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文档简介
教学目的偏导数的有关概念第1页,共19页,2023年,2月20日,星期五偏导数偏导数定义计算高阶偏导数几何意义第2页,共19页,2023年,2月20日,星期五
在一元微分学中,我们研究过函数的导数,即函数y对于自变量x的变化率:
若多元函数的某一个自变量发生变化而其它自变量保持不变,将得到与上式类似的极限,即会产生函数对某一个自变量的变化率.现在我们讨论这种变化率的概念和计算.偏导数第3页,共19页,2023年,2月20日,星期五偏导数的定义第4页,共19页,2023年,2月20日,星期五当函数z=f(x,y)在区域D内每一点都存在对x和y的偏导数时,fx(x,y)和fy(x,y)是D上的两个新的函数,称为f(x,y)对x和y的偏导函数,简称偏导数.分别记为例题第5页,共19页,2023年,2月20日,星期五更多元的函数可以类似地定义偏导数.即对一个自变量求偏导时,只要把其他自变量都当常数就行.一元函数的求导公式和导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数.2.偏导数的计算
例题第6页,共19页,2023年,2月20日,星期五例题第7页,共19页,2023年,2月20日,星期五例题第8页,共19页,2023年,2月20日,星期五
注意由上节例7知上述例5的函数f(x,y)在原点是间断的,由此可以看出偏导数存在时多元函数不一定连续.由对称性知fy(0,
0)=0.例题第9页,共19页,2023年,2月20日,星期五偏导数的几何意义第10页,共19页,2023年,2月20日,星期五如前所述,二元函数z=f(x,y)的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)仍是x、y的二元函数,它们同样可以对x和y求偏导数.
记
称为z=f(x,y)的二阶偏导数.其中fxy和fyx称为混合偏导数.注一般地,fxy与fyx不是同一个函数.但可证明如下结论高阶偏导数第11页,共19页,2023年,2月20日,星期五因此例题第12页,共19页,2023年,2月20日,星期五例题第13页,共19页,2023年,2月20日,星期五偏导数的定义
对一个自变量求偏导数时,只要把其它的自变量都当常数就行了.因此,一元函数的求导公式与导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数.偏导数的计算
小结第14页,共19页,2023年,2月20日,星期五注如果函数z=f(x,y)的两个混合偏导数在区域D上都连续,则在D上有fxy=fyx.高阶偏导数第15页,共19页,2023年,2月20日,星期五练习题第16页,共19页,2023年,2月20日,星期五例题第17页,共19页,
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