嘉定区2022学年度高三年级第一次质量调研

嘉定区2022学年度高三年级第一次质量调研数学试卷考生注意：本试卷共有23题，满分150分．考试时间为120分钟．请按要求将答案写在答题纸上。写在试卷上、草稿纸上及在答题纸上限定区域外的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，请在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设为虚数单位，计算______________．2．函数（）的反函数________________________．3．，，则____________________．4．若两球、的体积之比为，则球、的半径之比为_________．5．设是第四象限角，，则____________________．6．设等差数列的前项和为，若，，则____________．7．方程的解为_________________．8．若，则的取值范围是___________________．否结束输出开始是否结束输出开始是10．有根竹竿，它们的长度（单位：）分别为，，，，，若从中一次随机抽取根竹竿，这根竹竿的长度恰好相差的概率为______________．11．如图，若框图所给的程序运行的输出结果为，那么判断框中应填入的关于的判断条件是_________________．12．关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是____________________．第11题图第11题图13．（理）已知函数在区间上的最大值为，则的值为________________．（文）已知函数在区间上的最小值为，则的值为_______________．14．（理）设等差数列的各项均为整数，其公差，，若无穷数列，，，，…，，…（）成等比数列，则的值为__________________．（文）若等比数列满足，，则___________________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．若集合，，则“”是“”的……（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件16．若，，，…，的方差为，则，，，…，的方差为…………………（）A．B．C．D．17．数列中，若，（，），则的值为……（）A．B．C．D．18．（理）已知函数的图像与函数（且）的图像交于点，如果，那么的取值范围是……（）A．B．C．D．（文）若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是……………（）A．B．C．D．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须必须在答题相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．（理）已知复数，其中、为实数，为虚数单位，为的共轭复数，且存在非零实数，使成立．（1）求的值；（2）若，求实数的取值范围．（文）已知复数，，其中，为虚数单位．（1）若是实数（其中为的共轭复数），求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．C1B1CBAA1D如图，在正三棱柱C1B1CBAA1D（1）求该三棱柱的侧面积；（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图，学校现有一块三角形空地，，，（单位：），现要在此空地上种植花草，为了美观，用一根条形石料将空地隔成面积相等的两部分（在上，在上）．EDCBA（1）设，，求用表示的函数的解析式，并写出EDCBA（2）如何选取、的位置，可以使所用石料最省？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．（理）已知函数，．（1）当时，求满足的值；（2）当时，写出函数的单调递增区间；（3）当时，解关于的不等式（结果用区间表示）．（文）已知函数．（1）求满足的值；（2）写出函数的单调递增区间；（3）解不等式（结果用区间表示）．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）已知函数，、是图像上两点．（1）若，求证：为定值；（2）设，其中且，求关于的解析式；（3）对（2）中的，设数列满足，当时，，问是否存在角，使不等式…对一切都成立？若存在，求出角的取值范围；若不存在，请说明理由．（文）已知数列的前项和为，对任意，点都在函数的图像上．（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列是等差数列，求非零常数的值；（3）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．嘉定区2022学年度高三年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题1．；2．（）；3．；4．；5．；6．；7．，；8．；9．或；10．；11．（或）；12．；13．（理）；（文）；14．（理）；（文）．二．选择题15．B；16．D；17．A；18．（理）D；（文）C．三．解答题19．（理）（1）由题意可得，，所以，…（3分）由①得，，代入②得，所以．…………（6分）（2）由得，即，……（8分）由（1）得，所以，化简得，…………（10分）所以的取值范围是．…………（12分）19．（文）（1），……（3分）由已知，是实数，所以，即．…………（6分）（2）由，得，即，……（8分）即，解得．……（11分）所以的取值范围是．…………（12分）C1B1CBAA1C1B1CBAA1DE所以．……（6分）（2）取中点，连结、，则∥，所以，（或其补角）就是异面直线与所成的角．……（8分）在△中，，，…………（9分）所以．…………（12分）所以，异面直线与所成角的大小为．…………（14分）（或，或）EDCBA21．（1）由题意得，△△，即，EDCBA解得，……（5分）所以，的定义域为．…………（7分）（2）在△中，由余弦定理得，，，…………（10分）令，则，于是，……（12分）当且仅当，即时，取最小值．……（13分）所以，当、离点的距离均为时（或（）时），最短，即所用石料最省．…………（14分）22．（理）（1）当时，，……（1分）所以，当时，由得，，解得，因为，所以．…………（2分）当时，由得，，无实数解．……（3分）所以，满足的值为．…………（4分）（2），……（5分）因为，所以，当时，，的单调递增区间是；当时，，单调递增区间是．…（8分）（注：两个区间写出一个得2分，写出两个得3分，区间不分开闭）所以，的单调递增区间是和．…………（9分）（3）由，当时，，因为，所以．……（11分）当时，，即，当，即时，；……（13分）当，即时，．…（14分）综上可得，当时，，当时，．……（16分）22．（文）（1），……（1分）所以，当时，由得，，解得，因为，所以．…………（2分）当时，由得，，无实数解．……（3分）所以，满足的值为．…………（4分）（2）由，当时，的单调递增区间为；……（6分）当时，的单调递增区间为．……（8分）所以，的单调递增区间是和．…………（9分）（3）当时，由得，…………（12分）当时，由得，恒成立．……（15分）所以，不等式的解集为．……（16分）23．（理）（1）当时，，所以为定值．…………（4分）（2）由（1）得，（，，…，），……（6分）所以，，又，于是，所以（，）．……（10分）（3）由已知，，．……（11分）由…，得…，令…，则由题意可得，于是，所以，即随着的增大而减小．…………（15分）所以当时，的最大值为，若存在角满足要求，则必须．……（16分）所以角的取值范围为，（）…………（18分）（注：说明单调性的作差方法如下），因为，，，，所以，即．23．（文）（1）由已知，对所有，，……（1分）所以当时，，……（2分