分数与二次根式

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20232?4004?2023?2023?4008?2023?20231．计算：。

20232?3005?2023?2023?2023?2023?300520232?4004?2023?(2023?1)?4008?2023?2023解：原式=

20232?3005?2023?2023?2023?(2023?2)?3005=

2023(2023?4004?4008?2023)?40082023?3?40082023==。

2023(2023?3005?2023?3005)?2?30052(3005?2023)2023(74?64)(154?64)(234?64)(314?64)(394?64)2．计算：4。

(3?64)(114?64)(194?64)(274?64)(354?64)解：∵a4+64=(a2)2+16a2+82-16a2=(a2+8)2-(4a)2=(a2+4a+8)(a2-4a+8)=[(a+2)2+4][(a-2)2+4]。

(92?4)(52?4)(172?4)(132?4)(252?4)(212?4)(332?4)(292?4)(412?4)(372?4)原式=2222222222(5?4)(1?4)(13?4)(9?4)(21?4)(17?4)(29?4)(25?4)(37?4)(33?4)(412?4)1585=2==337。

5(1?4)

3．设a=109+383-2，证明：a是37的倍数。证明：a=109+383-2=(103)3-1+383-1

=(103-1)[(103)2+103+1]+(38-1)(382+38+1)=999[(103)2+103+1]+37(382+38+1)=37×27(10002+1000+1)+37(382+39)=37[27×(10002+1001)+(382+39)]∴a是37的倍数。

4．已知n是正整数，n4-16n2+100是质数，求n的值。

解：n4-16n2+100=n4+20n2+100-36n2=(n2+10)2-(6n)2=(n2+6n+10)(n2-6n+10)。

∵n是正整数，∴n2+6n+10≠1；又∵n4-16n2+100是质数，只能被1和本身分解，∴n2-6n+10=1，∴n2-6n+9=0，即：(n-3)2=0，∴n=3。

5．实数x、y满足x2+12xy+52y2-8y+1=0，求：x2-y2的值。

解：原方程可变形为：x2+12xy+36y2+16y2-8y+1=0，∴(x+6y)2+(4y+1)2=0，解得：x=-∴x2-y2=(-

31，y=。24321235)-()=。2416

6．有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a、b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片排成一个正方形，求这个正方形的边长。解：这16张卡片的面积为：a2+6ab+9b2=(a+3b)2，即组成一个新正方形的面积，∴这个正方形的边长为：a+3b。

1

分数与二次根式

7．若实数x、y、z满足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，则式子一定成立的是：（）A.x+y+z=0B.x+y-2z=0C.y+z-2x=0D.z+x-2y=0解：∵(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，∴[(x-y)+(y-z)]2-4(x-y)(y-z)=0，

∴(x-y)2+2(x-y)(y-z)+(y-z)2-4(x-y)(y-z)=0，∴(x-y)2-2(x-y)(y-z)+(y-z)2=0，即：[(x-y)-(y-z)]2=0，∴x-y=y-z，即：z+x-2y=0。∴D正确。

8．已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，比较M与N的大小关系。解：∵M-N=(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)，=a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2，=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)，=a2(b-c)+bc(b-c)-ab2+ac2，=a2(b-c)+bc(b-c)-a(b+c)(b-c)，=(b-c)(a2+bc-ab-ac)，=(b-c)(a-c)(a-b)，又a>b>c，

∴M-N=(b-c)(a-c)(a-b)>0，即：M>N。

9．A、n都是自然数，且A=n2+15n+26是一个完全平方数，求n的值。

26?a2解：设A=(n+a)，则A=n+15n+26=(n+a)=n+2an+a,∴15n+26=2an+a,∴n=，

2a-152

2

2

2

2

2

∵n为自然数，则26-a2>0且2a-15>0，或26-a20且2a-15>0时，此时a无解；当26-a2分数与二次根式

abca2b2c222．已知a、b、c满足++=1，求++的值。

b?cc?aa?bb?cc?aa?b解：∵

abca(a?c)(a?b)?b(b?c)(a?b)?c(b?c)(a?c)++=1，∴=1，b?cc?aa?b(a?b)(b?c)(a?c)∴(a+b)[a(a+c)+b(b+c)]+c(b+c)(a+c)-(a+b)(b+c)(a+c)=0，

∴(a+b)[a2+ac+b2+bc-(b+c)(a+c)]+c(ab+bc+ac+c2)=0，

∴(a+b)(a2+b2-c2-ab)+c(ab+bc+ac+c2)=0，展开整理得：a3+b3+c3+abc=0。

a2b2c2a2(a?c)(a?b)?b2(b?c)(a?b)?c2(b?c)(a?c)∵++=b?cc?aa?b(a?b)(b?c)(a?c)(a?b)[a2(a?c)?b2(b?c)]?c2(b?c)(a?c)=

(a?b)(b?c)(a?c)(a?b)(a3?a2c?b3?b2c)?c2(ab?bc?ac?c2)=

(a?b)(b?c)(a?c)a4?a3c?ab3?ab2c?a3b?a2bc?b4?b3c?abc2?bc3?ac3?c4=

(a?b)(b?c)(a?c)a(a3?b3?c3?abc)?b(a3?b3?c3?abc)?c(a3?b3?c3?abc)=

(a?b)(b?c)(a?c)(a3?b3?c3?abc)(a?b?c)==0。

(a?b)(b?c)(a?c)abca2b2c2反之，若++=0，则有：++=1，以上反推可得到该结论。

b?cc?aa?bb?cc?aa?b23．已知

y?z?xz?x?yx?y?z===p，求p+p2+p3的值。

x?y?zy?z?xz?x?y解：p=

y?z?x2y?z?xz?x?yz?x?y32z?x?yx?y?zx?y?z；p=×=；p=p·p=×=，

x?y?zx?y?zy?z?xx?y?zx?y?zz?x?yx?y?zy?z?xz?x?yx?y?z++=

x?y?zx?y?zx?y?z∴p+p2+p3=

＝

x?y?z=1。

x?y?z6

分数与二次根式

11113abc++=，求++的值。a?bb?cc?a17b?cc?aa?b1111311113解：∵a+b+c=11，++=，∴(a+b+c)(++)=×11，

a?bb?cc?a17a?bb?cc?a17cab143∴1++1++1+=，

a?bb?cc?a17abc92∴++=。b?cc?aa?b1724．已知实数a、b、c满足a+b+c=11与

a?bb?cc?a(a?b)(b?c)(c?a)==，求的值。caabcba?bb?cc?a解：(1)设===k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，∴2(a+b+c)=(a+b+c)k，

cab25．若abc≠0，

∴(a+b+c)(k-2)=0。

（1）若a+b+c=0，有：a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b。∴

(a?b)(b?c)(c?a)(-c)?(?a)?(-b)==-1。

abcabc(a?b)(b?c)(c?a)2c?2a?2b8abc===8。

abcabcabc（2）若a+b+c≠0，有：k-2=0，∴k=2。∴a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，∴

ab1bc1ac1abc=，=，=，求的值。a?b15b?c17a?c16ab?bc?caab1a?b111111解：∵=，∴=15，∴+=15；同理：+=17；+=16。

a?b15ababbcac111ab?bc?ca111解得：=7，=8，=9。∵＝++=7+8+9=24，

abcabcabcabc1∴=。ab?bc?ca2426．已知

27．整数x、y满足方程2xy+x+y=83，求x+y的值。

解：∵2xy+x+y=83，∴4xy+2x+2y=166，∴4xy+2x+2y+1=167，即：(2x+1)(2y+1)=167，∵167是质数，有：??2x?1?1?2x?1?-1?2x?1?167?2x?1?-167，或?，或?，或?，

?2y?1?167?2y?1?-167?2y?1?1?2y?1?-1?x?0?x?-1?x?83?x?-84解得：?，或?，或?，或?。

y?83y?-84y?0y?-1????∴x+y=83，或者x+y=-85。

28．求证：817-279-913能被45整除。证明：817-279-913=914-99×39-913=328-327-326=326(32-3-1)=326×5=324×32×5=45×324。∴817-279-913能被45整除。

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分数与二次根式

29．证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差。证明：由题意知：2(2n+1)能被2整除，但不能被4整除。假设2(2n+1)的形式的数能表示为两个整数的平方差，设两个整数分别为：p，q，则有：2(2n+1)=p2-q2；设k=p-q（p、q、k都是整数）；即：p=q+k，两个整数的平方差必可表示为：(q+k)2-q2=2qk+k2=k(2q+k)；当k是偶数时，2p+k也是偶数，∴2p+k能被4整除，与2(2n+1)不能被4整除矛盾；当k是奇数时，2p+k也是奇数，∴2p+k不能被2整除，与2(2n+1)能被2整除矛盾。∴2(2n+1)的形式的数不能表示为两个整数的平方差。

30．若m=20232+20232×20232+20232，求证：m是一个完全平方数且是一个奇数。证明：∵a4+2a3+3a2+2a+1=(a2+a+1)2；∴m=20232+20232×20232+20232=20232+20232(2023+1)2+(2023+1)2=20234+2×20233+3×20232+2×2023+1=(20232+2023+1)2。

∵20232的个位数为6，∴20232+2023+1的个位数为3，∴(20232+2023+1)2的个位数为9，∴(20232+2023+1)2是奇数。

∴m是一个完全平方数且是一个奇数。

31．设n为某一正整数，代入代数式n5-n计算其值时，四个学生算出了以下四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（）。A.7770B.7775C.7776D.7779

解：n5-n=n(n+1)(n-1)(n2+1)；∵n-1，n，n+1是连续三个整数，∴n-1，n，n+1必有一个偶数，且有一个是3的倍数，∴n(n+1)(n-1)是2×3=6的倍数。

又∵n5个位与n一致，∴n5-n的个位是0，∴选A。（7770=5×6×7×(62+1)）

32．黑板上写有1，

11，?，共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a、b，然2100后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后黑板上剩下的数是多少？

11+1×=2；22112++2×=3；33113++3×=4；44解：1+...99+

11+99×=100；100100这是依照顺序的方式选取，删除，添加。

假使是随便选择，我们需要证明一件事情，就是选择跟顺序无关。

先证明只有三个数的状况：a、b、c。如：先选择a、b，有：a+b+ab；再选择c，有：(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc，显然可以看出其对称性。

因此，选择与顺序无关。不管是先选择a、b，还是a、c，还是b、c，结果都一样。同理，有n个数里，任意选择两个数，结果也是一样的。∴经过99次操作后黑板上剩下的数是100。

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分数与二次根式

33．已知a2(b+c)=b2(a+c)=2023，且a≠b，求c2(a+b)的值。

解：∵a2(b+c)=b2(a+c)，∴a2b+a2c=b2a+b2c，∴a2b+a2c-ab2-cb2=ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=(ab+ac+bc)(a-b)=0，∵a≠b，∴a-b≠0，∴ab+ac+bc=0，∴2ab+2ac+2bc=0，∴a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=0；

2023202320232023，b(a+c)=，∴++c(a+b)=0，abab2023(a?b)?abc(a?b)(a?b)(2023?abc)∴=0，即：=0；

abab∵a2(b+c)=b2(a+c)=2023，∴a(b+c)=

∵a≠b，∴a+b≠0，ab≠0，∴2023+abc=0，即：abc=-2023。

又∵ab+ac+bc=0，∴ab=-c(a+b)，代入abc=-2023，得：-c2(a+b)=-2023，∴c2(a+b)=2023。

34．已知实数a、b、c满足a+b+c=0，abc=4，试判断

111++的正负。abc解：∵a+b+c=0，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0；∵abc=4，∴a、b、c均不为0，∴ab+ac+bc0，n>0，且m≠n）。A购买大米平均单价：

25m?25nm?n25?252mn=；B购买大米平均单价：=；

2525m?n25?252?mnm?n2mnm2?2mn?n2-4mnm2-2mn?n2(m-n)2∵-===>0，

2m?n2(m?n)2(m?n)2(m?n)∴A购买大米的平均单价>B购买大米的平均单价，∴B的购买方式划算。

xxx++=2023的解。

1?a?ab1?b?bc1?c?ca1111aab解：∵++=++

1?a?ab1?b?bc1?c?ca1?a?aba?ab?abcab?abc?a2bc1aab1?a?ab=++==1，1?a?ab1?a?ab1?a?ab1?a?abxxx111∵++=2023，∴x(++)=2023，1?a?ab1?b?bc1?c?ca1?a?ab1?b?bc1?c?ca36．已知abc=1，求关于x的方程∴x=2023。

111，b=，c=，试比较a与d的大小关系。1?b1?c1?d11111111解：由题意得：1-d=，∴d=1-；1-c=，∴c=1-；1-b=，∴b=1-。将b=1-代入c=1-，

ccbbaaab11得：c=，再代入d=1-，得：d=1-(1?a)=a。∴a=d。

1?ac37．若a=

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分数与二次根式

38．已知

xzxyyz=1，=2，=3，求x的值。

x?zy?zx?y解：∵

1115xyx?y111111=1，∴=1，即：+=1；同理，+=；+=；综合解得：=，

xyx12x?yxyyz2xz3∴x=

12。5111++的值。

b2?c2-a2c2?a2-b2a2?b2-c239．设有理数a、b、c都不为0，且a+b+c=0，求

解：∵a+b+c=0，∴a+b=-c，(a+b)2=c2，a2+b2-c2=2ab；同理有：a2+c2-b2=2ac，c2+b2-a2=2bc；∴

40．当a=1.67，b=1.71，c=0.46时，求

111111a?b?c++=++==0。2222222222bc2ac2ab2abcb?c-ac?a-ba?b-c121++的值。

a2-ac-ab?bcb2-ab-bc?acc2-ac-bc?ab解：原式=

121++

a(a-c)-b(a-c)b(b-a)-c(b-a)c(c-a)-b(c-a)=

121(b-c)-2(a-c)?(a-b)++=

(a-b)(b-c)(a-c)(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-b)(c-a)-(a-c)1=-

(a-b)(b-c)(a-c)(a-b)(b-c)111=-==20。

(1.67-1.71)(1.71-0.46)-0.04?1.250.05=

当a=1.67，b=1.71，c=0.46时，原式=-

41．甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以a千米/时的速度行走，另一半时间以b千米/时的速度行走；而乙用a千米/时的速度走了一半的路程，另一半路程以b千米/时的速度行走（a、b均大于0，且a≠b），求甲、乙谁先到达B地。

解：设从A地到B地的路程为S，甲走完全程所用时间为t甲，乙走完全程所用时间为t乙

1S112S有：a×t甲+b×t甲=S，解得：t甲=；而t乙=2+

22a?ba

1S2=S(a?b)；

2abb2SS(a?b)2abS-S(a?b)2S(a2?b2)t甲-t乙=-==-分数与二次根式

x111，求f()+f()+?+f()+f(1)+f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2023)+f(2023)的值。

2023202321?x11x1x1?x解：∵f()+f(x)=x+=+==1，f(0)=0，

11?x1?x1?x1?xx1?x111∴原式=f()+f(2023)+f()+f(2023)+?+f()++f(2)+f(1)+f(1)+f(0)=1+1+?+1+1+0=2023。

20232023242．已知f(x)=

2023个1

43．太平盛世，吉利如意，“神舟五号〞，豪气冲天。若n2+995能被n+5整除（n为正整数），则称n为995的吉利数。据说，中国载人飞船首飞日期恰好与995的吉利数有关，试求n的最大值。

1020n2?995(n2-25)?1020(n?5)(n-5)?1020解：===n-5+，

n?5n?5n?5n?5∵n是整数，且1020能被n+5整除，∴n的最大数为：n+5=1020，得：n=1015。

∴故n的最大值为1015。

44．用水清洗蔬菜上残留的农药。设用x（x≥1）单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为

1。现有a（a≥2）单位的水，可以一次清洗也可以把水平均分成1?x两份后清洗两次，试问用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少？说明理由。

解：设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，分别用a的代数式表示蔬菜上残留的农药量。用a单位量的水清洗一次，蔬菜上残留的农药量为：P=

1；1?a把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量为：Q=

11?a2·

11?a2=

4；

(2?a)214(2?a)2-4(1?a)a2P-Q=-==>0，∴P>Q，

1?a(2?a)2(1?a)(2?a)2(1?a)(2?a)2∴把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量较少。

45．已知a、b、c为非0实数，且a+b+c≠0，若的值。

a?b-ca-b?c-a-b?c(a?b)(b?c)(c?a)==，求cbabaca?b-ca-b?c-a-b?c==，cbaa?b-ca-b?c-a-b?ca?b-c?a-b?c-a?b?ca?b?c∴=====1，

cbaa?b?ca?b?c解：∵

∴2c=a+b，2b=a+c，2a=b+c，∴

(a?b)(b?c)(c?a)2c?2a?2b8abc===8

abcabcabc11

分数与二次根式

46．任何一个单位分数

1111都可以写成两个单位分数的和：=+（n，p，q都是正整数），显然，nnpq111=+。nn?an?b这里的p，q都大于n。假使设p=n+a，q=n+b，那么有：

（1）摸索上式中的正整数a，b与正整数n之间存在什么样的关系（写出推理过程）；（2）写出

1等于两个单位分数之和的所有可能状况。6解：(1)∵

1111(n?a)?(n?b)=+，即：=，∴(n+a)(n+b)=n(n+a)+n(n+b)，nn?an?bn(n?a)(n?b)即：n2+nb+na+ab=n2+na+n2+nb，∴n2=ab；

(2)∵n2=ab，且n=6，∴ab=36。当a=1，2，3，4，6，对应的b=36，18，12，9，6；则n+a=7，8，9，10，12，对应的n+b=42，24，18，15，12；∴

111111111111111=+，=+，=+，=+，=+。6742682469186101561212x4?2x?147．已知x-x-1=0，求的值。5x2

解：∵x2-x-1=0，∴x2=x+1；

x4?2x?1(x2)2?2x?1(x?1)2?2x?1x2?4x?2(x?1)?4x?2∴====322x5x?2x?xx?x2?x2x(x?1)(x?1)x?x?2(x?1)?x=

5x?35x?35x?35x?3=2===1。

x(x?1)?3x?2x?4x?2(x?1)?4x?25x?311110abc++=，求++的值。a?bb?cc?a9b?cc?aa?b1111011110解：∵a+b+c=9，++=，∴(a+b+c)(++)=9×=10，

a?bb?cc?a9a?bb?cc?a9cababc∴1++1++1+=10，∴++=7。

a?bb?cb?cc?aa?bc?a48．假使a、b、c是正数，满足a+b+c=9，

932a4-3xa2?2-49．已知a-a-1=0，且3=，求x的值。2112a?2xa-a2

解：∵a2-a-1=0，∴a2=a+1，

∴a4=(a2)2=(a+1)2=a2+2a+1=a+1+2a+1=3a+2；a3=a·a2=a(a+1)=a2+a=a+1+a=2a+1，

932a4-3xa2?22(3a?2)-3a2x?2-∴3==，∴672a+672-336xa2=-93a-93-186xa2，22112a?2xa-a2a?1?2ax-a∴150xa2=765a+765=765(a+1)，即：150xa2=765a2，∴150x=765，解得：x=5.1。

12

分数与二次根式

50．已知实数a、b、c、d互不相等，且a+

111=b+=c+=x，求x的值。bca解：∵a+

1111=x，∴b=；∵b+=x，∴c==bx-acx-b1x-1x-a，即：c=

x-a1，代入c+=x，

ax2-ax-1有：

x-a13222

+=x，整理得：ax-(a+1)x-ax+a+1=0，2x-ax-1a1，此时a=b，与a、b、c、d互不相等矛盾，故ax-a2-1≠0，a∴x2(ax-a2-1)-(ax-a2-1)=0，即：(ax-a2-1)(x2-1)=0；当ax-a2-1=0，解得：x=a+∴x2-1=0，解得：x=±1。

51．已知a、b、c互不相等，试证明：222b-ca-ca-b++=++。

(a-b)(a-c)(a-b)(b-c)(a-c)(b-c)a-bb-cc-ab-ca-ca-b(b-c)2?(a-c)2?(a-b)2证明：++=

(a-b)(a-c)(a-b)(b-c)(a-c)(b-c)(a-b)(b-c)(a-c)2a2?2b2?2c2-2ab-2bc-2ac=

(a-b)(b-c)(a-c)(2ab-2bc-2ac?2c2)?(2a2-2ac-2ab?2bc)-(2ab-2ac-2b2?2bc)=

(a-b)(b-c)(a-c)=

2222222(b-c)(a-c)?2(a-b)(a-c)-2(a-b)(b-c)=+-=++。a-ba-bb-ca-cb-cc-a(a-b)(b-c)(a-c)115b2a252．若+=，求2+2的值。

aba?bab115a?b5a2?b2?2aba2?b2a2?b2解：∵+=，∴=，即：=5，即：+2=5，∴=3；

aba?baba?babababb2a2a4?b4(a2?b2)2-2a2b2a2?b222

()+===-2=3-2=7。222222abababab

53．已知实数4x2-4x+1=0，求代数式2x+

1的值。2x11=0，∴2x+=2。2x2x解：∵4x2-4x+1=0，若x=0，有：1=0，显然不成立，∴x≠0。∵x≠0，∴在4x2-4x+1=0中，方程两边同除以2x，得：2x-2+

13

分数与二次根式

abcda-b?c-d===，求的值。bcdaa?b-c?dabcd解：由题意知：a、b、c、d均不为0。设====k，则有：a=bk，b=ck，c=dk，d=ak，

bcda54．若

∴a=ak4，∴k4=1，解得：k=±1。

a-b?c-da-a?a-a0===0；

a?b-c?da?a-a?a2aa-b?c-da?a?a?a4a(2)当k=-1时，有：a=-b=c=-d，∴===-2。

a?b-c?da-a-a-a-2a(1)当k=1时，有：a=b=c=d，∴

55．（1）已知a、b、c是三个不同的数，试证明：

111++=0；

(a-b)(b-c)(b-c)(c-a)(c-a)(a-b)（2）已知a、b、c是三个不同的数，试证明：(

1112111++)=++；a-bb-cc-a(a-b)2(b-c)2(c-a)2（3）已知a、b、c是三个不同的有理数，试证明：

111是有理数。??(a-b)2(b-c)2(c-a)2证明：(1)

111(a-c)-(a-b)-(b-c)++==0；

(a-b)(b-c)(b-c)(c-a)(c-a)(a-b)(a-b)(b-c)(a-c)(2)设A=a-b，B=b-c，C=c-a，有：A+B+C=a-b+b-c+c-a=0；则：

1111112222111++=++=(++)-(++)222222ABCABBCACBC(a-b)(b-c)(c-a)A=(

11122(A?B?C)11121112

++)-=(++)=(++)；

ABCABCABCa-bb-cc-a1112111++)=++。222a-bb-cc-a(a-b)(b-c)(c-a)1112111++=(++)，222a-bb-cc-a(a-b)(b-c)(c-a)∴(

(3)∵

∴

1111112111==++，是一个有理数。(??)??222a-bb-cc-aa-bb-cc-a(a-b)(b-c)(c-a)1x256．若x+=3，求4的值。

xx?x2?11112111x22

解：∵x+=3，∴(x+)=9，即：x+2=7；4===。21xx7?18xx?x?1x2??1x2

14

分数与二次根式

a4?ma2?157．已知a+4a+1=0，且3=5，求m的值。

3a?ma2?3a2

a4?ma2?1(a2)2?ma2?1解：∵a+4a+1=0，∴a=-4a-1；∴3=2223a?ma?3a3a?a?ma?3a2

2

(-4a-1)2?m(-4a-1)?1(16?m)a2?8a?2(16?m)(-4a-1)?8a?2====5，2(m-12)(-4a-1)3a?(-4a-1)?m(-4a-1)?3a(m-12)a∴(16+m)(-4a-1)+8a+2=5(m-12)(-4a-1)，∴(16+m)(-4a-1)-5(m-12)(-4a-1)=-8a-2，

∴-(4a+1)[(16+m)-5(m-12)]=-2(4a+1)；若4a+1=0，得：a=-

58．若关于x的方程

1137，代入a2+4a+1=0，有：(-)2=0，∴4a+1≠0，∴(16+m)-5(m-12)=2，得：m=。442x?1xax?2-=无解，求a的值。

x?2x-1(x-1)(x?2)解：原方程可化为：

(x?1)(x-1)-x(x?2)ax?2=，整理得：(a+2)x=-3；

(x-1)(x?2)(x-1)(x?2)∵原方程无解，可能有：a+2=0，或x-1=0，或x+2=0；

(1)若a+2=0，解得：a=-2；(2)若x-1=0，得：x=1，代入(a+2)x=-3，解得：a=-5；(3)若x+2=0，得：x=-2，代入(a+2)x=-3，解得：a=-∴a的值为-2，-5或-1。21。2

59．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，小红和王兵二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时，步行匀速登梯。小红登了55级后到达楼上，王兵登梯速度是小红的2倍，王兵登了60级后到达楼上。问由楼下到楼上自动扶梯共有多少级？解：（方法一）设从楼下到楼上扶梯共有S级，小红登55级的同时扶梯走(S-55)级，王兵登60级的同时扶梯走(S-60)级，有：

5560×2=，解得：S=66（级）。S-55S-60（方法二）设小红单位时间登x级，则王兵单位时间登2x级，扶梯单位时间行驶y级，所以小红从

55605560y1，王兵从楼下到楼上的时间为，有：55+y×=60+y×，解得：=；

2x2xx5xx551∴扶梯从楼下到楼上共有：55+y×=55+55×=66（级）。

5x楼下到楼上的时间为

（方法三）设扶梯上移一级需t单位时间，小红登一级扶梯需2x单位时间，则王兵登一级扶梯需x

1111)=60×y(+)，解得：t=10x；

t2xtx11∴自动扶梯上移级数是王兵登的级数的，∴从楼下到楼上自动扶梯共有：60+60×=66（级）。

1010单位时间，有：55×2y(+

15

分数与二次根式

2x?a=-1的解是正数，求a的取值范围。x-22-a2-a2x?a解：原方程可整理为：2x+a=2-x，即：x=，依题意有：>0，且≠2，

33x-260．若关于x的分式方程

∴2-a>0，且，2x+a≠2(x-2)，解得：a1，∴x-

1x分数与二次根式

82．已知a、b为有理数，且满足等式a+b3=6·1?4?23，求a+b的值。

2解：∵6·1?4?23=6·1?3?23?1=6·1?(3?1)=6·1?3?1

=6·2?3=12?63=9?63?3=(3?3)2=3+3，

∴a+b3=3+3，∴a=3，b=1；∴a+b=3+1=4。

83．若x-

1x1x=-2，求x2-

1的值。2x解：∵x-=-2，∴x-

1x

26?213?2=c，∴ab；

21

分数与二次根式

x2?4xy-16y285．已知2x-3xy-2y=0，（x>0），求的值。222x?xy-9y解：∵x>0，则在xy中，有：y≥0。∵2x-3xy-2y=0，即：(2x+y)(x-2y)=0；∵2x+

y>0，∴x-2y=0，∴x=2y，∴x=4y。

x2?4xy-16y2(4y)2?4?4y?y-16y216y216∴===。22222272(4y)?4y?y-9y27y2x?xy-9y

86．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术〞，即已知三角形的三边长a、b、c，

122a2?b2-c22求它的面积S。用现代式子表示即为：S=[ab-()]?①。而另一个文明古国古希

42腊也有求三角形面积的“海伦公式〞：S=p(p-a)(p-b)(p-c)?②（其中p=

a?b?c）。2（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S；（2）能否由公式①推导出公式②？请试试。解：（1）令a=5，b=7，c=8。

112252?72-822代入公式①：S=[1225-52]=300=103。[57-()]=

442则：p=

a?b?c5?7?8==10，22代入公式②：S=10(10-5)(10-7)(10-8)=10?5?3?2=300=103。

122a2?b2-c2214a2b2(a2?b2)2-2(a2?b2)?c2?(c2)2（2）[ab-()]=(-)

444241122(2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4)=[(ac+2abc2+b2c2-c4)-(a4-2a2b2+b4)+(a2c2-2abc2+b2c2)]161612212=[c(a+2ab+b2)-c4-(a2-b2)2+c2(a2-2ab+b2)]={c(a+b)2-c4-[(a+b)(a-b)]2+c2(a-b)2}161612121=[c(a+b)2-c4-(a+b)2(a-b)2+c2(a-b)2]=[c-(a-b)2][(a+b)2-c2]=(c+a-b)(c-a+b)(a+b+c)(a+b-c)；161616a?b?c∵p=，∴a+b+c=2p，∴c+a-b=2p-2b，c-a+b=2p-2a，a+b-c=2p-2c；

2=

122a2?b2-c2211∴[ab-()]=(2p-2b)(2p-2a)(2p)(2p-2c)=×16p(p-a)(p-b)(p-c)=p(p-a)(p-b)(p-c)；416162a?b?c122a2?b2-c22∴（其中p=）。[ab-()]=p(p-a)(p-b)(p-c)，

24222

分数与二次根式

287．已