中考数学圆的综合大题培优易错难题及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在丁轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y=%上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=%于点M,BC边交1轴于点N(如图).y(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；(3)设AMBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.【答案】(1)n/2(2)22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；(2)解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出NAOM的度数；(3)利用全等把AMBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：(1)丁A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°,，OA旋转了45°.「•OA在旋转过程中所扫过的面积为45兀-22=-.360 2:MNIIAC,「.NBMN=NBAC=45°,NBNM=NBCA=45°.「.NBMN=NBNM.「.BM=BN.又「BA=BC,「.AM=CN.又「OA=OC,NOAM=NOCN,「.△OAM^△OCN.— -1 1••NAOM=NCON=-(NAOC-NMON)=-(90°-45°)=22.5°.2 2•旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°.(3)在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.证明：延长BA交y轴于E点，则NAOE=45°-NAOM,NCON=90°-45°-NAOM=45°-NAOM,•NAOE=NCON．又:OA=OC,NOAE=180°-90°=90°=NOCN.

/.△OAE^△OCN./.OE=ON,AE=CN.又NMOE=NMON=45°,OM=OM,/.△OME^△OMN.MN=ME=AM+AE./.MN=AM+CN,p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.「•在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.考点：旋转的性质.2.如图，在A5C中，ZACB=90,25AC的平分线AD交BC于点D,过点D作_LA。交于点E,以AE为直径作O.求的值.（1）求证：求的值.（1）求证：BC晨。的切线;1【答案】（1）见解析；（2）tanZEDB=-.【解析】【分析】（1）连接OD,如图，先证明OD//AC,再利用ACLBC得到。DLBC,然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先利用勾股定理计算出AB=5,设。的半径为r,则OA=OD=r,OB=5—r,再证明BDO-BCA,利用相似比得h：3=（5—r）：5,解得r=^,接着利用勾O股定理计算BD=g,股定理计算BD=g,则CD=

△媪3 1利用正切定理得tan/1二万，然后证明Z1=ZEDB,从而得到tanzEDB的值.【详解】（D证明：连接OD,如图，AD平分ZBAC,z.Z1=Z2,OA=OD,；.Z2=Z3,.•・Z1=Z3,*・.OD//AC,AC1BC,•・OD1BC,•・BC是O的切线；（2）解：在RtACB中，AB=\；32+42=5，O 7设O的半径为r,则OA=OD=r,OD//ACAdo:.OD：AC=BO：BA,即.：3=（5占r）：5,解得r=15,815 25...OD=—,OB=—,8 8在RtODB中，BD=OBB2—OD2一一3...CD=BC—BD=-在RACD中，tan/1二CDACAE为直径，:.zAde=90,j..ZEDB+ZADC=90,*Z1+ZADC=90,。...Z1=ZEDB,。1...tanZEDB=—2.【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线〃；也考查了圆周角定理和解直角三角形.3.已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作。O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，NCMD的外角平分线交。O1于点E,AB是弦，且ABIICD,直线DM的解析式为y=3x+3.(1)如图1,求。O1半径及点E的坐标.(2)如图2,过E作EF±BC于F,若A、B为弧CND上两动点且弦ABIICD,试问：BF+CF与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明.(3)在(2)的条件下，EF交。O］于点G,问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG的长(不写过程)，若变化自画图说明理由.图1 图2【答案】(1)r=5E(4,5)(2)BF+CF=AC(3)弦BG的长度不变，等于5\过【解析】分析：(1)连接ED、EC、EO1>MO1，如图1,可以证到NECD=NSME=NEMC=NEDC,从而可以证到NEO1D=NEO1C=90°.由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1,OM=3.设。01的半径为几在RtAMOO1中利用勾股定理就可解决问题.(2)过点O/乍01P±EG于P,过点O/乍01Q±BC于Q,连接EO1.DB,如图2.由ABIIDC可证到BD=AC,易证四边形01PFQ是矩形，从而有01P=FQ,NPO1Q=90°,进而有NE01P=NCO1Q,从而可以证到△EPO1^△CQO］，则有PO1=QO】.根据三角形中位线定理可得FQ=1BD.从而可以得到BF+CF=2FQ=AC.(3)连接EO1,ED,EB,BG，如图3.易证EFIIBD，则有NGEB=NEBD，从而有BG=ED，也就有BG=DE.在RSEO1D中运用勾股定理求出ED,就可解决问题.详解：(1)连接ED、EC、EO1>MO］，如图1.丁ME平分/SMC,「.NSME=NEMC.丁NSME=NECD,NEMC=NEDC,，NECD=NEDC,，NEO1D=NEO1c.「NEO1D+NEO1C=180°,，NEO1D=NEO1c=90°.;直线DM的解析式为y=3x+3,•••点M的坐标为(0,3),点D的坐标为(-1,0),「.OD=1,OM=3.设。01的半径为r，则MO1=DO1=r.在RtAMOO1中，(r-1)2+32=r2.解得：r=5,「.OO1=4,EO1=5,AO01半径为5,点E的坐标为(4,5).(2)BF+CF=AC.理由如下：过点01作01P±EG于P,过点01作01Q±BC于Q,连接EO1>DB,如图2.「ABIIDC,ANDCA=NBAC,AAD=BC,ABD=AC，「•BD=AC.;01P±EG,01Q±BC,EF±BF,AN01PF=NPFQ=N01QF=90°,A四边形01PFQ是矩形，A01P=FQ,NPO1Q=90°,ANEO1P=90°-NPO1c=NCO1Q.y叫p=zcog在^EPO1和^CQO1中，〈/EPO1=/CQO1,OE=OC1 1 1A△EP0联△CQO1,APO1=QO仔AFQ=QO1.;QO1±BC,ABQ=CQ.1CO1=DOpA01Q=-BD,AFQ=-BD.;BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,ABF+CF=BD=AC.(3)连接EO仔ED,EB,BG，如图3.丁DC是O01的直径，ANDBC=90°,ANDBC+NEFB=180°,AEFIIBD,ANGEB=NEBDaABG=ED,ABG=DE.•.・DO1=EO1=5,EO1±DO1,ADE=5<2,ABG=5<2,A弦BG的长度不变，等于522.图I 图2 图3点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度.而由ABIIDC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EGIIDB证至UBG=DE是解决第（3）小题的关键.4.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线-与大圆交于点B,点D在大圆上，BD与小圆相切于点F,AF的•延长线与大圆相交于点C,且CELBD.找出图中相等的线段并证明.【答案】见解析【解析】试题分析：由AE是小。O的直径，可得OA=OE,连接OF,根据切线的性质，可得OFLBD,然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OFIICE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD.然后连接OD、OC,可证得^AODM△EOC,则可得BC=AD=CE=AE.试题解析：图中相等的线段有：OA=OE,DF=BF,AF=CF,AB=CD,BC=AD=CE=AE.证明如下：丁AE是小。O的直径，「.OA=OE.连接OF,丁BD与小。O相切于点F,「.OF±BD.丁BD是大圆O的弦，「.DF=BF.;CE±BD,「.CEIIOF,「.AF=CF.••・四边形ABCD是平行四边形.「.-AD=BC,AB=CD.「CE：AE=OF：AO,OF=AO,「.AE=EC.连接OD、OC,;OD=OC,「.NODC=NOCD.丁NAOD=NODC,NEOC=NOEC,「.NAOC=NEOC,△AOD^△EOC,「.AD=CE.「.BC=AD=CE=AE.【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解.5.如图，AB是半圆O的直径，半径OC±AB,OB=4,D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE,DE.(1)当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；(2)若tan/AED=3，求AE的长；(3)点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m,当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值.16~ 一 ■—【答案】(1)5 6V2；(2)AE=—<5；(3)m=2Y3,m=2%；2,ADE 5m=%,17-1.【解析】【分析】(1)作£1~1，八3,连接OE,EB,设DH=a，贝UHB=2-a,OH=2+a,贝UEH=OH=2+a,根据RSAEB中，EH2=AH・BH,即可求出a的值，即可求出S&ADE的值；AFAD(2)作DF^AE,垂足为F,连接BE,设EF=2x,DF=3x,根据DFIIBE故 =——,EFBD得出AF=6x,再利用RSAFD中，AF2+DF2=AD2,即可求出x,进而求出AE的长；(3)根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m的值.【详解】解：(1)如图，作EHLAB,连接OE,EB,设DH=a，则HB=2-a,OH=2+a,•・•点E是弧BC中点，「.NCOE=ZEOH=45°,「.EH=OH=2+a,在RtAAEB中，EH2=AH・BH,(2+a)2=(6+a)(2-a),解得a=±2<2-2,•二a=2<2-2,EH=2<2，，ADE=2AQEH=6尬；(2)如图，作DF^AE,垂足为F,连接BE设EF=2x,DF=3x「DFIIBEAFAD*- = EFBD.AF6- ——=32x2「.AF=6x在RtAAFD中，AF2+DF2=AD2(6x)2+(3x)2=(6)2解得x=5<5(3)当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图设DH=a由DF=DE,NDOF=NEHD=90°,NFDO+ZDFO=NFDO+ZEDH,在RtAABE中，EH2=AH・BH(2)2=(6+a)•(2-a)解得a=±2<3-2m=2v'3当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFGM△DEH设DH=a，贝UGE=a,EH=FG=2+a在Rt△ABE中，EH2=AH・BH(2+a)2=(6+a)(2-a)解得a=±2<2-2「•m=2<2当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFMM△FDO设OF=a，贝UME=a,MF=OD=2「.EH=a+2在Rt△ABE中，EH2=AH・BH(a+2)2=(4+a)•(4-a)解得a=±6-1m=*7-1【点睛】此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.6.如图1,在R3ABC中，NABC=90°,BA=BC,直线MN是过点A的直线CD±MN于点D,连接BD.(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BELBD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD.(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数量关系,并证明(3)拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1,请直接写BD的长.【答案】(1)<2；(2)ad-dc=J2bd；(3)bd=ad=%；2+1.【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质求出DC,AD,BD之间的数量关系(2)过点B作BELBD,交MN于点E.AD交BC于O,证明ACDB^AAEB，得至ijCD=AE,EB=BD,根据ABED为等腰直角三角形，得到DE=<2BD,再根据DE=AD-AE=AD-CD,即可解出答案.(3)根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大.在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CH=AH=<2,由BD=AD即可得出答案.【详解】

由题意：^BAE^ABCD,「.AE=CD,BE=BD,「.CD+AD=AD+AE=DE,••abde是等腰直角三角形，•・DE=<2BD,•.DC+AD=,2BD,故答案为<2.(2)AD-DC=J2BD.证明：如图，过点B作BE^BD,交MN于点E.AD交BC于O..•ZABC=ZDBE=90。，.ZABE+/EBC=/CBD+/EBC,.ZABE=ZCBD..•ZBAE+ZAOB=90。，ZBCD+ZCOD=90。，ZAOB=ZCOD,ZBAE=ZBCD,ZABE=ZDBC•又:AB=CB,acdb^aaeb,CD=AE,EB=BD,ABD为等腰直角三角形，de=J2BD..•DE=AD—AE=AD—CD,•AD-DC=叵BD.(3)如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，AABD的面积最大.此时DG^AB,DB=DA,在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CH=AH=j2,「•BD=AD=<2+1.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键..如图1,AB为半圆。的直径，半径OP±AB,过劣弧AP上一点D作DC±AB于点C.连接DB，交OP于点E,NDBA=22.5°.⑴若OC=2,则AC的长为；⑵试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；⑶连接AD并延长，交OP的延长线于点G，设DC=x,GP=y,请求出x与y之间的等量关系式.(请先补全图形，再解答)【答案】⑴2<2—2；⑵见解析；⑶y=2x【解析】【分析】(1)如图，连接OD,则有NAOD=45°,所以△DOC为等腰直角三角形，又OC=2,所以DO=AO=2%6，故可求出AC的长；(2)连接AD,DP,过点D作DF±OP,垂足为点F.证AC=PF或AC=EF,证DP=DE证PF=EF=1PE，故可证出PE=2AC；2(3)首先求出OD=虫CD=22,x，再求AB=2<2x，再证△DGE合△DBA/得GE=AB=2v'2x,由PE=2AC得PE=2(J2x—x)，再根据GP=GE—PE可求结论.【详解】(1)连接OD,如图，图1 断ZB=22.5°,/.ZDOC=45°,DC±ABDOC为等腰直角三角形，0C=2,「•0D=2日A0=2五,：.AC=AO-OC=2722.⑵连接AD,DP,过点。作DF_LOR垂足为点F.OP-LAB,/.ZPOD=ZDOC=45°,/.AD=PD,••△DOC为等腰直角三角形，DC=CO,易证DF=CO,/.DC=DF,RtADAC^RtADPF,/.PF=AC,DO=AO,ZDOA=45°ZDAC=67.5°ZDPE=67.5°,OD=OB,ZB=22.5°,/.ZODE=22.5°/.ZDEP=22.5°+45O=67.5°ZDEP=ZDPE•.PF=EF=1PE2APE=2AC(3)如图2,由NDCO=90°,NDOC=45°^OD=<2CD='''2xAAB=2OD=2<2x丁AB是直径，ANADB=NEDG=90°,由(2)得AD=ED,NDEG=NDACA△DGE合△DBAAGE=AB=2v,2x;PE=2ACAPE=2Q2x—x)AGP=GE—PE=2j2x—2(%.；2x-x)即：y=2x【点睛】本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.如图，AB为。O的直径，BC为。O的弦，过O点作ODLBC,交。O的切线CD于点D,交OO于点E,连接AC、AE,且AE与BC交于点F.(1)连接BD,求证：BD是OO的切线；(2)若AF：EF=2：1,求tanNCAF的值.D【答案】(1)证明见解析；(2)是.3【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质得到NOBD=NOCD=90°,根据切线的判定定理即可得到结论；(2)根据已知条件得到ACIIDE,设OD与BC交于G,根据平行线分线段成比例定理得到1 1AC：EG=2：1,EG=；yAC,根据三角形的中位线的性质得到OG=$AC于是得到AC=OE,求得NABC=30°,即可得到结论.【详解】证明：(1);OC=OB,OD±BC,「.NCOD=NBOD,在^COD与八BOD中，产二O</COD=/BOD,OD=OD「.△COD^△BOD,「.NOBD=NOCD=90°,「.BD是。O的切线;D(2)解：:AB为。O的直径，AC±BC,;OD±CB，「.ACIIDE，设OD与BC交于G，「OEIIAC，AF：EF=2：1，一一一1AC：EG=2：1，即EG=_AC,2「OGIIAC，OA=OB，1-og=-AC，~1 1-OG+GE=—AC+—AC=AC，2 2「.AC=OE，「.AC=—ab，2NABC=30°，「.NCAB=60°，CE=BE，「.NCAF=NEAB=1NCAB=30°,2「.tanNCAF=tan30°=亘.3【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键.9.如图，已知等边△ABC,AB=16,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DFLAC,垂足为F,过点F作FGLAB,垂足为G,连结GD.(1)求证：DF是。O的切线;(2)求FG的长；(3)求tanNFGD的值.【答案】(1)证明见解析；(2)6「；(3)'.【解析】试题分析：⑴连接OD,根据等边三角形得出NA=NB=NC=60°,根据OD=OB得到NODB=60°,得到ODIIAC,根据垂直得出切线；⑵根据中位线得出BD=CD=6,根据RSCDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据RSAFG的三角函数求出FG的长度；⑶过点D作DHLAB,根据垂直得出FGIIDH,根据RSBDH求出BH、DH的长度，然后得出NGDH的正切值，从而得到NFGD的正切值.试题解析：⑴如图①，连结OD,丁△ABC为等边三角形，，NC=NA=NB=60°,而OD=OB,:△ODB是等边三角形，NODB=60°,「.NODB=NC,「.ODIIAC,;DF±AC,「.OD±DF,「.DF是。O的切线(2):ODIIAC,点O为AB的中点，「.OD为^ABC的中位线，BD=CD=6.在Rt△CDF中，NC=60°,，NCDF=30°,「.CF=CD=3,「.AF=AC-CF=12-3=9在R