交通大学概率论与数理统计第二学期期末考试试卷5答案

2014-2015学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page1of8交通大学2014~2015学年第二学期概率论与数理统计期末考试一试卷（A卷）一．（此题满分8分）一间宿舍住有6位同学，求这6位同学中起码有2位同学的诞辰在同一月份的概率．解：设A“6位同学的诞辰起码有两位在同一月份”，则A“6位同学的诞辰都在不一样的月份”，所以P1261665280．PA1PA160.7771990741122985984二．（此题满分8分）查收一批共有60件的产品．依据查收规则，随机抽取3件，只需3件中有一件是不合格品，就拒收整批产品．设查收时不合格品被误判为合格品的概率为0.03；而合格品被误判为不合格品的概率为0.01．如果这60件产品中有3件为不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？解：设：A这批产品被接收Bi抽取的3件产品中有i件是不合格品i0，1，2，3则由全概率公式，得3PAPBiPABii0C30C5733C31C5723C32C5712C33C5703C60310.01C6030.0310.01C6030.0310.01C6030.030.8338三．（此题满分8分）甲、乙两艘轮船驶向一个不可以同时停靠两艘轮船的码头，它们在一日夜内抵达的时间是等可能的．如果甲船的停靠时间是3小时，乙船的停靠时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等待码头空出的概率是多少？第1页共8页2014-2015学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page2of8解：设甲船于X时抵达码头，乙船于Y时抵达码头．则0X24,0Y24．并且X与Y互相独立．甲、乙两船的抵达时刻x,y与平面中地区Dx,y：0x24,0y24中的点一一对应．设A“甲乙两船中任何一艘都不需要等待码头空出．”则随机事件A发生当且仅当YX3或许XY2．所以随机事件A与平面地区DAx,y：yx3,或许yx2中的点一一对应．所以，D的面积1212222PA22420.802951388．DA的面积四．（此题满分8分）设随机变量X听从区间a,b上的平均散布，并且EX3，DX4，试求常数a与b．3解：因为随机变量X听从区间a,b上的平均散布，所以EXab，DXba2．212由题设条件EX3，DX4，得方程组3ab322，解此方程组，得a1，b5．ba4123五．（此题满分8分）设随机变量X的密度函数为x2fxx2e220

x0，x0第2页共8页2014-2015学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page3of8此中0为常数，求EXn，（n为正整数）（结果用函数表示）．解：xx21x2EXnnfxdxxne22xn12x2dx2e2dx．00x2222xdxx作变量替代u22，则x2u，x2u，du222dx．当x0时，u0；当x时，u．代入上式，得EXnn2u2eudu0nnnn11n222u2eudu222u2eudu22200

n．12六．（此题满分9分）设二维随机变量X,Y的结合密度函数为fx,ycx2y0yx1，0其余⑴求常数c（3分）；⑴求随机变量X的边沿密度函数fXx（4分）；⑶求随机变量Y对于X条件密度函数fYXyx（2分）．解：⑴由结合密度函数的性质，有fx,ydxdy1，所以1fx,ydxdy1dxxcx2ydyc1x4dxc，002010所以，c10．⑵当0x1时，xfXxfx,ydy10x2ydy5x40所以随机变量X的边沿密度函数为fXx5x40x1．0其余第3页共8页2014-2015学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page4of8⑶当0x1时，fXx5x40，所以当0x1时，fYXfx,y2y0yxx2yxfXx0其余七．（此题满分9分）设二维随机变量X，Y听从矩形Dx,y：0x2，0y1上的平均散布．记：U0XYV0X2Y1XY1X2Y试求U与V的有关系数U,V；（7分）并判断U与V能否互相独立？（2分）解：由题意可得PXY1，PX2Y1，PYX2Y1，424所以，PU0，V0PXY，X2YPXY1，4PU0，V1PXY，X2YP0，PU1，V0PXY，X2YPYXY1，4PU1，V11111，442U，V的结合散布律及各自的边沿散布律为VU01pi00.2500.2510.250.50.75pj0.50.5所以，EU3，DU3，EV1，DV1．41624第4页共8页2014-2015学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page5of8又EUV1，21311所以，covU，VEUVEUEV4282covU，V118U,VDUDV313164因为0，所以U与V有关，进而U与V不独立．八．（此题满分8分）设随机变量X与Y互相独立，分别听从参数为1与2的Poisson散布．试求随机变量ZXY的散布律；解：kX的散布律为PXk1e1k0，1，2，k!kY的散布律为PYk2e2k0，1，2，k!所以，ZXY的取值为0，1，2，，并且nPZnPXYnPXk，Ynkk0nPXkPYnkk0nknk1e12k!e2k0k!ne12nn!knkn!k0k!nk!12n12e12n!即ZXY的散布律为nPZn12e12n0，1，2，n!第5页共8页2014-2015学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page6of8九．（此题满分8分）一报刊亭销售4种报纸，它们的价钱分别为0.6,1.0,1.5,1.8（元），并且每份报纸售出的概率分别为0.25,0.3,0.35,0.1．若某天售出报纸400份，试用中心极限制理计算该天收入起码450元的概率．标准正态散布N0,1的散布函数x的值：x1.381.411.441.471.501.53x0.91620.92070.92510.92920.93320.9370解：设Xk：该天售出第k份报纸的收入．k1,2,.400则Xk的散布律为Xk0.61.01.51.8P0.250.30.350.1EXk0.60.251.00.31.50.351.80.11.155，EXk20.620.251.020.31.520.351.820.11.5015，所以，DXkEXk221.50151.15520.167475EXk400令X表示该天的总收入，则有XXk．k1由独立同散布场合下的大数定律，有400400Xk4001.155PX450PXk450Pk14000.1674754504001.155k14000.167475400Xk4001.1551Pk11.46611.4660.9292．4000.167475十．（此题满分9分）设整体X存在二阶矩，记EX，DX2．X1,X2,,Xn是取自该整体的一个样第6页共8页2014-2015学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page7of8本，S2是样本方差．计算ES2．解：ES2E1nXiX1E2n1i1n1

n2XiXi1En1

n2XiXi11n21EXini11n21EXini11n2EXin1i11n2EXin1i1

X2Xi2XnnX2Xi2Xi12nX2nEX1n22EXiEXinEXEXn1i11nDXinDXn1i11n2n21n222nn1i1n1十一．（此题满分8分）设整体X的密度函数为fx;cx1，xc．此中c0是已知参数，而1是未知参数．X1,X2,,Xn是从该整体中抽取的一个样本，求未知参数的矩预计量．解：EXxfxdxxcx1dxcxdxc1c1c，cc11第7页共8页2014-2015学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page8of8解方程EXc，得EX．1EXc将EX用样本均值X替代，得参数的矩预计量为?X．Xc十二．（此题满分9分）1x0，X1,X2,设整体X听从指数散布，其概率密度函数为fxex,Xn是取自0x0该整体中的一个样本．⑴求出统计量X1minXi的密度函数f1x，并指出该散布是什么散布？（51in分）⑵求常数a，使得TaminXi为的无偏预计（4分）．1in解：x①因为整体X的密度函数为fx1ex0，所以其散布函数为0x0x0x0xFxftdt．ex01所以X1m