经济数学期末考试试卷(A卷)

经济数学期末考试试卷(A卷)

一、填空题(满分15分，每小题3分)

1.设/(x)=—1—+J1—*2的定义域为

1+lnx

2.当x-0时，若Inq-ar?)与xsinx是等价无穷小量，则常数a=.

3.设/'(x0)=A,则lim/(.)-2〃)=______

〃TOh

4.设/(x)在(-oo,+oo)上的一个原函数为sin2x,则/'(幻=.

5.设/(x)为连续函数，且/(尤)=尤+2，)/(。力，则F(x)=

二、选择题：(满分15分，每小题3分)

sinx八

-r-n工

6.设/(x)=,凶，则在x=O处，f(x)()

1x=O

(A).连续(B).左、右极限存在但不相等

(C).极限存在但不连续(D).左、右极限不存在

Y—X

7.设/(*)=之一则函数人幻(

sinar

(A)有无穷多个第一类间断点；(B)只有1个可去间断点;

(0)有2个跳跃间断点：(D)有3个可去间断点.

8.若点(1,4)是曲线y=ax2+历尸的拐点，则()

(A)a=6,b=—2；(B)a=—2,b=6；(C)a=b=\；(D)a=b=-2.

9.下列各式中正确的是()

(A).(Jj(x)友)'=/0)(B).df(x)=ff(x)cbc

(C).d(J7(x)公)=/(x)(D).(J"(W)

10.某种产品的市场需求规律为Q=800-5p,则价格p=120时的需求弹性为=()

(A).4(B).3(C).4%(D).3%

三、计算题(每小题5分，共20分)：

Yj

11.求极限：lim(---+----)

—l—x\nx

12.设lim(f二尸=8,求常数。的值.

x-*8x-a

13.设y=/nx,求力|『

x=2cosr，求今

14.设V

y=3sin，dx~

四、计算题(10分)

sinx,x<0

15.设/(幻=4

ax-\-b,x>0

(1)确定常数的值，使/(x)在x=O处可导;

(2)求了'(");

(3)问/'(X)在x=0处是否连续.

五、计算题(满分10分)

16.求不定积分：［——!——dx

J1+1

,,、r+^lnx,

17.求广义积分：|——dx

JiX2

六、应用题(满分20分)

18.过原点作曲线y=lnx的切线，求该切线与曲线y=lnx及x轴所围成的平面图形的面

积，并求该图形绕x轴旋转一周所成立体的体积。

19.设生产某产品的固定成本为10万元，产量为x吨时的边际收入函数为R'(x)=10x+32,

边际成本为。'。)=-40-20无+3/。求

(1)总利泗函数；(2)产量为多少时，总利润最大？

七、(满分10分，每小题5分)证明题：

.11

°八,人上、上上j------a<x<bj

20.设/(无)在［。,句上连续且单调递增，证明/(幻=甘_/”'」在区间

/(«),x=a

［a/］上也单调递增.

TTTT7T

21.设/(幻在［0,,］上可导，/(-)=0,证明存在Jw(0,5),使得

/C)+tan"e)=O

答案及评分标准

一\1.(0,e-1)u(e-1,4-oo)；2.—1；3.2A：4.-4sin2x;5.x—\.

二、6.(B)；7.(D);8.(A);9.(B);10.(B).

X1、「xlnx+1-x

三、II解】Iim（T+---)=lim---------（2分）

一xInx(1-x)Inx

1

「In1—12_

lim------：---limX（5分）

—Iil-x,v->l

-Inxd----2

xXX2

cx-alaxr4ax

Y*—/7/.n--"lim------_

12.【解】因为lim(土上尸=lim(l+—2"…=e->=e2a........(3分)

x—ax-»8x-a

、3

故=8,因此Q=—ln2.....................................(5分)

2

13.【解】因3=d(/n)x)=esinxlnz(sin%ln%).........................(2分)

=esinvlnA(cosxlnx+—)d5c.................(4分)

X

所以力|x=n="叱L90s〃In"+时")dx=-ln7idx....................(5分)

TC

i.dyyr(t)3cosr3..

14.【解】—==——-=一一cotr...............................(2分x)

dxx'(t)-2s;int2

,3、,

(--cotr)

3-esc21-3

(5分)

V⑺2-2sinr4

224c

【另解】函数的隐函数方程为—■—F=1,两边对X求导，得--二..................（2分）

49dx4y

丫dyy———)

d2y_d,dy、9y~X^_9)(4」_81

---—(—I———•——~'•----------—'

dx2dxdx4y2------4y24y3

四、15.【解】（1）由/（x）在x=0处可导，知/（幻在x=0处连续且/'（0）存在，因此

/(0)=Um/(x),咒(。)=一(0)

x->0

因limf(x)-limf(x)-lim(ax+b)=b,/(0)=sin0=0,故。=0

x->0Xf()+x->0+

1/，。、[.ax/,/八、..f(x)-/(0)[.sinx1

又力(0)=hm八八=lim—=a,£(0)=hm―=lim---=1

x―>0+Xx->0+Xx—>0X.r->0X

故a=l,尸(0)=力(0)=£(0)=1,且

sinx,x<0

f(x)=<（4分）

x,x>0

(2)当x<0时，f'(x)=(sinx)(=cosx：当x<0时，/'(x)=(x)'=l

cosx,x<0

因此，f\x）=<（7分）

1,xNO

（3）因为

limf'(x)-limcosx=1,limf'(x)-lim1=1,尸(0)=1

XT。-A->0+

所以，limr（x）=7'（0）,即尸（x）在x=0处是否连续.（10分）

x-»0

1X|

五、16.【解】f-----dx=\^—dx=f-----d(l+e")=ln(l+/)+C............(5分)

J1+&7J1+e*J\+ex

r+81nx,「+8,/1、Inlyr+8/1、1,八、、

17.——dx=lnxJ(——)=-----11-(——\—dx...........(3分)

JI*/yV*。J1YY*1YY

=lim--lim（—工）—（lim--1）=1..........（5分）

X—>4<OXXX—>+CC|X—>-KOX

六、18.【解】设切点为（玉）』!!/）,则由y'=,得切线的斜率为左二」-,切线方程为

x/

y-lnx0=—(x-x0)(1)

因切线过原点，将x=0,y=0代入（1）式，解得x0=e,故切点为（仇1）,切线方程为

y-lne=—（x-e）即y=-x...........（4分）

ee

该切线与曲线y=lnx及x轴所围成的平面图形的面积为

A=^xexl-£lnxtZx=^-x（lnx-l）『=］一1..........（7分）

所求旋转体的体积为

IrPerTCCce

V--7rxl2xe-j^万lrrx<ix=7—乃x（ln~x—21nx+2）|；=2万（I-］）.....（10分）

19.【解】由题设。有

C(x)=C(0)+J；C'⑺力=10+J；(TO-20.+3*)力=10-40x-1Of+%

R(x)=H(0)+/R(M=0+J；(10f+32)dt=5x2+32x

(1)总利泗函数为

L(x)=R(x)~C(x)=(5/+32X)-(10-40x-10x2+?)

=-10+72X+15%2-X3

(2)Z/(x)=R'(x)-C(x)=(1Ox+32)-(-40-20x+3f)=-3x2+30x+72

Z/'(x)=—6x+30

令L'(x)=0,得x=12(x=-2不合题意，舍去)，r(12)=-6xl2+30=-42<0,故

当产量为12吨时，总利润最大。

七、20.【证明】因为f(x)在［a,切上连续，所以尸(幻=」-------在(a,切上连续，又

x-a