【数学建模】国家财政收入的影响因素的评价及预期收入的预测

/国家财政收入的影响因素的评价及预期收入的预测【摘要】国家的财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。首先，我们根据所给数据,对数据进行描述性分析.之后,我们对数据进行了回归分析,构造了预测模型，并获得了模型的回归系数估计值及其置信区间。然后，考虑到每个回归系数置信区间包含零点与否的情况,我们对模型进行了改进，并得到了其交互式画面。考虑到数据的时间序列属性，我们对模型进行了自相关性诊断，作出残差散点图，初步判定其大部分点落在1，３象限,随机误差表现出正自相关趋势。但在之后的D-W检验中，我们计算出了ＤW值,自相关系数估计值，依照样本容量和回归变量数目，查阅了D－W分布表,得到检验的临界值dL和dU。在分析DW所在区间时,我们发现模型的自相关状态不能确定。之后，我们代入所给数据19５２年—１９80年的各项经济指标，得出的预测值与实际值相当吻合.最后,我们根据网络上查到的数据，利用该模型对１９90年和２00０年的财政收入作出预测,并对结果进行了分析。关键词：MATLAＢ财政收入回归模型自相关性诊断自相关系数D—W检验ﻬ问题重述国家的财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关，根据所给数据，对数据进行分析，构造预测模型，并利用该模型对19９0年和20０0年的财政收入作出预测。问题假设财政收入只与问题重述中提到的6个因素有关；所给数据真实准确,无录入错误。三、符号说明y：财政收入;x1：国民收入;x2:工业总产值;x3：农业总产值；x4：总人口；x5：就业人口；ｘ6：固定资产投资；β0,β１，β2,β3，β４,β5，β６:回归系数；ε:随机误差。四、问题分析、模型的建立与求解1.问题的分析首先对数据作初步分析。分别作出财政收入与6个因素的散点图，并用Ｅxcel自带的回归分析求出了各自自变量对y的Ｒ2(决定系数，越接近1则拟合程度越好)：图１ｘ1-ｙ散点图图２x2-y散点图图3x3-y散点图图４x4-ｙ散点图图5x5-y散点图由该图可以明显看出，最右边有一个异常点:1981年就业人口攀升为7３２8０，较之前有大幅度增长，但财政收入明显地低于预测值,为使个别数据不致影响整个模型,我们将该异常数据去掉.去掉后的x5—y散点图如下：图６去掉异常点后的x5—y散点图图7x6-y散点图２．模型的建立从以上的散点图及y对x1～x6初步的回归分析，我们再引入一个常量回归系数β0,作出了初步的模型:（1）3.模型的求解首先我们剔除掉因为１981年就业人口对财政收入影响异常的特殊点（见图6)，之后利用ＭＡTLAB统计工具箱中命令rｅｇresｓ求解,得到模型（1）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平α=0．0５)、检验统计量R2,F,p的结果见表１.参数参数估计值参数置信区间β0-１5．5344-3６6．58１6335．5127β１0．510０0．２3010．７８９８β２-0。0259-０．076９0.０２5１β3—0.5905-０。99０1－0．１９08β40．0１13-０.0０２80。0254β５-0。０230-0．049２0.0032β60.34１9－０.0３87０．72２5R2=０.9840，F=２２５。8953,p=０。００00表１模型（1)的计算结果表1显示,Ｒ2=0．９840指因变量y（财政收入）的98。40%可由模型确定,F值远远超过F检验的临界值，ｐ＝0远小于α,因而模型(1）从整体来看是可用的。表1的回归系数给出了模型（1)中β0，β1,β2,β3，β4,β5,β6的估计值，即，，，,，，.检查它们的置信区间发现,β０，β2，β４，β5，β６的置信区间包含零点.常数项的置信区间相当地大，故可以剔掉。4。模型的改进由以上的分析，我们剔掉了常数项β0。得到模型(２)：（2)再次检验相关参数:参数参数估计值参数置信区间β1０．51460．２6090。７６83β2-0．025０—0。０703０.0204β3—0．5９58－0。967５-0。22４1β４０。０１0８０．0027０。018８β5-０。022３-0。0４28—0．0018β60．3320０。03170。6３23R2=０.98４0，F＝28３.1784，ｐ=0。0０00表2模型（2)的计算结果现在可以看到，只有β２一项的置信区间包含零点。我们加入了ｘ2２,ｌoｇ（ｘ２）2,x1＊x２,x2＊x５等项,包含零点的置信区间不降反升，且目前R２=98.４0％，目前的模型从整体上来看是可用的.将参数估计值代入模型（2）得到：（３）使用rｓtｏoｌ命令得到交互式画面（图8）:图8交互式画面5.结果分析从表面上看，模型（2）的拟合度已经达到了R2＝0。9840，但这个模型并没有考虑到我们的数据是一个时间序列.很明显随机误差ε会出现(自）相关性。残差可以作为随机误差的估计值，画出eｔ～et－１的散点图(图９）能够从直观上判断ε的自相关性。残差数据见表３。年份195219５３195４１9551956195７1958残差-12．73321。47９3-5．７０２6６.２４５５-２1。6053３．0334１1。４851年份１960196119６2１96３1９641965１966残差－3７.475２-1.1５97－１６。64４2-７。478717。2２３532。1561５．043年份19671９6８19691970197119７2197３残差32.9９0８-２2．６９１８—4１．15２55。4１421５。77142８。７1231０．6０54年份19７4197５19761977197819791980残差5．50２4—24.5６28—36．99４3—１4.23231。0９5１86.331９１.887６表3模型(3)的残差图9模型(3）et～et－1的散点图从图９可以看出,大部分点落在第1,３象限,表明ε存在正得自相关。为了对ε的自相关性作定量诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑如下的模型:，（4)利用表3给出的残差,根据DW检验公式计算得出DW=１.6082．根据公式计算得出．要根据DW的具体数值确定εt是否存在自相关,应该在给定的检验水平下，一招样本容量和回归变量数目，查Ｄ-Ｗ分布表［2]，得到检验的临界值dL和ｄＵ,然后由DＷ所在的区间来决定。对于显著性水平α=0。05,ｎ=29，k=6，查D—W分布表,得到检验的临界值dL=0.9８，和ｄU=1.94。正自相关正自相关0dL=0.98dU=1.9424-dL4-dU4无自相关负自相关不能确定不能确定DW=1.6082图10与DＷ值对应的自相关状态现在DW＞dL，由图10中ＤW所在区间，我们可以看到DＷ落在不能确定的区间.如前文所述,模型（2)经过了增加二次项，对数项的努力,依然存在置信区间包含零点的情况，我们分析原因可能是在1959—1962年，19６6-19７６年的重大历史事件对几项因素，以及财政收入产生了特殊的影响,使数据的规律性降低，变得难以预测。但若是剔除这些年份,数据量将显得过少,以及发生年代断代。下面，我们将使用模型（3）对之前数据进行评价:年份19521953１9５４19551956１9５７1９5８实际值184２1６248２54268286357预测值１９7。49９195.303254．50824８．576２90。4462８3.8303４6。393年份1９5９19６0１96119621９6319６４1９6５实际值4４45０6271230２66323３93预测值482。3７１５08．040288．511２38。３65249．６８82９１．７７5３78．９18年份1９66１９６7１96８1９６919701971１9７2实际值466３523０３4４7５６４6386５8预测值43３．99８375．70２３4５。18８442.６４95４9．3２5610．４13648。5４6年份1973１974197519761９771978197９实际值６9１655692657723922890预测值６８6．6776８０.7６５7３0。21567２.4677２3。153836。9３7889.４0０年份１98０实际值826预测值８８0．37３表4财政收入的预测值与实际值对比可以看到，预测值与实际值还是相当吻合的。之后，我们查阅了1９90年及２000年的国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资，代入模型(2）。结果如下:年份国民收入工业总产值农业总产值总人口就业人口固定资产投资1990１１4１2.9６２２４52．2751４61129５463９31.94５172000９80０0.５７571０.691３873.6126７４3721１6.7７３2917.7年份财政收入（预测值)财政收入（实际值)1９9035３9。6828２１．８6200０5０961.71339５。23表51９90年和20００年财政收入预测值与实际值对比［3］数据来源自《CNKI中国统计年鉴数据库》从表5可以看到,1990年预测值与实际值相差大概25。4%,而２0０0年的预测值则偏差较大.在查阅数据时,我们就发现了2０00年的工业总产值数据注明了“1990年不变价格”，而其余数据没有此说明项。并且，在固定资产投资一栏，我们查到了非常详细的分类，固定资产投资资金来源中国家预算内资金，固定资产投资资金来源中国内贷款，固定资产投资资金来源中自筹和其他资金等备注,而题目并未给出,这给我们筛选数据带来了极大的困难。总的来说,几十年来，统计方法或许都有变化,并且人民币的币值也发生了极大的变化(这是可以来源于直观的生活经验的）,模型对19９0年和2００0年预测值与实际值的匹配程度有限，但对于1９52—19８0年的经济数据来说,依然有一定的参考价值。五、模型的评价优点模型的决定系数Ｒ2=0。９8４0较高，且都是一次项,计算简便。缺点自相关性未能判定，对１９81年之后的数据预测值逐渐产生偏差。六、模型的推广与改进从前文的分析来看，我们认为１981年后，物价、通货膨胀、人民币币值等因素极大地影响了我们的预测数据,若补充上物价衡量指数,消费水平指数（CPI)等数据，模型的拟合度应该会更高。七、附件模型(1）的ＭATLAＢ程序：ｃｌeaｒ，ｃlc％清屏ｘ1=[59８，586，707，7３7，82５，８37，1028，１114，1079，75７，677,779，９43，11５2，１322,12４9,118７,13７2，1638,１7８０,18３３，1978，19９３,212１，2052,2189，2475，２７０2，27９1］＇;ｘ2=［３49，４５5,520，55８，715，798，１２3５，1６81,18７0，１156,964，１046，12５0,１5８1，1911,1647，1５６5，2101，2747,３156，33６５，36８４，369６,42５４，４309，4９25,５590,6065,６5９2］’;x3=[46１，４75,４9１,5２9，５56，5７５，５98，509,444，４３4,４61，5１4,5８4，63２,６8７,697,６８０，688,７67,790，７89，８55，891,9３2,9５5，９71,１058,1150，1194］’；x４＝[57482，587９6，6026６,6146５，6282８,64653，６59９4，67207，６６２07，６５859，6７295,６9172,7０4９9,725３8，7４542,763６8,７85３4,８０6７1,82９９2，8５２2９,87177,89211，9０8５９，９24２1，９3７17，949７4,96259，975４2,9８７05］';ｘ５＝[２07２9，2136４，218３2,2２3２8,23018,２3711,266０0,261７3，２58８0，2５590,251１0，2６640，277３６,28６７0，29８0５，30814,31915，332２５，34432，3562０，35８5４,3665２，3７3６９，38168,388３４，39377，39８56,40５8１,41896]’；x6＝［4４，8９，97，９8,1５0，139，25６,3３8,３80，138,６6,85，129，175，2１2，156,127，20７，312，355,３5４，37４，393，46２，44３,454,５50,56４,568］'；％录入x1～x6的数据矩阵并转置Y＝［184，2１6，248，２５4，268，286，3５7，4４4，506,271,２３０,2６6,323,393，４66，352,303,447,564,638,658，６９1，655，６92，657，723，9２2，8９０，826］＇;％财政收入X=[ｏneｓ（29,1)，ｘ１，x2,x3，x4,x5,x６]；%带常数项的X矩阵[ｂ,binｔ，r，ｒinｔ,stａtｓ]=reｇresｓ（Y，X）%回归分析模型（2)的MATLＡB程序：cleａr，clc%清屏x１＝[598，５８6,707，737，８2５,837,1028,1114,1079,757，６77，779，943，1152,１32２，１２4９，1187，１372,163８,1780,1833，1９７8,199３，2１２1,２052,218９,2４75,２7０2,279１]’；x2＝［349，455，５２０,55８,715，７9８,123５,1681,１8７0,1１56,964,104６，1250，１5８1,1911，１64７，1５65，21０1，2747，３1５６，３３65,368４，３696,４2５4,4309，4９25，559０，6０6５，6５92]'；x3=［４61，475，491，529，556，575,５98,５09,４44,434,４６１,5１4，５84，６3２，６8７，697，68０,688,767，79０,７89，855，８９1,9３２，955,9７1,1058，1１5０，１19４］'；x4=［57482，587９6,60266,61465,6２828,64653，65994，67207，6620７，65859，6729５，69172，70499，72５38，745４2，76368，78534，8０６71,８2９92，8５22９，8717７,８9211,90859,９２４21,93７17,９4９7４，9625９,97542，9８7０5]＇；x5=［20729，2１３64，２1832,22328，２３018,23711,２6600，2６173，25８８0，2５５９0