南通市启东市启东中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江苏省南通市启东市启东中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含解析江苏省启东中学2019—2020学年度第一学期期终考试高二数学考试时间：120分钟；试卷分值：150分一、单选题（本题共8小题,每小题5分，共40分）1。圆和圆的位置关系是（)A.内切 B。外切 C.相交 D。外离【答案】C【解析】【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【详解】把圆x2+y2﹣2x＝0与圆x2+y2+4y＝0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2）2＝4，故圆心坐标分别为(1，0）和(0，﹣2）,半径分别为R＝2和r＝1，∵圆心之间的距离，则R+r＝3，R﹣r＝1,∴R﹣r＜d＜R+r，∴两圆的位置关系是相交．故选C．【点睛】本题考查两圆的位置关系，比较两圆的圆心距，两圆的半径之和，之差的大小是关键，属于基础题.2。“”是“为2与8的等比中项”的(）A.充分不必要条件 B。必要不充分条件C.充要条件 D。既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用等比中项公式及充分必要条件判断求解．【详解】解:是两个正数2和8的等比中项，．故是的充分不必要条件，即“”是“为2与8的等比中项"的充分不必要条件,故选．【点睛】本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题,解题时要注意两个正数的等比中项有两个．3。下列命题中，不正确的是(）A。若，，则 B。若，则C。若,则 D。若，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质、特殊值法可判断出各选项中不等式的正误。【详解】对于A选项，，,又，由不等式的性质得，A选项中的不等式正确；对于B选项，若，则,，B选项中的不等式正确;对于C选项，取，则,C选项中的不等式不成立；对于D选项，，，则，则,,D选项中的不等式正确.故选C。【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的方法有：不等式的基本性质、特殊值法、比较法，在判断时可根据不等式的结构选择合适的方法，考查推理能力，属于中等题.4.在等差数列中,首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为(）A. B。 C。 D。【答案】C【解析】【分析】由已知结合等差数列的求和公式可得,，由等差数列的性质可知，,结合已知可得，，即可判断．【详解】解：等差数列中，且满足,∴，由等差数列的性质可知,,∵首项，公差,∴，∴，，则的最大项为．故选C．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．5.若两个正实数x，y满足，且不等式有解,则实数m的取值范围是(）A B。C. D。【答案】B【解析】【分析】利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于的一元二次不等式的解集即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，当且仅当即，时等号成立,∵有解，∴，∴，即，解得，或，故选：B．【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，考查“1”的代换,属于基础题．6。在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC＝90°,D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（)A. B。 C. D.【答案】C【解析】试题分析：以A为坐标原点,建立如图空间直角坐标系易知:A(0，0，0）,B（1，0,0），P(0,0，2），，，设是平面DEF的一个法向量，则即，取x＝1，则，设PA与平面DEF所成的角为,则sinθ＝．考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系,角的计算．点评:典型题，立体几何题,是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算"的步骤,利用向量则简化了证明过程．7。双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,若这两曲线的一个交点满足轴，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程得点坐标，得；根据轴可知既是抛物线通径长的一半，又是双曲线通径长的一半,从而可得的关系；通过构造出关于的方程,解方程求得结果。【详解】由题意得:，即轴为抛物线通径长的一半又为双曲线通径长的一半，即由得：，解得:(舍）或本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线和抛物线的几何性质的应用，属于基础题。8。已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点,点，则的最大值为A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意,设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q,，P共线,可得取最大值．【详解】由题意,点F为椭圆的左焦点,，点P为椭圆C上任意一点,点Q的坐标为，设椭圆C的右焦点为，

，，，即最大值为5，此时Q，，P共线,故选A．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9。在下列函数中,最小值是2的函数有(）A. B。C。 D.【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式成立的条件,可分别判断四个选项是否满足最小值为2.【详解】对于A,且,满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知，当且仅当，即时取等号，所以A正确;对于B,，且。满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知。当且仅当,即时取等号,因为所以取不到等号，即B错误；对于C,，，且.满足都是正数且乘积为定值。由基本不等式可知.当且仅当，即时取等号，因为方程无解,所以取不到等号，即C错误；对于D，且，满足都是正数且乘积为定值。由基本不等式可知。当且仅当,即时取等号,所以D正确;综上可知最小值是2的函数有AD故答案为：AD【点睛】本题考查了根据基本不等式求函数的最值,注意”一正二定三相等”的成立条件,属于基础题.10.下面命题正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B。命题“任意，则”的否定是“存在，则”.C.设，则“且”是“"的必要而不充分条件D.设，则“"是“”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【分析】分别判断充分性与必要性,即可得出选项ACD的正误；根据全称命题的否定是特称命题,判断选项B的正误．【详解】解：对于A，或，则“"是“”的充分不必要条件，故A对；对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则"的否定是“存在,则”，故B对；对于C，“且”“”，“且”是“”的充分条件，故C错;对于D，,且，则“”是“”的必要不充分条件，故D对；故选:ABD．【点睛】本题主要考查命题真假的判断,考查充分条件与必要条件的判断,考查不等式的性质与分式不等式的解法,属于易错的基础题．11.如图,在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，,分别为侧棱，的中点,有下列结论正确的有：（）A。∥平面 B.平面∥平面C.直线与直线所成角的大小为 D。【答案】ABD【解析】【分析】选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD∥平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C，平移直线,找到线面角，再计算;选项D,因为ON∥PD，所以只需证明PD⊥PB,利用勾股定理证明即可.【详解】选项A，连接BD,显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON，由线面平行的判定定理可得,∥平面；选项B,由,分别为侧棱，的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面,由面面平行的判定定理可得，平面∥平面;选项C,因为MN∥CD，所以∠PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等,所以∠PDC=,故直线与直线所成角的大小为;选项D，因底面为正方形，所以，又所有棱长都相等，所以,故，又∥ON,所以，故ABD均正确.【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点(1）注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．(2）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．（3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．12。将个数排成行列的一个数阵，如下图:该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（)A。 B.C. D。【答案】ACD【解析】【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，逐项求解，即可得到答案。【详解】由题意,该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，可得,，所以，解得或（舍去），所以选项A是正确的；又由，所以选项B不正确；又由，所以选项C是正确的；又由这个数的和为，则，所以选项D是正确的，故选ACD.【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解,以及等比数列及其前n项和公式的应用,其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13。命题“∃x0∈R，”为假命题，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由题得“x0∈R,”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于的不等式，解不等式即得解.【详解】由题得“x0∈R，”为真命题，所以，所以.故答案为【点睛】本题主要考查特称命题否定,考查二次函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.点满足，则点P的轨迹为__________,离心率为________．【答案】（1).椭圆（2)。【解析】【分析】直接根据椭圆的第二定义即可得出结论．【详解】解：∵,∴点到定点的距离与到定直线的距离之比为,∴点的轨迹为椭圆，其离心率为，故答案为:椭圆，．【点睛】本题主要考查椭圆的第二定义的应用，属于基础题．15.设双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点M、N。若以MN为直径的圆经过点且，则双曲线的离心率为________。【答案】【解析】【分析】由题意可得为等腰直角三角形，设，则,结合双曲线的定义可得，再由勾股定理可得离心率．【详解】解：如图，设为线段的中点，由题意可得为等腰直角三角形，为直角三角形，设，则，由双曲线的定义可得，，又，∴,∴，则,∴，∴，，在中，由勾股定理可得，即，∴,∴离心率，故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．16。已知圆，点是圆上一动点,若在圆上存在点，使得，则正数的最大值为________。【答案】【解析】【分析】分析可得满足,结合条件可得圆与圆内切，从而可得答案．【详解】解：要使最大，考虑点在圆外,若在圆上存在点，使得,当直线与圆相切时,有最大值，∴，即，则满足，又点是圆上一动点,由图可知，圆与圆内切，∴，即，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查推理能力，考查数形结合思想，属于中档题．四、解答题（本题共6小题,共70分）17.已知集合，集合,。(1）若“”是真命题，求实数取值范围;（2）若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围。【答案】（1）（2)【解析】【分析】（1）解不等式即得a的取值范围；（2）先化简B，由题得是的真子集,解不等式组得解。【详解】解：（1）若“”是真命题，则，得。(2)，若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，即，即,得,即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，考查充要条件和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知椭圆的长轴长为,短轴长为．(1）求椭圆方程；(2)过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长．【答案】（1)；(2)，。【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；（2）设以点P（2，1)为中点的弦与椭圆交于A（x1,y1），B（x2，y2），利用点差法求出k，然后求出直线方程，联立解方程组,求出A，B,再求出|AB|．【详解】(1)由椭圆长轴长为，短轴长为，得，所以，所以椭圆方程为．(2)设以点为中点的弦与椭圆交于，则.在椭圆上，所以，,两式相减可得,所以的斜率为，∴点为中点的弦所在直线方程为.由，得，所以或，所以．【点睛】本题考查椭圆的方程，直线方程的求法，弦长公式，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．19.某企业用180万元购买一套新设备,该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润(万元）与使用年数的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年,可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？【答案】(1），(2)这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润35万元【解析】【分析】（1）运用等差数列前项和公式可以求出年的维护费,这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系;（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值。【详解】解：（1）由题意知，年总收入万元年维护总费用为万元。∴总利润，即，（2）年平均利润为∵，∴当且仅当,即时取“”∴答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.20.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1)证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值。【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1）利用长方体的性质,可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，,求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系,分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.【详解】证明（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以又,,平面，因此平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示空间直角坐标系，，因为，所以，所以,，设是平面的法向量,所以，设是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的绝对值为，所以二面角的正弦值为。【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系,考查了数学运算能力。21.设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且.（1）求和的通项公式；(2）记，求数列的前项和为。【答案】(1）；（2）【解析】【分析】(1)由可求出,根据定义求出数列的公比,从而可求出；（2)由题意得，再用错位相减法求和即可．【详解】解:(1）当时,==4；