插值拟合逼近

插值拟合逼近第1页，共37页，2023年，2月20日，星期五

§2.1曲线拟合的最小二乘法

常见的数据拟合问题可描述为，给定离散数据表

x

x1

x2 ⋯⋯ xm

f(x)y1

y2 ⋯⋯ ym

求拟合函数使得达到最小。这里，函数称为拟合函数，式（2）称为拟合条件。通常假设（1）中是已给定的函数。（1）（2）

数据拟合问题第2页，共37页，2023年，2月20日，星期五拟合函数是一元函数时，所对应的函数图形是平面曲线。数据拟合的几何背景是寻找一条近似通过给定离散点的曲线，故称为曲线拟合问题。为了确定数据拟合问题，首先要选取适当的函数类例如，选用幂函数类,则这就是多项式拟合函数。在实际问题中常用的拟合函数类有指数函数类、三角函数类等等，可以根据实验数据的分布特点来选取。第3页，共37页，2023年，2月20日，星期五

曲线拟合的最小二乘法

设函数已选定，根据拟合条件（2）确定拟合函数（1）中系数的方法称为最小二乘法。拟合函数与数据表中函数在各结点上的差值

组成的向量称为残差，记为

残差向量r的分量平方和为现在确定使残差平方和最小，可令第4页，共37页，2023年，2月20日，星期五即由于是未知数，将上式整理为方程组（3）称为正规方程组，由它的解可以确定拟合函数（3）第5页，共37页，2023年，2月20日，星期五线性拟合与多项式拟合将拟合函数取线性函数或多项式函数是一种简单的数据拟合方法。

拟合函数称为对数据的线性拟合。对于线性拟合问题，需要求函数的最小值。对两个变量求导数，得令其等于零，得正规方程组第6页，共37页，2023年，2月20日，星期五方程组系数矩阵方程组右端项超定方程组:

GX=F正规方程组:

GTGX=GTF

超定方程组第7页，共37页，2023年，2月20日，星期五例1.已知实验数据如下,求线性拟合函数。

x 1 2 3 45f(x)4 4.5 6 8 9第8页，共37页，2023年，2月20日，星期五||r||2=0.7583残差向量:(1)－4=－0.40(2)－4.5=0.45(3)－6=0.30(4)－8=－0.35(5)－9=0(x)=2.25+1.35x第9页，共37页，2023年，2月20日，星期五拟合函数称为对数据的多项式拟合。对于多项式拟合问题，需要求函数采用同样的方法，可得到正规方程组第10页，共37页，2023年，2月20日，星期五方程组系数矩阵方程组右端项超定方程组:GX=F正规方程组:GTGX=GTF

第11页，共37页，2023年，2月20日，星期五例2.求数据的二次拟合函数

P(x)=a0+a1x+a2x2x12345f(x)

44.5689

第12页，共37页，2023年，2月20日，星期五二次拟合误差:||r||2=0.6437比较线性拟合误差:

||r||2=0.7583第13页，共37页，2023年，2月20日，星期五超定方程组的最小二乘解

给定数据表

x

x1

x2··········xmf(x)y1

y2··········ym拟合函数(x)=a00(x)

+a11(x)

+······+an

n(x)为了进一步理解数据拟合的最小二乘方法，考虑如下线性方程组问题。第14页，共37页，2023年，2月20日，星期五以矩阵符号记为：GX=F··············m>n+1

超定方程组GTGX=GTF第15页，共37页，2023年，2月20日，星期五系数矩阵按列分块GX=F

GTGX=GTF·····正规方程组的解称为超定方程组的最小二乘解第16页，共37页，2023年，2月20日，星期五取求拟合函数:(x)=a00(x)

+a11(x)给定数表

x

x1

x2··········xmf(x)y1

y2··········ym第17页，共37页，2023年，2月20日，星期五第18页，共37页，2023年，2月20日，星期五用最小二乘法解决实际问题的过程包含三个步骤：(1)由观测数据表中的数值，点画出未知函数的粗略图形——散点图；(2)从散点图中确定拟合函数类型；(3)通过最小二乘原理，确定拟合函数中的未知参数。例3设经实验取得一组数据如下解：在坐标系中画出散点图，可见这些点基本位于一条双曲线附近，于是可取拟合函数第19页，共37页，2023年，2月20日，星期五于是所求拟合函数为第20页，共37页，2023年，2月20日，星期五前面所讨论的最小二乘问题都是线性的，即：关于待定系数是线性的。若关于待定系数是非线性的，则往往先用适当的变换把非线性问题线性化后，再求解。如对，取对数得：，记则有，它是关于待定系数是线性的，于是所满足的正规方程组是其中.由上述方程组解得后，再由，求得.第21页，共37页，2023年，2月20日，星期五例4

由实验得到一组数据如下解：在坐标系中画出散点图如下可见这些点近似于一条指数曲线，记第22页，共37页，2023年，2月20日，星期五记则有记，则第23页，共37页，2023年，2月20日，星期五例5有函数如下表所列，要求用公式解：正则方程组为第24页，共37页，2023年，2月20日，星期五指数拟合第25页，共37页，2023年，2月20日，星期五第26页，共37页，2023年，2月20日，星期五§

3.最佳平方逼近

对于离散点的最小二乘拟合方法，可以推广到连续函数的逼近上去。下面先给出正交多项式的概念。§3.1正交多项式定义如果函数系中每个函数在区间上连续，不恒等于零，且满足条件那么称函数系在上关于权函数为正交函数系。称为正交多项式。例如三角函数系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…在[]上关于权函数是正交函数系。第27页，共37页，2023年，2月20日，星期五称为与的内积

如果内积，则称与正交。

下面介绍几个工程中最常用的正交多项式一、Legendre多项式

多项式系

：在区间上关于权函数正交，称为勒让德（Legendre）多项式第28页，共37页，2023年，2月20日，星期五二、Tchebyshev多项式多项式系

：在上关于权函数的正交，称为切比雪夫（Tchebyshev）多项式

。第29页，共37页，2023年，2月20日，星期五三、Laguerre多项式称为拉盖尔（Laguerre）多项式，它是在上关于权的正交多项式。四、Hermite多项式称为Hermite多项式，它是在上关于权函数的正交多项式系。第30页，共37页，2023年，2月20日，星期五§3.2

最佳平方逼近设是一族在上线性无关的连续函数,以它们为基底构成的线性空间

.所谓最佳平方逼近问题就是求广义多项式

使函数取得最小值。对每个变量求导数，得

第31页，共37页，2023年，2月20日，星期五即把代入上式，得利用内积定义，我们可得方程组第32页，共37页，2023年，2月20日，星期五其系数行列式为特别当为[a,b]上关于权函数的正交函数系,则可立刻求出从而最佳平方逼近函数为第33页，共37页，2023年，2月20日，星期五例6求函数在上的一次最佳平方逼近多项式。练习求函数在上的一次最佳平方逼近多项式。第34页，共37页，2023年，2月20日，星期五第35页，共37页，2023年，2月20日，星期五第36页，共37页，2023年，2月20日，星期五本章小结本章