答案

【详解】用排除法：如

,4=血=，则/=0・g+00，但综夕2线性无关，排除（A）：

1o11>

%=,%=，用=，则/.a?可由总线性表示，但与线性无关，排除（B）;

/=：）,4=（；）,自=:,则必可由自，河线性表示，但火线性无关，排除（C）

故正确选项为（D）

5.（04,选（12）题，4分）设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有:

(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关

(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关

(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关

(D)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关

【答】应选（A）

【分析】A,B的行或列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx

=0）是否有非零解进行分析讨论

【详解1】设A为mXn矩阵，B为nXs矩阵，则由AB=O知，

r(A)+r(B)<n

又A,B为非零矩阵,必有r(A)>0,r(B)>0.可见r(A)<n,r(B)<n,即A的列向量组线性相关,

B的行向量组线性相关，故应选(A)

【详解2】AB=0知，B的每一列均为Ax=O的解，而B为非零矩阵，即Ax=O存在非零

解，可见A的列向量组线性相关。

同理，由AB=O知，BTAT=0,于是有5T的列向量组线性相关，从而B的行向量组线性

相关，故应选(A)

6.(05,选11题,4分)设4,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为名,a2，

则%,4%+。2)线性无关的充分必要条件是

(A)4/0(B)4/0(C)4=0(D)4=0

【］

【答】应选(B)

【分析】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念，讨论,组抽象向

量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可

【详解】按特征值特征向量定义，有+&2)=A/+A&2=4%+4a2

a

a,,A(at+。2)线性无关=K\+左2A(%+&2)=°，占，42恒为°

。(匕+4左2)。1+4%2a2=0,匕,22恒为0

由于不同特征值的特征向量线性无关，所以线性无关

k.+=0

于是:J八次I，&恒为0

k.+4%,=o14

而齐次方程组<I八，只有零解=八:力0=4工0

/t,K,=0

所以应选(B)

7.(06,(11)题，4分)设,,。2,…,见均为n维列向量，A是mXn矩阵，下列选项正确

的是

(A)若外,。2,…,线性相关，贝1J4囚,A&2,…，A4线性相关

(B)若,,&2,…,见线性相关，贝ijA%,…，A4线性无关

(C)若囚,a2，…，4一线性无关，贝IA4,Aa2,…,Aa,线性相关

(D)若,,&2,…,线性无关，贝ijA/,A。2，…，A。,线性无关

【分析】本题为判别向量组的线性相关性，可利用线性相关性的定义和矩阵的秩与向量线性

相关的关系来求解

【详解1】因为若囚,。?，…,见线性相关，则存在不全为0的s个数匕，右，…,&，使

kxa]+k2a[H---1-ksas-0

用A左乘上式两端，得

A(klal+k2a2+…+ksas)=A-0

nk[Act,+k2Aa2H■…+ksAas=0

因勺/2,…,凡不全为零，故A/,A%,…,A%线性相关，所以，正确选项为(A)

【详解2】设矩阵

S=[al,a2,---,av],C=\Aax,Aa2,---,Aas]

贝|JC-{AavAa2,---,Aas]-A[ax,a2,---,as]-AB

于是«C)=，(A8)<«8)

若%,a?，…,线性相关，则MB)<s,由此得r(C)<s。止时，C的列向量Aax,Aa2,---,Aas

线性相关，所以，正确选项为(A)

【详解3]因矩阵A可任意取，故当A=0时，可得选项(B),(D)是错误的，而当s=n

时，WA=E,可得选项(D)也是错误的，所以正确选项只能是(A)

二、向量组的秩与向量空间

rr

1.(97,七(1)题，5分)设B是秩为2的5X4矩阵，a}=(1,1,2,3),a2=(-1,l,4,-l),

。3=(5,-1,-8,9)/'是齐次线性方程组以=0的解向量,求取=0的解空间的一个标准正交基

【分析】要求Bx=0的解空间的一个标准正交基，首先必须确定此解空间的维数以及相应

线性无关的解，由题设知解空间的维数，即Bx=0的线性无关解的个数等于B的列数减r(B),

显然等于2,而名,。2，。3三个解向量两两均是线性无关的，选取任意的两个进行施密特正

交化均能得到一个标准的正交基，解不是唯一的

【详解】因秩r(B)=2,故解空间的维数为：4-r(B)=4-2=2

又％,%线性无关，可见生,%是解空间的基

先将其正交化：令

22

33

再将其单位化：令

1

即为所求的一个标准正交基

2.（03,填4题，4分）从R?的基因=,02=到基4=，22=的过渡矩

0I—1/12,

23、

-1-2,

【分析】n维向量空间中,从基灯,…,％到基才,…，月的过渡矩阵P满足

，

[凡外…应%]P,因此过渡矩阵P为:P=[al,a2,-,anr^l,jS2,-,jS„]

【详解】根据定义，从心的基/到基月的过渡矩阵为

11Y71

P=(',4)-'(人片)=

o-11

第四章线性方程组

一、齐次线性方程组

1.（98,十二题，5分）已知线性方程组

a\\X\+《2》2^ai.2nX2n=0

a2}x}+a22x2+---+a22nx2n=0

（1）«

。“丙+。“2—+…+%2"耳=°

的一个基础解系为（如也，…，或2"）"心也2,…也,2"）‘，…，（如也2,…也.2.尸，试写

出线性方程组

.11%+瓦%+…+伍,2“％.=0

,n、%凹+%2%+~+%2/2“=。

+22%+…=0

的通解，并说明理由

【分析】一般地，若AB=0,就应想到B的每•列均为Ax=0的解，本题也可用向量形式证

明A的行向量的转置为（II）的解，但相对较复杂一些

【详解】（II）的通解为

y=…，"1,2"）+。2（。21，"22，~'，。2,2"）%（%1，册2”），。1，…，

C,为任意常数

理由：方程组（I）,（H）的系数矩阵分别记为A,B,则由题设可知AB「=0,璃BAT=0,

可见A的n个行向量的转置向量为（II）的n个解向量

由于B的秩为n,故（］1）的解空间维数为2n-r（B）=2n-n=n.又A的秩为2n与（I）的解空

间维数之差，即为n,故A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（H）的一个

基础解系，于是得到（II）的上述通解

2.（01,九题，6分）设名,%,…,4为线性方程组Ax=0的一个基础解系，f3x=+t2a2,

P2=/e2+f2a3,…，及=，14+，2a厂持九，2为实常数。试问"，，2满足什么关系时，夕1，…，

氏也为Ax=o的一个基础解系

【分析】首先应理解基础解系的概念，片,…，氏是Ax=o的一个基础解系，必须证明以，…,

月均为Ax=O的解，而且是线性无关的，而基础解系应满足两个条件：①解向量；②线性

无关且向量个数为S=n-r(A)

【详解】由于用］=1,2,…,S)均为％,。2,…，氏的线性组合，所以以a=1,2,…,s)均为Ax

=0的解，下面证明自，…,反线性无关，设

!

4g+k2a2H-----'-ksas-0

即+//）%+«2勺+»#2）。2+…+（，24-l+优）&s=0

由于4,。2,…,a,线性无关，因此其系数全为零，即

/£+t2kx=0

12kl+格=0

‘2%-1+稔=°

4000f2

a0…0

其系数行列式0t?Zj…0=1+（_i）F

00012tl

可见，当1+(—即当S为偶数，4H±J：s为奇数，4W/2时，上述方程组只

有零解占=e=一=%=0,因此向量组以，…,凡线性无关，从而必，…,氏也为Ax=o的

一个基础解系

3.(03,选5题，4分)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为mXn矩阵,

现有4个命题：

①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)N秩(B)；

若秩(A)N秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解；

③若Ax=0与Bx=0同解，则秩⑷二秩⑻；

④若秩。)=秩(8),则Ax=0与Bx=0同解

以上命题中正确的是

(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④

【答】应选(B)

【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是

抓住③与④，迅速排除不正确的选项

【详解】若Ax=O与Bx=O同解，则n—秩(A)=n-秩(B),即秩6)=秩e)，命题③成立可排

除(A),(C)；

若秩。)=秩也)，则不能推出Ax=0与Bx=0同解如A=,B=,则秩(A)=

10ojlo1J

秩(B)=l,但Ax=0与Bx=0不同解，由此，命题④不成立，排除(D),所以答案选(B)

4.(04,20题，9分)设有齐次线性方程组

(1+。)内+x2+•••+xn=0

2%+(2+。)％+…+2x“=0

<(n>2)

〃玉+nx2+•••+(〃+a)xn=0

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解

【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接

用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n,进而判断是否有非零解；或直接计算系

数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数。的可能取值进行讨论即可

【详解1】对方程组的参数矩阵A作初等行变换，有

1+。11•■■11+a11-r

22+a2•••2-2aa0••0

4=->=B

nnn•・•n+a-na00••a_

当。=0时-，r(A)=l<n,故方程组有非零解，其同解方程组为

Xi+X2+'"+Xn=0

由此得基础解系为

7=(—1,1,0,…,0)T,%=(T,0,L…,0/■，…=(T,0,0,…,1尸，于是方程组得通

解为x=女]]+…+&-因I，其中k]…*为任意常数

当a/0时，对矩阵B作初等行变换，有

卜〃(〃+l)

1+Q11-1■a-00­••0

2

-210••-0

BT->-210••-0

-n00••-1

-n00,,1

可知〃=一3±»时,r(A)=nT<n故方程组也有非零解，其同解方程组为

2

一2再+x2=0

一3玉+M=°

一叫+怎=0

由此得基础解系为7=(1,2,…，〃尸

于是方程组的通解为

x=krj，其中k为任意常数

【详解2】方程组的系数行列式为

1+a11•­•1

22+Q2•••2"T

闾==[a+2■

nnn•・•n+a

当I川=0,即4=0或4=_〃0；+D时,方程组有非零解

当。=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有

111…1'1111

222­•-2000­••0

nnn■n000­••0

故方程组的同解方程组为

Xj+x2H--+=0

由此得基础解系为

7,=(-1,1,0,­••,Of,(-1,0,1,---,=(-1,0,0,于是方程组

的通解为x=+&2〃2+…+左-/_1，其中h…k.i为任意常数

当。=—四业时，对系数矩阵A作初等行变换，有

2

1+a11•••11+a11­­-r

22~\~a2•••2-2aa0­­0

A=->

nnn-・•n+a-na00­•a

1+Q11•­-1■000•••O-

-210-0-210-0

—>—>

-n00­­-1-n0