投资组合理论

投资组合理论第1页，共104页，2023年，2月20日，星期五处理不确定性的三种数学方法预期效用函数分析基于偏好假定，非常完美但要刻画一个人在所有不同状态下的效用几乎不可能均值—方差分析：投资组合理论尽管不能完全刻画个体的偏好（某些条件下可以）避免讨论具体的效用函数，灵活方便，可以检验套利分析：APT基于均值—方差分析和市场均衡理论，做了更多假定简化计算，使用方便，可以检验方法论的里程碑2023/4/9第2页，共104页，2023年，2月20日，星期五证券投资理论的发展

西方投资管理经历了三个发展阶段：投机阶段、职业化阶段和科学化阶段。

1952年，HarryMarkowitz发表的“投资组合选择”作为投资学或金融经济学产生的标志。

1963年，WillianSharpe提出了单指数模型。

1964年，Sharpe，Lintner,Mossin分别独立地提出了资本资产定价模型

1973年，Black和Scholes提出了第一个完整的期权定价模型即Black-Scholes公式。

1976年，Ross提出了套利定价理论。2023/4/9第3页，共104页，2023年，2月20日，星期五马科维茨(H.Markowitz,1927～)《证券组合选择理论》有着棕黄色头发，高大身材，总是以温和眼神凝视他人，说话细声细语并露出浅笑。瑞典皇家科学院决定将1990年诺贝尔奖授予纽约大学哈利.马科维茨（HarryMarkowitz）教授,为了表彰他在金融经济学理论中的先驱工作—资产组合选择理论。2023/4/9第4页，共104页，2023年，2月20日，星期五1952年,时年25岁的马科维茨提出了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法Mean-Variancemethodology.引起了股票投资理论的革命。这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础；这一理论通常被认为是现代金融学的发端。马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合，酝酿了一系列金融学理论的重大突破。主要贡献2023/4/9第5页，共104页，2023年，2月20日，星期五

马科维茨的贡献主要有：1）提出了如何定量计算股票投资的收益和风险以及投资组合的收益和风险；2）用模型揭示出,股票投资收益和风险成正比；3）说明股票投资风险由系统风险和非系统风险两部分构成,通过适当的投资组合,可以避免非系统性风险；4）提出有效投资组合的概念。有效投资组合具有如下要求：在相同的风险水平下,投资组合有最高的收益；在相同的期望收益下,投资组合有最低的风险；2023/4/9第6页，共104页，2023年，2月20日，星期五5）如果有以下三个变量的数据,即每个股票的收益、收益的标准差（风险）、每个股票之间的协方差,就可以决定投资组合的期望收益和期望风险,从而建立有效投资组合。马尔柯维茨的投资组合理论需要大量的计算,在当时较难大量地用于实践中。1963年,他的博士生夏普对其理论进行了简化,提出了单指数模型,也称为市场模型或对角线模型。实证分析表明：借助简化模型所选取的有效投资组合,十分类似马尔柯维茨体系下的投资组合,但计算量大大减少。2023/4/9第7页，共104页，2023年，2月20日，星期五投资组合理论的基本思想投资组合是一个风险与收益的tradeoff问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。——“nothingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofriskleveltomaximizethereturn“——“Don’tputalleggsintoonebasket”2023/4/9第8页，共104页，2023年，2月20日，星期五实现方法收益——证券组合的期望报酬风险——证券组合的方差风险和收益的权衡——求解二次规划2023/4/9第9页，共104页，2023年，2月20日，星期五马科维茨投资组合理论的假设1.单期投资：是指投资者在期初投资，在期末获得回报。单期模型是对现实的一种近似描述，如对零息债券、欧式期权等的投资。虽然许多问题不是单期模型，但作为一种简化，对单期模型的分析成为我们对多时期模型分析的基础。2.正态分布：投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。2023/4/9第10页，共104页，2023年，2月20日，星期五3.二次效应函数：投资者的效用函数是二次的，即u(W)=a+bW+CW2。（注意：假设2和3成立可保证期望效用仅仅是财富期望和方差的函数）4.期望收益率和方差。衡量投资者以期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。5.占优法则：投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。2023/4/9第11页，共104页，2023年，2月20日，星期五3.1一些基本定义回报率r定义为：r=（X1-X0）/X0显然R=1+r

假设你在时间0以价格X0购买一种资产，一年后你卖出这种资产，得到收益X1。你面对的不确定性，或者说风险，体现为收益X1的不确定性。你的投资的总回报R定义为R=X1/X0由于期末的收益是不确定的，所以总回报R、回报率r均为随机变量。价格与回报率之间是一一决定的关系。2023/4/9第12页，共104页，2023年，2月20日，星期五字母（或者字母上加一波浪线）表示随机变量，字母上加一横线表示期望值；例如，R（或者）表示随机总回报，而表示期望总回报。当我们投资在不只一种资产上时，需要考虑证券组合的回报率，假设有n种可得的不同资产，我们把初始财富X0分成n份，投资到这n种资产上，设Xi0为投资在第i种资产上的财富，；如果以比例表示，则为，

为投资在第i种资产上的财富的份额，，以Ri、ri分别表示第i种资产的总回报、回报率，那么到期末，由i产生的收益为RiXi0或。2023/4/9第13页，共104页，2023年，2月20日，星期五该证券组合的总收益为，因此，该证券组合的总回报为它的回报率为2023/4/9第14页，共104页，2023年，2月20日，星期五假设投资者投资的时间为一期，投资的初始财富W0为17200元，投资者选择A、B、C三种股票进行投资。投资者估计它们的期望回报率分别为16.2%、24.6%和22.8%。这等价于，投资者估计三种股票的期末价格分别为46.48元[因为（46.48-40）/40=16.2%]、43.61元[因为（43.61-35）/35=24.6%]和76.14元[因为（76.14-62）/62=22.8%]。证券组合期望回报率有几种计算方式，每种方式得到相同的结果。2023/4/9第15页，共104页，2023年，2月20日，星期五（1）证券和证券组合的值证券名称在证券组合中的股数每股的初始市场价格总投资在证券组合的初始市场价值中的份额A10040元4000元4000/17200=0.2325B20035元7000元7000/17200=0.4070C10062元6200元6200/17200=0.3605证券组合的初始市场价值W0=17200元总的份额=1.00002023/4/9第16页，共104页，2023年，2月20日，星期五（2）利用期末价格计算证券组合的期望回报率证券名称在证券组合中的股数每股的期末预期价值总的期末预期价值A10046.48元46.48元*100=4648元B20043.61元43.61元*200=8722元C10076.14元76.14元*100=7614元证券组合的期末预期价值=20984元证券组合的期望回报率=（20984元-17200元）/17200元=22.00%2023/4/9第17页，共104页，2023年，2月20日，星期五（3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率证券名称在证券组合初始价值中的份额证券的期望回报率在证券组合的期望回报率中所起的作用A0.232516.2%0.2325*16.2%=3.77%B0.407024.6%0.4070*24.6%=10.01%C0.360522.8%0.3605*22.8%=8.22%证券组合的期望回报率==22.00%2023/4/9第18页，共104页，2023年，2月20日，星期五3.2期望效用分析与均值－方差分析的关系一般来说，资产回报的均值和方差并不能完全包含个体做选择时所需要的全部信息但在一定条件下，个体的期望效用函数能够仅仅表示为资产回报的均值和方差的函数，从而投资者投资者可以只把均值和方差作为选择的目标条件为：预期效用函数为二次效用函数或者资产回报服从正态分布2023/4/9第19页，共104页，2023年，2月20日，星期五

假设个体的初始财富为W0，个体通过投资各种金融资产来最大化他的期末财富带来的期望效用。设个体的Von-Neumann-Morgenstern效用函数为u，在期末财富的期望值这一点，对效用函数进行Taylor展开：这里2023/4/9第20页，共104页，2023年，2月20日，星期五

假设上述Taylor展开式收敛且期望运算和求和运算可以交换顺序，则个体的期望效用函数可以表示成：这里

当所有的高阶矩为0，或者高阶矩是期望和方差的函数时，期望效用就仅仅只是期望和方差的函数，从而均值－方差可以用来完全刻画个体的偏好。2023/4/9第21页，共104页，2023年，2月20日，星期五定理3.1

如果u是一个整解析函数，则

（a）对任意分布的期末财富，存在函数使得当且仅当这里，为常数

（b）对任意偏好函数u，如果期末财富服从正态分布，则存在函数，使得2023/4/9第22页，共104页，2023年，2月20日，星期五

结论说明：在一定条件下，均值－方差分析的结果与期望效用分析的结果是一致的。虽然均值－方差分析有其内在的缺陷，但由于它的易操作性及经验性，它在金融理论里起着重要的作用。

在以下的具体分析中，假设市场是无摩擦市场，即在这个市场中，没有交易成本、税收，也可以以无风险利率无限制借贷，证券的份数是无限可分的。2023/4/9第23页，共104页，2023年，2月20日，星期五3.2

投资组合收益和风险的度量设一项投资组合含有n项风险资产，令：:风险资产i的随机收益率；：风险资产i的期望收益率，；：风险资产i和j的收益间的相关系数；：风险资产i和j的收益间的协方差；则有即：的方差；2023/4/9第24页，共104页，2023年，2月20日，星期五从“历史”样本估计收益和风险：投资组合收益的期望值；：投资组合收益的方差。：投资组合中风险资产i所占的百分比；：投资组合的随机收益率；2023/4/9第25页，共104页，2023年，2月20日，星期五2023/4/9第26页，共104页，2023年，2月20日，星期五若n=2时，若再假定其中一项如第２项是无风险资产，则有2023/4/9第27页，共104页，2023年，2月20日，星期五从上式解得如果现在市场的无风险利率是６％，资产１的预期收益率是１４％，标准差是２０％。现在我们希望组合的预期收益率是１１％，则组合的构成和风险将是多少？2023/4/9第28页，共104页，2023年，2月20日，星期五例3.1

假设我们要构造一个能源投资的Ace组合,我们选择了雪佛龙德士古(ChevronTexaco)石油公司和巴罗德(Ballard)燃料电池公司.由于燃料电池提供了替代汽油的清洁能源,所以,这两家公司的股票价格运动方向相反.我们设

,对两家公司各投资50%.雪佛龙德士古公司股票的标准差和预期回报分别是：，巴罗德公司股票的标准差和预期回报分别是：2023/4/9第29页，共104页，2023年，2月20日，星期五求解Ace组合的标准差和预期回报：

即2023/4/9第30页，共104页，2023年，2月20日，星期五将分解如下：

第一部分是只与单个方差项相关的风险，称为非系统性风险；第二部分是由各项资产收益间的相关性所带来的风险，称为系统性风险（或市场风险）。3.3风险的分散化2023/4/9第31页，共104页，2023年，2月20日，星期五由上可知，证券组合的方差不仅取决于单个证券的方差，而且还取决于各种证券间的协方差。随着组合种证券数目的增加，在决定组和方差时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。例如，在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差和870个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所有的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。风险的分散化原理被认为是现代金融学中唯一“免费的午餐”。将多项有风险资产组合到一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率，这是马科维茨的主要贡献。

2023/4/9第32页，共104页，2023年，2月20日，星期五讨论1：当时，有，若令，则有，其中表示投资组合中收益率方差的平均值，故表明：当资本市场上证券种类足够多时，等比例投资n种证券的组合风险趋于零。2023/4/9第33页，共104页，2023年，2月20日，星期五讨论2：一般情况即当时若仍等比例投资n种证券，即，则有

表明：当资本市场上证券种类足够多时，投资组合的非系统风险随组合中证券数目的增加而下降，但协方差对组合风险的贡献趋于协方差的平均值。故2023/4/9第34页，共104页，2023年，2月20日，星期五1005001530非系统风险规模1005001530系统风险规模2023/4/9第35页，共104页，2023年，2月20日，星期五组合的风险–标准差组合中的股票数量市场风险特定公司风险总风险可分散风险非系统性风险不可分散风险2023/4/9第36页，共104页，2023年，2月20日，星期五证券组合消除的是非系统性风险，系统性风险不能消除非系统风险是企业特有的风险，诸如企业陷入法律纠纷、罢工、新产品开发失败，等等。可称为可分散风险、特有风险、特定资产风险。非系统性风险主要通过分散化减少，因此由许多种资产构成的组合将几乎不存在非系统性风险.系统风险是指整个市场承受到的风险，如经济的景气情况、市场总体利率水平的变化等因为整个市场环境发生变化而产生的风险。可称为不可分散风险、市场风险。系统性风险影响所有的资产，不能通过分散化来去除。2023/4/9第37页，共104页，2023年，2月20日，星期五结论只要资产不是完全正相关，投资组合的分散化便可以在不减少平均收益的前提下降低组合的风险；在分散化良好的投资组合里，非系统风险由于逐渐趋于零而可以被排除掉；由于系统风险不随分散化而消失，必须对其进行处置和管理。2023/4/9第38页，共104页，2023年，2月20日，星期五3.4证券投资组合的可行集、有效集与最优投资组合

一、可行集二、有效集三、有效前沿均值与方差的关系四、最优投资组合的选择2023/4/9第39页，共104页，2023年，2月20日，星期五一、可行集N个证券可以形成无穷多个组合，由N种证券所形成的所有预期收益率和方差的组合的集合就是可行集。它包括了现实生活中所有可能的组合，也就是说，所有可能的证券投资组合将位于可行集的内部或边界上。2023/4/9第40页，共104页，2023年，2月20日，星期五两种资产组合的结合线证券A，B在今后一段时间内（例如，一年）的收益率分别为rA，rB，其投资比例分别为xA，xB，且xA+xB=1，由它们形成一个证券组合P，则P的收益率为：rP

=xA·rA+xB·rB2023/4/9第41页，共104页，2023年，2月20日，星期五证券A：收益率高，风险高证券B：收益率低，风险低即：E(rA)>

E(rB)

,σA>σB2023/4/9第42页，共104页，2023年，2月20日，星期五无论投资组合权重如何变化，组合收益的方差都随着组合内资产相关系数的减少而直线下降2023/4/9第43页，共104页，2023年，2月20日，星期五选择不同的组合权重，相关系数对组合收益率方差的影响将随着组合权重偏向低风险资产而减少，反之增加。图5-6、5-7表明，虽然我们无法决定资产A或B的收益及其风险，但可以通过选择具有特定相关关系的的资产来构造组合并通过调整分配给各资产的投资比重来调整组合的收益和风险。这意味着：人们无需开发新的金融资产就可以创造新的投资品种。2023/4/9第44页，共104页，2023年，2月20日，星期五两个证券组合的可行集举例证券预期收益标准差A5%20%B15%40%组合1234567XAXB1.000.000.830.170.670.330.50.50.330.670.170.830.001.002023/4/9第45页，共104页，2023年，2月20日，星期五相关系数分别为1，-1，0时，组合的期望收益与标准差分别是多少？组合1234567预期收益56.78.31011.713.315标准差下限=－1上限=1=02020201023.3317.94026.6718.811030.0022.362033.3327.603036.6733.3740.0040.0040.002023/4/9第46页，共104页，2023年，2月20日，星期五2023/4/9第47页，共104页，2023年，2月20日，星期五情形1：A、B完全正相关E(rp)

=xA·E(rA)

+xB·

E(rB)xA+xB=1E(rp)

=xA·E(rA)

+（1-xA）·

E(rB)由以上两式所确定的是一条直线，通过点（σA，EA

）和（σB，EB

）

允许卖空时，为了得到无风险的证券组合，需要卖空高风险证券并投资在低风险证券（图中虚线部分）2023/4/9第48页，共104页，2023年，2月20日，星期五情形2：A、B完全负相关E(rp)

=xA·E(rA)+xB·E(rB)xA+xB=1E(rp)

=xA·E(rA)+（1-xA）·E(rB)此时，σP与E(rp)之间是分段线性关系

2023/4/9第49页，共104页，2023年，2月20日，星期五情形3：A、B不完全相关E(rp)

=xA·E(rA)+xB·E(rB)xA+xB=1E(rp)

=xA·E(rA)+（1-xA）·E(rB)此时，确定的是一条通过A、B的双曲线结论：通过按适当比例买入两种证券，获得比两种证券中任何一种证券的风险都小的证券组合。图中C点为最小方差组合；组合中越靠近A，买入的A越多；而A点的东北部曲线上的点代表的组合由卖空B证券、买入A证券形成。2023/4/9第50页，共104页，2023年，2月20日，星期五情形4：一般情形E(rp)

=xA·E(rA)+xB·E(rB)xA+xB=1E(rp)

=xA·E(rA)+（1-xA）·E(rB)此时，确定的仍是一条通过A、B的双曲线，其弯曲程度取决于相关系数的大小在不允许卖空的情况下，相关系数越小，证券组合的风险越小。2023/4/9第51页，共104页，2023年，2月20日，星期五多种证券组合的可行域

（例如，3种证券构造的500个随机组合样本）（1）投资者可以构造无穷多种组合，获得不同的收益和风险特征；（2）投资者可以获得的收益和风险被局限在一定的区域（可行域）内，并获得任意的收益和风险结构；（3）投资者的理性选择必将在可行域的边界上2023/4/9第52页，共104页，2023年，2月20日，星期五可行集具有两个重要性质：

1、只要N>2，可行集对应于均值－标准差平面上的区域为二维的；

2、可行集的左边界向左凸。说明：由于一个证券组合对应于均值—标准差平面的一个点，所以，我们既可以用各个证券的权重来表示证券组合，也可以用均值—标准差平面上的一个点来表示它。这也是我们用均值—标准差平面上的一个集合来表示可行的证券组合集合的原因。2023/4/9第53页，共104页，2023年，2月20日，星期五投资组合的几何表示和可行集选定了证券的投资比例，就确定了组合。以ErP为纵坐标、σP为横坐标，在ErP-σP坐标系中可以确定一个点。每个组合对应ErP-σP中的一个点；反过来，ErP-σP中的某个点有可能反映某个组合。选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组合在ErP-σP中的“点”组成ErP-σP中的区域－－可行集（feasibleset）可行集中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组合。可行集之外的点是不可能实现的证券组合。可行集＝机会集2023/4/9第54页，共104页，2023年，2月20日，星期五可行集可能的形状（1）（4）（3）（2）（2）和（3）是不允许卖空条件下的可行域（1）和（4）是允许卖空条件下的可行域2023/4/9第55页，共104页，2023年，2月20日，星期五2、有效集或有效前沿（1）有效集的定义可行集中有无穷多个组合，但是投资者有必要对所有这些组合进行评价吗？理性的风险厌恶者的投资选择：对于同样的风险水平，将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，将会选择风险最小的组合；如果一个组合比另一个组合的风险低、收益高，更加偏好这个组合。能同时满足这两个条件的投资组合的集合被称为有效集（EfficientSet）或有效边界（有效集定理）。2023/4/9第56页，共104页，2023年，2月20日，星期五有效边界（有效集）：因为投资者是不知足且厌恶风险，即风险一定时追求收益最大，收益一定时追求风险最小。所以，同时满足在各种风险水平下，提供最大预期收益和在各种预期收益下能提供最小风险这两个条件就称为有效边界。即双曲线的上半部。上面各点所代表的投资组合一定是通过充分分散化而消除了非系统性风险的组合。2023/4/9第57页，共104页，2023年，2月20日，星期五收益风险最小方差组合MVP（2）有效集的形状有效集（有效边界）是满足占优法则的所有组合的点的集合（轨迹）2023/4/9第58页，共104页，2023年，2月20日，星期五有效集曲线的形状具有如下特点：（1）有效集是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益、高风险”的原则；（2）有效集是一条向左凸的曲线。有效集上的任意两点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代表一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用，所以曲线是向左凸的；（3）有效集曲线上不可能有凹陷的地方。

2023/4/9第59页，共104页，2023年，2月20日，星期五Markowitz提出：理性的投资者总是寻求这样的投资组合

,它在给定期望收益水平的条件下，使风险达到最小，即求解(3)

均值-方差模型(有效集的来源)2023/4/9第60页，共104页，2023年，2月20日，星期五

或给定风险水平的条件下，使期望收益达到最大，即求解2023/4/9第61页，共104页，2023年，2月20日，星期五多目标规划形式2023/4/9第62页，共104页，2023年，2月20日，星期五转化为单目标问题形式其中为风险厌恶系数，且。2023/4/9第63页，共104页，2023年，2月20日，星期五3.5不具有无风险资产的有效组合边界

定义3.2

一个证券组合称为边界证券组合，如果它在所有具有相同期望回报的证券组合中具有最小方差，即是如下二次规划的解2023/4/9第64页，共104页，2023年，2月20日，星期五写成矩阵形式为其中：2023/4/9第65页，共104页，2023年，2月20日，星期五规划的求解拉格朗日方程一阶条件2023/4/9第66页，共104页，2023年，2月20日，星期五假设所有资产期望回报率和方差均有限且期望互不相等，N种风险资产线性独立。二次规划的解2023/4/9第67页，共104页，2023年，2月20日，星期五

由V的正定性知B>0，C>0，D>0，且二次规划的一阶条件既是必要条件也是充分条件，即一阶条件为是以为期望回报率的边界证券组合的充要条件。从而，任何边界证券组合均可表示成（*）式；反过来，由（*）式表示的任何证券组合均为边界证券组合。

对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，进而得到不同的边界证券组合。

“取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条曲线。由全体“边界证券组合”构成的“集合”称为证券组合边界（portfoliofrontier）。它是今后定义有效边界的基础2023/4/9第68页，共104页，2023年，2月20日，星期五证券组合边界的几个重要性质：

性质3.1

是期望回报为0的边界证券组合，是期望回报为1的边界证券组合。

性质3.2

整个证券组合边界可以由边界组合和生成性质3.3（两基金分离定理）整个证券组合边界可以由任意两个不同的边界证券组合的线性组合生成。性质3.4

边界证券组合的任何凸组合均在证券组合边界上。2023/4/9第69页，共104页，2023年，2月20日，星期五对于任意两个边界证券组合，其回报率的协方差为：

从而，对于任意边界证券组合，其回报率和标准差满足如下方程：

因此证券组合边界是以为中心，以为渐进线的双曲线证券组合边界的几何结构2023/4/9第70页，共104页，2023年，2月20日，星期五双曲线图形A/CE(r

)0mvp机会集双曲线2023/4/9第71页，共104页，2023年，2月20日，星期五最小方差证券组合mvp对应的点为

性质3.5

最小方差证券组合回报率与任意证券组合（不一定是边界证券组合）回报率的协方差总等于最小方差证券组合回报率的方差。即2023/4/9第72页，共104页，2023年，2月20日，星期五有效证券组合（或有效组合边界）

efficientportfolios

双曲线从mvp开始：向右上方的一支，是有效的向右下方的一支，是无效的

“有效组合边界”＝“边界组合”＋“期望>A/C”

性质3.6

有效证券组合的任意凸组合仍为有效证券组合。2023/4/9第73页，共104页，2023年，2月20日，星期五3.6零－协方差证券组合

性质3.7

对于边界上的任意证券组合p，,均存在唯一的边界证券组合，以zc(p)表示，使得。该证券组合称为p的零－协方差证券组合边界证券组合zc（p）和p的地位是“对称的”

zc（zc（p）)＝p从证明中可以看出，二者不可能同时是有效组合2023/4/9第74页，共104页，2023年，2月20日，星期五zc(p)的几何含义zc(p)mvppE(r)A/C02023/4/9第75页，共104页，2023年，2月20日，星期五任意非边界证券组合q和边界证券组合p的关系

设任意证券组合q和任一个边界证券组合p（mvp除外），二者收益率之间的协方差为2023/4/9第76页，共104页，2023年，2月20日，星期五

定理3.2：任意一个证券组合q的收益率期望值都可以表示成任意一个边界证券组合p（除mvp外）与其对应的边界证券组合zc（p）的收益率均值的线性组合

因为zc(p)和p的地位是对称的即zc（zc（p）＝p，所以将zc(p)和p互换，得到公式的另一种形式为2023/4/9第77页，共104页，2023年，2月20日，星期五3.7具有无风险资产的有效证券组合边界当存在无风险证券时，可以得到更简单的结果；无风险债券，是指回报率确定的证券，通常将政府发行的国库券视为无风险证券；买卖债券只不过是手段，本质是无风险的借贷行为；投资于无风险资产又称作“无风险贷出”（risk-freelending），卖空无风险资产又称为“无风险借入”（risk-freeborrowing）。假定：无摩擦的证券市场，设

w是风险资产的权重（N维向量），无风险收益率rf

2023/4/9第78页，共104页，2023年，2月20日，星期五设是如下规划的解：2023/4/9第79页，共104页，2023年，2月20日，星期五利用拉格朗日法求解，有以下有关投资组合的收益与风险的关系：如果这里A、B、C是推导马氏双曲线的变量即所有N+1种资产的证券组合前沿为过点（0，rf)，斜率为的半射线组成。2023/4/9第80页，共104页，2023年，2月20日，星期五无风险证券情况下证券组合边界是直线型截距，斜率都可以计算；斜率一正一负两条直线即所有N+1种资产的证券组合前沿为过点（0，rf)，斜率为的半射线组成。2023/4/9第81页，共104页，2023年，2月20日，星期五无风险证券情况下组合边界的几何结构

无风险收益率的大小将会影响证券边界，具体是直线的“模样”，分三种情况

rf

＜A/C、rf

＞A/C、rf

＝A/C

其中A/C表示不存在无风险资产情况下mvp的期望值存在无风险资产之后，证券组合边界由双曲线向左进行了扩张。可行域是由两条射线所“围成”的区域2023/4/9第82页，共104页，2023年，2月20日，星期五1、rf＜A/C0E(r)A/Cemvpzc(e)rf＜A/C的几何图形

正斜率直线与双曲线相切，切点是e点直线e左侧上的点是e和rf的凸组合直线e右侧上的点是卖空rf

，买入e

负斜率直线不与双曲线相交卖空e，买入rf

2023/4/9第83页，共104页，2023年，2月20日，星期五2、rf＞A/C0E(r)A/Ce’mvpzc(p)rf＞A/C的几何图形正斜率直线不与双曲线相切卖空e’，买入rf负斜率直线与双曲线相切于e’点

e’左侧的点是e和rf的凸组合e’右侧的点是卖空rf，买入e’2023/4/9第84页，共104页，2023年，2月20日，星期五3、rf=A/C0E(r)=A/Cmvprf=A/C的几何图形正、负斜率直线是双曲线的渐近线直线上任何一点的投资权重之和＝0将资产全部投资于rf持有的风险资产的投资比例之和＝02023/4/9第85页，共104页，2023年，2月20日，星期五此时，由（**）式得

即任何边界证券组合都把所有的财富投资到无风险资产上，而在风险资产上的净投资为零。2023/4/9第86页，共104页，2023年，2月20日，星期五

若设p为一边界证券组合（非mvp），q为任意一个证券组合，再由（**）式，二者之间的协方差为又因注意：该定价关系式独立于rf与A/C之间的大小关系

存在无风险资产情况下定价问题*2023/4/9第87页，共104页，2023年，2月20日，星期五3.9风险厌恶者的最优投资策略一、风险厌恶者的无差异曲线

定理3.3

当资产的回报率r服从以为均值、以为标准差的正态分布时，风险厌恶者的回报与风险之间的边际替代率是正的，无差异曲线是凸的，并且越是位于西北方向的无差异曲线，其效用越高。

假设：所有风险厌恶者的无差异曲线是凸的，并且越是位于西北方向的无差异曲线，其效用越高。2023/4/9第88页，共104页，2023年，2月20日，星期五投资者的偏好及其无差异曲线2023/4/9第89页，共104页，2023年，2月20日，星期五2023/4/9第90页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、风险厌恶者的最优投资策略确定了有效集的形状之后，投资者就可以根据自己的无差异曲线群选择能使自己投资效用最大化的最优投资组合了。这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点O，如图所示：收益风险OBN2023/4/9第91页，共104页，2023年，2月20日，星期五O点所代表的组合就是最优投资组合。有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性就确定了有效集和无差异曲线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。对投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证券市场线决定的。而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险—收益偏好决定的。由前面的分析可知，厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近B点。厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近N点。2023/4/9第92页，共104页，2023年，2月20日，星期五存在无风险资产时的最优投资策略当时2023/4/9第93页，共104页，2023年，2月20日，星期五金融市场中并不存在一种对所有的投资者来说都是最佳的投资组合或投资组合的选择策略，主要因为：一、投资者的具体情况不同；二、投资周期的影响；三、对风险的厌恶程度；四、投资组合的种类。2023/4/9第94页，共104页，2023年，2月20日，星期五五、两基金分离定理——投资组合构建的指数策略一、两基金分离定理的含义二、两基金分离定理的金融含义2023/4/9第95页，共104页，2023年，2月20日，星期五1、Tobin的二基金分离定理由于Markowitz问题是线性问题，因而两个有不同收益的解的线性组合就可生成整个组合前沿。这两个特殊的组合可以看成“基金”。这个结果称为二基金分离定理。它是Tobin(1958)首先提出的。JamesTobin,(1918-)1981年诺贝尔经济学奖获得者2023/4/9第96页，共104页，2023年，2月20日，星期五两基金分离定理（Two-FundSeparation）的含义

在所有风险资产组合的有效组合边界上，任意两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合，而有效组合边界上任意其它的点所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点所代表的有效组合的线性组合生成。2023/4/9第97页，共104页，2023年，2月20日，星期五2、两基金分离定理的金融含义

共同基金是专门从事分散化投资的金融中介机构。共同基金一方面发行小面额的受益凭证作为自己的负债，另一方面则把筹集到的大笔资金进行分散化投资，形成