不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧

总结

j不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。.利用基本公式。(这就不多说了~).第一类换元法。(凑微分)设f(M)具有原函数F(m)。则其中甲(x)可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1」吟中公【解】(ln(【解】(ln(x+1)-lnx)'=ln(x+1)-Inx 1J dx=-J(ln(x+1)-Inx)d(ln(x+1)-Inx)=-一(ln(x+1)-Inx)2+Cx(x+1) 2例2:j1+1nxdx(xlnx)2【解】(xlnx)'=1+lnx.第二类换元法：设x=甲(t)是单调、可导的函数，并且R(t)丰0.又设f即(t)W(t)具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。但当根号内出现高次幂时可能保留根号,（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。但当根号内出现高次幂时可能保留根号,.分部积分法.分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取小v时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧〜！「x3•arccosxJ , —dx11—x2【解】【解】观察被积函数，选取变换t=arccosx，则【解】【解】Jarcsin2xdxJarcsin2xdx=xsin2x-Jx2arcsinx 〔dx1—x2上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在Jmv="」Mv中，小v的选取有下面简单的规律:将以上规律化成一个图就是：(Inarcsinx)Pm(x)(Inarcsinx)Pm(x)(aAxsinx) ►v但是，当N=lnx,v=arcsinx时，是无法求解的。对于（3）情况，有两个通用公式：（分部积分法用处多多〜在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）5不定积分中三角函数的处理.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数J 1 dx上下同乘sinx变形为sin2x+cos2x令u=cosx，则为.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意sin2x+cos2x=1的使用。三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。.函数的降次①形如Jsinmxcosnxdx的积分（m，n为非负整数）当m为奇数时，可令u=cosx，于是Jsinmxcosnxdx=-Jsinm-1xcosnxdcosx=-J（一U2^1Undu，转化为多项式的积分当n为奇数时，可令u=sinx，于是，Jsinmxcosnxdx=Jsinmxcosn-1xdsinx=JUm(-U2，同样转化为多项式的积分。当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式:不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止

②形如Jtannxdx和Jcotnxdx的积分(n为正整数)du令u=tanxdx，贝［Jx=arctanu,dx= ，从而1+U2已转化成有理函数的积分。类似地，Jcotnxdx可通过代换u=cotx转为成有理函数的积分。③形如Jsecnxdx和③形如Jsecnxdx和』cscmxdx的积分(n为正整数)du当n为偶数时，若令u=tanx，则x=arctanu,dx= ，于是1+u2已转化成多项式的积分。类似地，Jcscnxdx可通过代换u=cotx转化成有理函数的积分。当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。.当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。.几种特殊类型函数的积分。(1)有理函数的积分P(x) P*(x) P*(x)有理函数P(X-先化为多项式和真分式PU?之和，再把PU兰分解为若干

Q(x) Q(x) Q(x)个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现I=J/d 时，记得用递推公式：n (a2+x2)nx x 2n-3I= + 1)n2a2(n-1)(x2+a2)n-12a2(n-1)nt.有理真分式化为部分分式之和求解①简单的有理真分式的拆分②注意分子和分母在形式上的联系此类题目一般还有另外一种题型：.注意分母(分子)有理化的使用dxv;2dxv;2x+3+v2x-1_J弋2x+3-12x-1+3)--Gx+3)+C

2 12 2x6+x4-4x2-2,例5：1 dxx3(x2+1)2【解】x3【解】x3(x2+1)2x3(x2+1)2 x3(x2+1)2 x2+1 x3(x2+1)2故不定积分求得。(2)三角函数有理式的积分sinx=sinx=万能公式：＜cosx=2tan—2r x1+tan2-2x1-tan2—2x1+tan2—21’(sinx,c0sx)dx可用变换?_tanx化为有理函数的积分，但由于计算较Q(sinx,cosx) 2烦，应尽量避免。对于只含有tanx(或cotx)的分式，必化成少或空。再用待定系数cosxsinxA(aA(acosx+bsinx)+B(acos'x+bsin'x)acosx+bsinx来做。(注：没举例题并不代表不重要(3)简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现jx和4心时，可令x_tan21；同时出现、；—和、,匚—时，可令x_sin21；同时出现G-x2和arcsinx时，可令x=sint；同时出现%：1—x2和arccosx时，可令x=cost等等。

（4（4）善于利用ex因为其求导后不变。这道题目中首先会注意到xex，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为ex+xex与分母差ex，另外因为ex求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以ex。（5）某些题正的不行倒着来这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用u=sinx，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当u=sinx这类一般的换元法行不通时尝试下1=sinx。这种思路类似于证u明题中的反证法。（6）注意复杂部分求导后的导数注意到：J（t+2）dt=J1—6t2et—2t3etdt_Jt-2t3etdt-3J卜2t知）tj-2t2et t-2t3et t-2t3et 11-2t2et1=Int-2t3et/-t-3l4t+c=lnlnx-2（nx）einx-lnx-3InInx+c本题把被积函数拆为三部分：yjy2，y3，y1的分子为分母的导数，y2的值为1，y3的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。（7）对于JR（x,I：ax2+bx+c）dx（a丰0）型积分，考虑A=b2-4ac的符号来确定取不同的变换。如果A>0，设方程ax2+b