(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC120，22AP，ABAC4则三棱锥PABC的外接球的表面积是（）36．40．A18．72πD．BCABCDABCD的棱长为2，E为棱AA的中点，截面CDE交棱AB12．已知正方体11111于点F，则四面体CDFD的外接球表面积为（）139．41．43．C12．ABD444ABCDABCDC的棱长为2，E是CC的中点，则点到平面EBD的距离3．正方体为（）31111116．22D．5ABC．．24334．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）4．AB．2D6．3C．45．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．24B．30C．47D．676EFCD．已知，是四面体的棱AB，的中点，过EF的平面与棱AD，BC分别相交于GH，，则（）BHAGBHGDAGH．平分EF，B．EF平分，GHHCGDHCAGBHAGBHGDHCAGC．EF平分，GHDGH．平分EF，HCGD7．如图为某几何体的三视图，正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（）A．23C．638B．223D6．球面上有A,B,C三点，满足ABAC214,BC27，则．已知球的半径为，O5锥OABC的体三棱积为（）ABCD．147．77．142．714ABCDABCD9．在下面四个正方体中，点M、、均为NP所在棱的中点，过M、N、作正方体截面，则下列图形中，平面MNP不与直线AC垂直的是（）PA．B．C．D．．设、是两条不同的直线，是平面，、不在内，下列结论中错误的是10mnmn（）n//n，则m//n．，Am．，，则mnBm．，，则mmnn//D．，Cmmn，则n//21111．如图，长、宽、高分别为、、的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方A体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（）3D．A10．B5．C．22为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，l12．已知二面角ACD45，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）1．2．43．41．ABCD42二、填空题ABCABC，ABBCAA42，若点是上底面P13．已知直三棱柱4，AC1111所在平面内一动点，若三棱锥PABC的外接球表面积恰为411，则此时点构PABC11成的图形面积为________．ABCDABCD14．如图，点E是正方体的棱DD的中点，点M在线段BD上运动，111111__________则下列结论正确的有．①直线AD与直线始终是异面直线CM1②存在点M，使得BMAE1③四面体的体积为定值EMAC时，平面EAC平面MAC④DM2MB当1AA2AB2AC215CAB90AB，则直线1．已知直三棱柱ABCABC1，，111与侧面BCCB所成角的正弦值是______.11AOBC的大小，，记为二面角16AOB45中，已知．在正三棱锥OABC|m||mn|cosmn，其中，为整数，则以mn|n|，，分别为长、宽、高的长方__________．体的外接球直径为17．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面_________.积为中，PAPB4，18PABC，AC8，ABBC．平面．在三棱锥BC42PABC的外接球，则球O是三棱锥PAB平面ABC，若球O的半径为_________．19．如图，已知ABC的顶点平面，点在平面的同一侧，且CA,B5|AC|23,|BC|2．若AC,BC与平面所成的角分别为,，则ABC面积的124_____取值范围是．二面角a,BFaF为垂足，为，20135，A，AEa，EB的大小为垂足，AE2,BF3，EF1，P是棱上动点，则APPB的最小值为_______．三、解答题正方形，PA底面21四棱锥中，底面是边长为的1．如图，在PABCDABCDABCD，PAAB，点是棱PD的中点.M1（）求证：平面；PB//ACM（）求三棱锥的体积PACM.2AB//CD,C60,AB2,BC3,CD6，点M．如图，四边形为梯形，22ABCD1在边CD上，且CMCD．现沿AM将△ADM折起至AQM的位置，使3QB3．（）求证：QB平面ABCM；ⅠⅡAQM（）求直线BM与平面所成角的正弦值．ABCDABCDAA1AABB1，AB2，，直线BD与平面23．如图，已知长方体1111130°AE所成的角为，垂直BD于E．1FAB动点，试确定F的位置使得平面，AE//BCF若为棱上的并说明理由；111（）（）若F为棱上的2AB11中点；求点A到平面BDF的距离；端点，除外），求二面角FBDA的大小的取值AB11（）若F为棱上的3AB11动点（范围．24．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是DAB60ABCDa且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若为AD的中点，为GEBC的中点．1（）求证：BG//平面PDE；使平面DEF平面，若存在，F2（）在棱上是否存在PCFABCD一点，确定点的位置；若不存在，说明理出．25．如图，在平面四边形中，AABCCABCAA90MAC，在直线上，AAAC，ABAMMC，AAC绕AC旋转．（）若AAC所在平面所在平面垂直，求证：平面．AC1与ABCAABAACB2（）若二面角大小为60，求直线AB与平面所ABM成角的正弦值．△PAC中，是边长为的正三角形，是以262．如图，已知在三棱锥PABCABCAC为斜边的等腰直角三角形，若直线PB与平面ABC所成的角为．6（）若PBPC，求证：平面平面；PACABCⅠ（）若PBPC，求直线AB与平面所成角的正弦值．PACⅡ***【参考答案】试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】ABC先找出ABC的外接圆的半径，然后取ABC的外接圆的圆心N，过N作平面的NGPANG于O，则O是外接球球心，为外接球半径，求解半OA的中垂线，表面积即可.【详解】垂线，作交径并求如图所示，BAC120，ABAC4，取BC中点M，连接AM并延长到N使AM=MN，则四边形ABNC是两个等边三角形组成的菱形，AN=BN=CN，点N是ABC的定在垂线NG上，因为PA平面NABC过作平面的则球心一NG外接圆圆心，垂线，ABC，则PA//NG，PA与NG共面，在面内作PA的中垂线，交NG于O，则O是外接球1ON中，AP2AN4，，故球心，半径R=OA，RtAON2积S4R241872.R2232，故外接球的表面42故选:D.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球圆大直径，点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的心，找其垂线，则球心一定在垂线上，本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.2．BB解析：【分析】△F为AB的中点，设DD的中点为G，DFC的外接圆的球心为，四面体O11可证CDFD的外接球的球心为O，连接OG,OF,OO,AB，利用解三角形的方法可求111△DFC的外接圆的半径，从而可求四面体CDFD的外接球的半径.1【详解】G，DFC的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为△设DD的中点为OCDFD111O，连接OG,OF,OO,AB，11AABB//平面DDCC，平面CDE平面AABBEF，因为平面1111111平面CDE平面DDCCDCEF//DC，，故11111EF//AB，故为的中点，而，故AB//DCFAB11110432555，cosDFC5，故所以DFCF144内角，故sinDFC，故的外接圆的半径为△DFC5因为∠DFC为三角形的125454，2OO平面ABCD，DD平面ABCD，故OO//DD，1111在平面GDOO中，OGDD,ODDD，故1OG//OD，1111故四边形GDOO为平行四边形，故OO//GD，OOGD，11141425所以四面体CDFD的外接球的半径为11，164141，4故四面体CDFD的外接球表面积为4116B.故选：【点睛】方法点睛：三棱锥的外接球的球的半径，关键是球心位置的确定，通常利用“球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上”来确定.3．BB解析：【分析】V利用等体积法V，设点到平面EBD的距离为d，利用三棱锥的体积公式C1CEBDDCEB11代入面积即求得d.【详解】V如图，利用等体积法，V，设点到平面EBD的距离为d，CCEBDDCEB111正方体ABCDABCDBD22,BEED5，如图，的棱长为2，故11111BDh12236，2212hED2BD523，即S2EBD又点D到平面CEB的距离，即D到平面CCBB的距离，为CD=2，111S1121，2CEB1136d126.63由VV123得，，故dCEBDDCEB11B.故选：【点睛】方法点睛：空间中求点到平面的距离的常见方法：1（）定义法：直接作垂线，求垂线段长；2（）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离；an3d（）向量法：过点的一个斜线段对应的向量，平面法向量，则.ann4．BB解析：【分析】.根据三视图判断出几何体的结构，利用椎体体积公式计算出该几何体的体积【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四棱锥，该棱锥满足底面是直角梯形，且侧棱平面，ABCDED11为V(12)222，所以其体积32B.故选：【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：1（）首先根据题中所给的几何体的三视图还原几何体；2（）结合三.公式求得结果视图，分析几何体的结构特征，利用体积5．DD解析：【分析】.先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解【详解】PCDDE，由三视图可知几何体为图中的四棱锥12AD4237，所以几何体的高为7.由题得11所以几何体的体积为(24)6767.32D故选：【点睛】方法点睛：（）直接法；（2）拼凑法；（3）模1通过三视图找几何体原图常用的方法有：择方法求解.型法.本题就是模型法.要根据已知利用的条件灵活选6．CC解析：【分析】举特例舍去不正确选项，可得正确答案.【详解】过EF的平面为平面ABF时，G在点，H在B点，ABH所以0AGGD，EF平分GH，HC即BHAGHCGD，所以舍去ABD，选CC故选：7．AA解析：【分析】是三棱锥，平面ACD平面ABC，ACDACB底面是等腰原几何体ABDBCD由三视图可知AC2，高为BE1，是边长为角形，计2的等边三直角三角形，底为算四个三角形面积之和即可求解.【详解】由三视图可知原几何体是三棱锥：AC2，高BE1，平面平面ABC，ACD△底面是等腰直角三角形，底ACBACDACB，由三视图知△ACB中，AC2，△ACB是等腰直角三角形，所以ABBC2，，AC2，2△ACD是等腰直角三角形，ADCDBDBE2DE22，1所以等腰直角三角形△ACB的面积为211，21等腰直角三角形△ACD的面积为211，23等边△ABD的面积为等边△BCD的面积为322，，42332224所以该几何体的表面积是113323，22故选：A.8．A解析：A【分析】利用正弦定理求出ABC的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积.【详解】设ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，72，sinABC144在ABC中，cosABC2144，ACsinABC8，即r4，由正弦定理可得2r则OD543，221S3OD112142732144377.VOABCABCA.故选：【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC的外接圆半.径，利用勾股关系求出高9．AA解析：【分析】BCDA.利用线面垂直的判定定理可判断选项，利用假设法推出矛盾，可判断选项【详解】BC对于选项，连接，假设平面，ACAMNP在正方体ABCDABCD中，ABBC，所以，ABC为直角三角形，且ACB为锐角，因为M、N分别为BB、BC的中点，则MN//BC，所以，MN与AC不垂直，AB平面，BC平面，BBCCBBCC这与AC平面MNP矛盾，故假设AC，如下图所示：即AC与平面MNP不垂直不成立，；B对于选项，连接BD、因为四边形ABCD为正方形，则ACBD，CC平面ABCD，BD平面ABCD，CCBD，ACCCC，BD平面ACC，ACC，AC平面ACBD，M、分别为、AD的中点，则MN//BD，可得MPAC，PAB同理可证ACMN，MPMNM，AC平面MNP；CD、AN、CN、AP、对于C选项，连接的中点E，连接CE、，取ABPCPE，因为四边形CCDD为正方形，则CDCD，CDAD，AD平面CCDD，CD平面CCDD，CDADD，CD平面，ACDAC平面ACD，ACCD，的中点，MN//CD，ACMN，M、N分别为、DDCDE、N分别为、CD的中点，AE//CN且AECN，AB在正方形ABCD中，AN//CE且ANCE，行四边形，所以，所以，四边形AECN为平同理可证四边形CCEP为平行四边形，CE//CP且CECP，所以，AN//CP且ANCP，所以，四边形易得ANCN，所以，四边形APCN为平所以，APCN为菱形，ACPN，行四边形，MNPNN，AC平面MNP；对于D选项，连接AC、BD，因为四边形ABCD为正方形，则ACBD，AA平面，BD平面，AABD，ABCDABCDACAAA，BD平面AAC，C，ACBD，AC平面AAM、N分别为CD、BC的中点，则MN//BD，ACMN，同理可证ACMP，MNMPM，AC平面.MNP故选：A.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．10．D解析：D【分析】垂直的定义可判断A选项的正利用线面平行的性质定理和线面误；由线面垂直的性质定理误；根据已知条件判断直线与平面可判断B选项的正n的位置关系，可判断C选项的正误；根据已知条件判断直线与平面m的位置关系，可判断D选项的正误.【详解】n行的性质定理可知，过直线的平面与平面的交线平行l对于A，n//，由线面平n于，m，l，ml，mn，故A正确；n，，由直线与平面垂直的性质，可得m//n，故B正确；对于B，若mn，又，，故C正确；nmnn//对于C，若，，则或mn//对于，若，，则或与相交或m，Dmnn//m//m而，则或与相交，故错误．mmm//DD故选：．【点睛】“”方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是推理论证加反例推断，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．11．C解析：C【分析】小虫有两种爬法，一种是从点另一种是从点沿着侧面ACGF和上底面BHFG爬行，AA沿着侧面ACGF和侧面BDCG爬行，将两种情况下的两个面延展为一个面，计算出平面.图形的对角线长，比较大小后可得结果【详解】长方体ACDEFGBH的长、宽、高分别为2、1、1，则由于小虫从点沿着侧面AAEHF和上底面FHBG爬行，以沿着侧面ACGF和侧面BDCG爬行，及小虫从点这A两条线的路最短路程相等.①若小虫从点沿着侧面ACGF和上底面爬行，BHFG将侧面ACGF和上底面BHFGA延展为一个平面，如下图所示：则ACBC2，最短路程为ABAC2BC222；②若小虫从点沿着侧面ACGF和侧面爬行，BDCG将面ACGF和侧面延展BDCGA为一个平面，如下图所示：则ADACCD3，BD1，最短路程为因为2210，因此，小虫爬行的最短路程为ABAD2BD10.222.C.故选：【点睛】1方法点睛：（）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法“”“”进行，即将侧面展开化为平面图形，即化折为直或化曲为直来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；2（）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定.理求解12．BB解析：【分析】作出图形，设，ADl，2，然后以、为邻边作平行四边形CACDCD2ABACDE，可知为二面角l的平面角，异面直线AB与CD所成角为BAEBAD余弦定理计算出cosBAE，即可.得解或其补角，计算出△ABE三边边长，【详解】利用如下图所示：设，ADl，，以、为邻边作平行四边形ACDE，CACDCD2AB2在平面内，ADl，，ACD45，则CD2ADCDsinACD2，ACCDcos452，ABl，ADl，AB，AD，BAD60，所以，为二面角l的平面角，即BADABAD2，ABD为等边BD三角形，则2，四边形ACDE为平行四边形，DE//AC，即DE//l，ADl，ABl，∴DEAB，DEAD，ABADA，平面，DEABDBD平面，DEBD，则BEDE22，BD2ABDAE//CD且AECD2，在平行四边形ACDE中，所以，异面直线AB与CD所成角为BAE或其补角，在△ABE中，AB，AEBE2，由余弦定理可得2cosBAEAB2AE2BE22ABAE2.42因此，异面直线AB与CD所成角的余弦值为.4B.故选：【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：1（）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；2（）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；3（）计算：求该角的值，常利用解三角形；0,24（）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面解析：4【分析】确定ABC是等腰直角三角形，AC,AC的中点分别是ABC和△ABCD,D的外111111心，由直棱柱性质得PABC的外接球的球心O在DD上，外接球面与平面ABC的交1111线是圆，是以D为圆心，DP为半径的圆，求出PD可得面积．111【详解】ABBC4,AC42，则ABC90，设AC,AC的中点，则1D,D分别是1D,D11分别是ABC和△ABC的外心，由直三棱柱的性质得DD平面ABC，1111所以PABC的外接球的球心O在DD上，如图，141，24(OA)241，则OPOA412ODOA2AD2(22)23，22ODDDODAAOD43522所以，11141252PDOP2OD22，2211PABC的外接球面与平面ABC的交线是圆，是以D为圆心，DP为半径的圆，11111其面积为S24．2故答案为：4．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．14②③④①．【分析】取点为线段的中点可判断建立空间直角坐标系假设存②在点使得利用解出的值即可判断；连接交于点证明线段到平面的距离为定值③④可判断；求出点的坐标然后计算平面和平面的法向量即可判断【详解】对②③④.解析：【分析】取点M为线段BD的中点可判断，建立空间直角坐标系假设存在点M，使得①1BMAE，利用AEBMAEBBBD0解出的值即可判断②；连接1111OAC、BD交于点，证明EO//BD，线段到平面的距离为定值，可判断BDAEC1111③；求出点M的坐标，然后计算平面和平面MAC的法向量，即可判断④.AEC【详解】对于：连接交于点，当点M在点时直线AD与直线相交，故不ACBD①OOCM1①11正确，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，，，，D0,0,0A2,0,0C0,2,0E0,0,1B2,2,0，D0,0,2，1B2,2,2，12,0,1②AE对于：，假设存在点M，使得BMAE，10,1BMBBBD0,0,22,2,22,2,22，，1111AEBM4220，解得，所以当DM2MB时BMAE，所以3111②故正确；③对于：连接、BD交于点，ACO1因为点E是棱DD1EO//BD的中点，此时，故线段11BD到平面AEC的距离为定值，所以四面体EMAC的体积为定值，故③正确；12,0,1AC2,2,0，，设平面442M,,④对于：当DM2MB1时，AE，333mAE2xz0z2x11mx,y,z，由AEC的法向量为令，可得，11mAC2x2y0111111y1，可得nx,y,zm1,1,2，设平面MAC的法向量为，1222nAC2x2y0242MA,,，由242nMAxyz033322222:y0x1可得2解得，令3332z2，所以mn，n1,1,1，因为mn11111202所以平面EAC平面MAC④，故正确；②③④.故答案为：【点睛】方法点证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的睛：判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（客观题常用）；（2）利用性质：（3）面面垂直的（4）向量方//,定义（不常用）；0.法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于15．【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为：【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的10解析：10【分析】AD,BD，证明AD平面BCCB，可得ABD为直线1AB与侧取BC中点D，连接1111111面BCCB所成的角，进而可得答案.11【详解】取BC中点D，连接AD,BD，111直三棱柱中，BB平面ABC，AD平面ABC，11111111BBAD，11又ABAC1，ADBC，1111111又BCBBB，BC,BB面BBCC，111111111AD平面BCCB，111AB在平面BCCB上的射影为DB，111故ABD为直线AB与侧面BCCB所成的角，1111ABAB2BB11125，RtABB中，222111112BC122，2RtBAC中，AD11112112RtABD中，AD210，1AB510sinABD11110故答案为：.10【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面.的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可16．【分析】过作垂足为连接则为二面角的平面角即在中利用余弦定理结合为整数求出的值进而可得外接球直径【详解】如图过作垂足为连接则为二面角的平面角即不妨设因为所以所以所以在中因为为整数所以则设以为长宽高的长解析：6【分析】过A作AHOB，垂足为H，连接CH，则AHC为二面角AOBC的平面角，即AHCmnmnAHC，在中，利用余弦定理结合，为整数，求出，的值，进而可得外接球直径．【详解】A作AHOB，垂足为H，如图，过连接CH，则AHC为二面角AOBC的平面角，即AHC．CHaAHOH，2aAOB45，所以不妨设，因为OC所以HB(21)a，BCHB2HC2(422)a2AC2．所以2HA2HC2AC2HAHCa2a2(422)a221mn，2a2在AHC中，cos2n2|m|1|n|2|mn|1．m1，，则，，mn因为，为整数，所以|m||mn|设以，、宽、高的长方体的外接球半径为|n|，为长R，则(2)||||||6Rmnmn，所求外接球的直径为6．2222故答案为：6【点睛】关键点点睛：本题考查二面角的应用，考查几何体的外接球，考查解三角形，解决本题的关键点是利用定已知条件求出义法找出二面角的平面角，在AHC中，利用余弦定理结合mn，的值，考查学生空间想象能力，考查计算能力，属于中档题．17．【分析】首先把三视图转换为直观图进一步求出几何体的外接球的半径最后求出球的表面积【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形高为的2三棱锥体如图所示设底面外接:H圆的半径为t圆心为则解得41解析：4【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出球的表面积.【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的三棱锥体．如图所示:51(2)tt，解设底面外接圆的半径为t,圆心为H，则t2得，224设外接球的半径r，球心为O，则OH底面，且OH1，5414则r()21244141.4所以S4()1641故答案为：4【点睛】关键点点睛：球心与底面外接圆圆心连线垂直底面，且OH等于棱锥高的一半，利用勾股定理求出球的半径，由面积公式计算即可.184．【分析】取中点连接再根据题意依次计算进而得球的球心即为（与重合）【详解】解：因为所以又因为所以所以因为平面平面平面平面平面所以平面取中点连接所以所以平面所以此时所以即球的球心球心即为（与重合）半径4解析：【分析】取AB,AC中点D,E，连接DE，DP，再根据题意依次计算EAEBECEP4，进而得球O的球心O即为E（O与E重合）【详解】解：因为BC42，AC8，ABBC，所以AB42，又因为PAPB4，PAPB2AB2，所以PAPB，所以2因为平面PAB平面ABC，平面平面ABCAB，ABBC，BC平面PABABC，所以BC⊥平面PAB，取AB,AC中点D,E，连接DEDP，，DE//BCDE22DP22所以，所以平面PAB，所以DEPD，DE1此时，EBACEAEC4，EPDP2DE24，2EAEBECEP4，所以半径为EA4.即球O的球心球心O即为E（O与E重合），.故答案为：4【点睛】在本题中，△PAB,△ABC均为本题解题的关键在于寻找球心，直角三角形，故易得AC中点即为球心.考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.∠ACB19．【分析】由题意可得AB的轨迹得到当ACBC与轴l共面时取到最大值和最小值求得sin∠ACB积公式得答案【详解】∵ACBC的范围代入三角形面α|AC|＝2|BC|2成的角分别为且＝则A与平面所解析：[3,3]【分析】∠ACB的轨迹，得到当AC、BC与轴l共面由题意可得A，B时，取到最大值和最小值，求得sin∠ACB【详解】的范围，代入三角形面积公式得答案．5∵ACBCα，与平面所成的角分别为|AC|2|BC|2，，且＝3，＝，124AB则，分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，ACBCl∠ACB当直线，与轴在同一平面内时，取到最大值和最小值，3于是，有ACB，6∴sin∠sinACBsin1，即23，sin∠ACB6321而ABC的面积＝|AC||BC|sin∠ACB＝23sin∠ACB．S2∴3S3．故答案为：[3,3]【点睛】AB解题的关键.关键点睛：根据题意得到，的轨迹，利用几何直观和空间想象进行分析是20．【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查立体几何解析：26【分析】求APPB最小值.首先将二面角展平，根据两点距离线段最短，【详解】将二面角沿棱a展成平角，连结AB，根据两如图，点之间线段最短，可知AB就是APPB的最小值，CFa,BFa可知三点共线，C,F,BAE,EF以为邻边，作矩形AEFC，由21232则ABAC2BC226.故答案为：26【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的折线段和的最小值，一般都是沿交线展成平面，利用折.线段中，两点间距离最短求解，本题与二面角的大小无关三、解答题2．（）证明见解析；（）．21123【分析】1OM//PB，从而得证线面平行；（）连接BD交于点，由中位线定理得ACOPACD的体积后可得．，求出三棱锥2（）由M是PD中点，得VMACD1V2PACD【详解】1ACOO（）如图，连接BD交于点，连接OM，则是BD中点，又M是PD中点，∴OM//PB，又平面ACM，OM平面ACM，PB所以PB//平面ACM；2（）由已知S12222，VPACD1SPA1224，△ACD333ACD12VPACD2又M是PD中点，所以VMACD，3VPACDVMACD2．3所以VPACM【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论．37Ⅱ见解析；（）．1422Ⅰ．（）证明【分析】QBAM，再由勾股定理证设DBAMO，证明所以AM平面QOB，得Ⅰ（）明QBBO，后可得证线面垂直；BPQOPAQM于，证明BMP即是BM与平面所成的Ⅱ（）作角．在直角三角形中计算可得．【详解】解：因为BC3,CD6,C60，所以由余弦定理得Ⅰ（），从而BD2BC2CD2，所以DBBC，BD3262236cos6033四边形，所以DBAM，由已知得ABMC，所以ABCM为平行得AMQO,AMBO，又设DBAMO，则QOBOO，QO,BOQBAM，折后可QOBQBQOB平面，所以AM平面，平面，所以BQOQBBO，因为QO23,OB3,QB3，即QB2BO2QO2，所以因为AMBOO，AM,BO平面ABCM，所以QB平面ABCM；BPQOP于，则由AM平面QOB，得AQMAQMAMBP，Ⅱ（）在平面BOQ内作又QOAMO，QO,AM平面，所以BP平面，射影，所以BMP即是AQM连MP，则MP是BM在平面上的AQM与平面所成BM的角．QBOB333QO因为BPBC2CM22BCCMcos607，，BM232BP37BM14所以sinBMP．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．．BF1，证明见解析；（2）25；（）52313,．（）BA314211【分析】DNDM，连接MN,AN，可（1）延长交于M，在上取点，使得AECDCDN1111BF1BF11证得AM//AN，从而可得CF//AN，由此可得1BA3，再由BA3证明线面平1111111行即得；（2）用等体积法可求得点A到平面BDF的距离；PQBDFQFQP是二面角于E，连接，（3）作FPAB，垂足为，作PBFx，(0x2)，求出平面角的正切值可得范围，从而FBDA的平面角，设1得角的范围．【详解】BF1（1）BA3时，平面AE//BCF，证明如下：1111延长AE交CD于M.因为AD平面ABBA，所以DBA是直线BD与平面ABBA所成的角，即111123．3DBA30，所以ADABtan302由AEBD，所以DAE30，DMADtan30，32在CD上取点N，使得DN，连接MN,AN，11113BF1243∵，则BF，AFCN，又AF//CN，∴AFCN是平行四边1BA31131111111AN//FC1形，，1DNDM,DN//DM，DNMD是平行四边形，111∴MN//DD//AA,MNDDAAAAMN1，∴是平行四边形，∴AM//AN11111∴AM//CF1，又AM平面BCF，CF平面BCF，∴AM//平面BCF，即1111AE//平面BCF．1123223，V1132323，2（）S△ABD233FABD3943，DF30，∵BF2FD2BD2，3由长方体性质可得BF2，BD3∴BFDF，123015，设A到平面BDF的距离为h，则由V3∴SVFABDABDF△BDF23得115h23，∴h25．3395PQBDQ于，连接FQ，则FP平面ABCD，作FPAB，垂足为，作3（）PBD平面ABCD，∴FPBD，同理FPPQ，∵FPPQP，FP,PQ平面FPQ，∴BD平面FPQ，而FQ平面FPQ，∴BDFQ，∴FQP是二面角FBDA的平面角，设BFx，(0x2)，则由BBFP是矩形得BPx，FPBB1，111则PQBPsin301x，2∴FPQ,．42FP2(1,)，FQP是锐角，PQx∴tanFQP．∴二面角FBDA的范围是,42【点睛】方法点睛：本题考查线面平行的性质与判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查二面角．求点到平面的距离的方法有三种：一是根据定义作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长即得，二是等体积法，三是空间向量法．用定义法求二面角注意三个步骤：一是作出二面角的平面角，二是证明作出的角是二面角的平面角，三是计算．241．（）2证明见解析；（）PC的中点，证明见解析.点F为【分析】（）1连接DE,PE，可证明四边形DGBE是平行四边形，得出BG//DE，利用线面平行的判断定理即可证明；F为的中点时，平面DEF平面，再利用面面垂直的性质定理PCABCD2（）猜想点证明PG平面ABCD，OF//PG，可得平面OFABCD，利用面面垂直的判定定理.即可证明【详解】1DE,PE（）连接，因为G为AD的中点，E为BC的中点，11所以DGDA，BEBC，22因为底面ABCD是菱形，所以AD∥BC，DGBE所以，所以行四边形，四边形DGBE是平所以BG//DE，又因为BG平面PDE，DE平面PDE，BG//平面PDE，所以F为的中点时，平面DEF平面，2PCABCD（）点G侧面PAD为正三角形，为AD的中点，如下：因为证明所以PGAD，因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PGAD，PG平面PAD，ABCD所以PG平面，连接CG交DE于点O，则点O是的中点，CG所以OF//PG，ABCD所以OF平面，又因为平面DEF，OF所以平面DEF平面ABCD.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法1（）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（客观题常用）；2//,（）利用性质：3（）面面垂直的定义（不常用）；4.（）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于06．（）证明见解析；（）．25124【分析】ABAC可得AB1ABAC，再由（）由面面垂直以及平面AAC，进而