高中数学一轮复习基础知识手册第四编：立体几何

第四编立体几何(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．(3)会用平行投影法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形(4)了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．2．点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．3．空间向量与立体几何(1)了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直．(4)理解直线的方向向量及平面的法向量．(5)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(6)能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)．(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解的应用．第一讲空间几何体知识能力解读知能解读(一)空间几何体点．连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．(二)棱柱、棱锥、棱台的结构特征按底面边数分：三棱柱、四棱柱等．按侧棱与底面是否垂直分：直棱柱、斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱．几种棱柱之间的转化关系如下：斜棱柱侧棱垂直于底面直棱柱斜棱柱侧棱垂直于底面直棱柱底面是正多边形正棱柱．柱b．四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面是矩形底面是正方形棱长都相等长方体正四棱柱正方体．(3)特征c；对角面是平行四边形．平行于底面的截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的(3)正棱锥的性质a．各侧面都是全等的等腰三角形．这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做该正棱锥PCDHBAB根据底面多边形的边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台．腰梯形的高叫做该正棱台的斜高．(2)棱台的结构特点a．棱台的下底面、上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面．b．棱台的侧面：棱台中除上、下底面以外的面叫棱台的侧面．c．棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．棱台的侧棱延长后交于一点．(三)圆柱、圆锥、圆台的结构特征1．圆柱的结构特征的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．(2)圆柱的表示11和面O是该圆柱的底面；AA和BB都是该圆柱的母线．11AOABAO1B12．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体面叫做圆锥的侧面．(2)圆锥的母线无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线．(3)圆锥的记法直线SO是该圆锥的轴；面O是该圆锥的底面；平面SAB是经过轴的一个截面，简称为SAOBC3．圆台的结构特征截面分别叫做圆台的下底面和上底面．圆台也有侧面、母线、轴．B'C'A'BOBA(3)圆台也可以看成是以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形的高，与底边不垂直的腰为圆台的母线，上、下底边分别为圆台上、下底面的半径．(四)球圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．(1)任意截面是圆面(经过球心的平面截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小距离度，这个弧长叫做两点的球面距离．(五)投影与直观图已知图形F，直线l与平面a相交(如图)．过F上任意一点M作直线MM,平行于l，交平面a于点M,，则点M,叫做点M在平面a内关于直线l的平行投影．如果图形F上的所有点在平面a内关于直线l的平行投影构成图形F,，则F,叫做图形F在a内关于直线lal．FMFlM'F'α．平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时(当平行于投射线时为点)，平行投影都具有下(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线(如图)；ABllαBDBlCAB'DCAB'αAFlMFEF'E'F'E'αlAMBA'M'B'(4)与投影面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形全等(如图)；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比(如图)．用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图．我们经常用斜二测画法画出几何体的直观图．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线说明：按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积有以下关系：2SS直观图4原图形原图形直观图(六)三视图正投影：在物体的平行投影中，投射线正对着投影面时，叫做正投影．正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：(1)垂直于投影面的直线或线段的正投影是点；(2)垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．何体的正(主)视图；第二种是光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧(左)视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正(主)视图、侧(左)视图和俯视图统称为几何体的三3．三视图的画法要求(1)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是人从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．(2)一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．(3)记忆口诀(七)柱、锥、台的侧面积与体积及球的表面积与体积面积体积直棱柱直棱柱侧111V=Sh=V=Sh=πr2h=πr2l2r23333Sr+r)l3上下上3上下上下31212113侧正棱锥正棱台3上3上下上下4V=πR33解题方法荟萃4V=πR33解题方法荟萃球表思想方法(一)方程思想(二)函数思想(三)割补法(四)直接法或等体积法求距离规律技巧(一)侧面展开化空间最值问题为平面最值问题(二)巧取截面化空间计算问题为平面计算问题(三)内切球与外接球问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．条侧棱和球心(或“切点”或“接点”作出截面图．(四)球体问题的求解策略球体问题的求解应注意以下三点：一抓球心，二展大圆，三示小圆．Rr表示球的半径和截面圆的半径，用d表示球心到截面的距离，则R2=r2+d2，即球的半径、截面圆的半径和角(五)由几何体的共视图画直观图、根据直观图画三视图的方法步骤，分开还原，再合并即可，注意依据三视图中虚线、实线确定轮廓线．高考命题研究填空题的形式出现，难度不大．高考热点(一)几何体的直观图与三视图一个几何体，要求判断其三视图的形状．(二)空间几何体的体积(三)求以三视图为载体的几何体的表面积和体积(四)球的组合体问题以球的组合体为载体，综合考查球与多面体所具有的某些性质．附录常用公式定理直棱柱侧正棱锥侧22正棱台侧22直棱柱侧正棱锥侧22正棱台侧22球③正棱柱：除具有直棱柱的性质外，正棱柱的侧面是全等的矩形．平行六面体平行六面体直平行六面长方体正方体a．底面和侧面都a．四个侧面都是矩形a．底面和侧面都是矩形a．六个面都是正方形是平行四边形b．两个对角面也是矩形b．四条体对角线长相等b．棱长都相等b．四条体对角线c．一条体对角线长的平c．一条体对角线长的交于一点且在这方等于共一个顶点的三平方等于一条棱长的点互相平分条棱的长的平方和平方的三倍形；侧棱、斜高和相应的底面边长的一半组成直角三角形；d．顶点在底面上的射影是底面(3)正棱台的性质②正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形．①用一个平面去截一个球，截面是圆面．②球心和截面圆心的连线垂直于截面．③球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系：r=R2d2．④球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．圆的长度，这个弧长叫做两点的球面距离．第二讲直线和平面知识能力解读知能解读(一)平面的基本性质平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础．A,B质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，即A,Bal仁a基本性质2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．基本性a果个的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即AbAl．的公共点在这两个平面的公共直线上；(3)证明点共线的依据．若几个点都是某两个平面的公共点，则它们都在一条直线上，即在这两个平面的交线上．推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．(二)空间两条真线1．空间两条直线的位置关系空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面．若从公共点的数目看，可以分为：(1)只有一个公共点——相交直线．若从平面的基本性质看，可以分为：(1)在同一平面内〈(|相交直线．|l平行直线(2)不同在任何一个平面内——异面直线．线同一平面内，两条不相交的直线称为平行直线．基本性质4平行于同一条直线的两条直线互相平行．即ab，bc亭ac．直线不同在任何一个平面内的两条直线．异面直线既不相交也不平行．(2)异面直线判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线．这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论根据，在运用时要掌握定理的条件．(三)空间直线和平面1．直线和平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线和平面平行——没有公共点．直线和平面平行或相交叫直线在平面外．2．线面平行的判定与性质(1)判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．(2)性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．3．线面垂直的判定与性质(1)判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．用时要注意“面内两相交直线”．(四)空间两个平面1．两个平面的位置关系(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．2．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(2)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．3．平面与平面垂直的判定与性质(1)判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(五)空间平行关系、垂直关系的转化1．空间平行关系的转化线线平行线面线面平行面面平行2．空间垂直关系的转化线线垂直的判定垂直线面面面垂直的判定线面垂直线面垂直面面垂直的性质(六)空间角ab则这两条直线所成的锐角(或直角)，称为异面直线a，b所成的角．中去求．(2)二面角的平面角alblO，以点O为垂足，在半平面内分别作射线②二面角的大小是通过二面角的平面角的大小来度量的．(七)空间距离1．点点、点线、点面距离离3．线面、面面距离线面间距离、面面间距离与线线间距离、点线间距离常常相互转化，这些问题的特点：计算常常伴有论证，求解过程中一般是通过论证将所求元素转化到某个三角形或其他平面图形中，再通过解三角形或其他平面图形得到答案，即按照“一作(或找)、二证、三计算”的解题方法荟萃思想方法(一)分类讨论思想(二)转化思想(三)反证法(四)补形法规律技巧(一)折叠问题的求解策略(二)存在性探究题的求解策略这类问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是通过假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．(三)求二面角大小的方法求二面角的大小是立体几何计算的重点，又是难点．第一步，找到二面角的平面角(这是关键)；第二步，解含二面角的平面角的三角形．即直接作出二面角的平面角，然后再进行计算．2．面积射影定理易混易错考虑问题不全面致误高考命题研究答题的形式进行考查，位置关系的证明主要以解答题的形式进行考查．高考热点(一)考查点、线、面的位置关系的判断(二)空间位置关系的判定与性质(三)线线角、线面角、面面角的求法求解这三类角时要注意先作出角(注意角的范围)再证明，最后求解．(四)点到平面的距离求点到平面的距离常用以下四种方法：一是直接法(也叫定义法)，即直接确定点到平面的垂线段的长；二是转移法，即转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质)；三是体积法，利用三棱锥体积公式；四是向量法(后面讲解)．附录常用符号b」——平面b与平面垂直．．常用结论(1)异面直线判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线．(2)线与线平行的判定①平行于同一直线的两直线平行．②垂直于同一平面的两直线平行．④如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．⑤如果一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于这两个平面的交线．(3)线与线垂直的判定如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线．(4)线与面平行的判定①如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么不在这个平面内的直线就和这②若两个平面平行，则一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面．(5)线与面垂直的判定①如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．③如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面．(6)直线在平面内的判定①如果一条直线和一个平面平行，那么过已知平面内任一点与这条直线平行的直线都在②过直线上任一点与该直线垂直的直线都在该直线过这点的垂直平面内．(7)面与面平行的判定①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．③平行于第三个平面的两个平面平行．④垂直于同一条直线的两个平面平行．(8)面面垂直的判定①一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直．②两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，另一个平面也垂直于第三个平面．(9)唯一性定理①过已知点，能且只能作一条直线和已知平面垂直．②过已知平面外一点，能且只能作一个平面和已知平面平行．③过两条异面直线中的一条，能且只能作一个平面与另一条直线平行．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．第三讲空间向量及其运算知识能力解读知能解读(一)空间向量及其加减运算和数乘运算1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，且用有向线段来表示．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．2．空间向量求和有平行四边形法则和三角形法则，其中三角形法则可推广到空间中多个向量的求和，这个和向量通常称为“封口向量”．(二)空间向量基本定理1．共线向量定理2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量c与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实3．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组组合，{a,b,c}叫做空间的一个基底，其中a，b，c都叫做基向量．此定理是空间向量分(三)两个向量的数量积ππ如果a,b=，那么称a与b互相垂直，并记作a」b．22．两个向量a，b的数量积(或内积)3．向量数量积的性质xyzxyz2224．向量数量积的运算律4．向量数量积的运算律个与c共线的向量，而a(b.c)表示一个与a共线的向量，而向量c与a一定共线．已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A,，作点B在l上的射影B,，则AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影，且11122221212111122222123123111222123123112233；a+a2+a2.b2+b2+b2123123212121(4)与a同向的单位向量a)aa2(4)与a同向的单位向量a)aa22323与a反向的单位向量)|aa23)|aa2323123解题方法荟萃思想方法(一)函数与方程思想(二)转化与化归思想(三)基向量法规律技巧(一)利用封闭图形进行向量的线性运算(二)利用共线向量、共面向量基本定理解题Ⅲ．易混易错辨析易混易错忽视角的平值范围致误高考命题研究为中档题出现，利用空间向量可以降低难度，并且多数情形下传统法、向量法都可以解题，的大小，这是高考中的重点也是热点．高考热点(一)空间向量及其运算(二)空间线、面平行或垂直关系的判定及证明平行和垂直是空间直线和平面最典型的位置关系，运用空间向量及其运算来处理往往可以减少“形”到“形”的推理，从而转化为“数”与“形”的结合，降低思维难度．(三)空间角的求解与应用附示常用公式定理1231231112223123123zz2121211112222xyz222212第四讲空间向量在立体几何中的应用知识能力解读知能解读(一)空间直线的向量参数方程1．若非零向量al，则称a是直线l的方向向量．2．若直线l过定点A，且方向向量为a，点P为直线l上任意一点，则l的参数方程为3．若直线l过定点A，且方向向量为a，点P为直线l上任意一点，O为空间任一定4．若直线l过定点A和B，O为空间任一定点，点P为直线l上任意一点，则l的参(二)用向量证明平行设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面a，b的法向量分别为u，v，则(线线平行)lm一ab；(面面平行)ab一uv．(三)用向量证明垂直1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1」l2一v1」v2一v1.v2=0．2．设直线l的方向向量为v，平面a的法向量为u，则l」a一vu．3．设平面a和b的法向量分别为u1和u2，则a」b一u1」u2一u1.u2=0．(四)用向量法求空间角1．求两异面直线所成的角若两条异面直线a和b的方向向量分别为n，n，两条直线a和b所成的角为9，则122．求直线与平面所成的角若直线a的方向向量为v，平面a的法向量为n，直线a与平面a所成的角为9，则设n，n分别为二面角的两个半平面的法向量，其二面角为9，则9=n,n或12121212nn2解题方法荟萃思想方法(一)转化思想(二)分类讨论思想(三)法向量法根据几何体的特征，建立适当的空间直角坐标系(右手直角坐标系)，用坐标来表示有关决所有的立体几何计算问题，尤其在求二面角、点到面的距离、异面直线的距离时，法向量有着它独有的优势——不用作图而直接计算．此法简称“法向量法”，用法向量法解决立体几何中的证明与计算问题是本讲的重点所在．规律技巧(一)利用“坐标法解(证)立体几何题的步骤它们的交点作为原点，并选取适当的单位长度；第二步，表示点的坐标．将题中相关点用坐标表示，这一步是解(证)几何题的关键；第四步，求出问题的解．将点或向量的坐标代入公式(夹角公式、距离公式等)；第五步，得出结论．根据上一步所求得的结果，进一步得出问题的正确结论．对错，也就意味着解题的成功与失败，因此特强调如下两点：1．如何确定空间点的坐标空间点的坐标是有序实数组(x,y,z)，其中的三个数x，y，z包含坐标的符号与坐标(1)判断点的坐标的符号点在坐标平面上的射影位于坐标轴的正方向，则这点对应的坐标的符号为正，否则为负．如位于x轴正方向，则横坐标为正；位于z轴负方向，则竖坐标为负．(2)确定点的坐标的绝对值哪个坐标的绝对值．如这条垂线段平行于y轴且长度为a，则该点的纵坐标的绝对值是a；如这条垂线段平行于z轴且长度为a，则该点的竖坐标的绝对值是a．2．常见特殊点的坐标特点(1)坐标轴上点的坐标的特点①x轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0，形如(a,0,0)．(2)坐标平面上点的坐标的特点①xOy平面上所有点的竖坐标是0，形如(a,b,0)．b(3)非特殊点(既不在坐标轴上也不在坐标平面内的点)的坐标设法1112221212z，z均已知，设P(x,y,z)，并由P在线段AB上知存在实数t，使得AP=tAB，即12111212121tz2121这样P点坐标就可只用一个参数t来表示了，即P(tx+(1t)x,ty+(1t)y,tz+(1t)z)，这样设的目的是便于求参数t(只列一个关21212