高中数学全国高等学校招生统一考试模拟试卷含答案解析

高中数学全国高等学校招生统一考试模拟试卷数学考试考试时间：120

分钟

总分值：150

分第一卷

客观题第一卷的注释一、单项选择题集合 ， ，那么B. C.D.〔〕2. ， ，那么〔 〕A. B. C.D.3.函数 的局部图象大致为〔 〕A.B.C.D.4.当复数时，实数

的值可以为〔

〕A.

0B.

1C.

-1D.

±15.如图，在半径为

2

的扇形

中，是线段 ， 上的动点，那么， 是弧上的一个三等分点，分别的最大值为〔

〕

学校:

姓名:

班级:

考号:

…

…

○

…

…

…

…

外

…

…

…

…

○

…

…

…

…

装

…

…

…

…

○

…

…

…

…

订

…

…

…

…

○

…

…

…

…

线

…

…

…

…

○

…

…

…

…A. B.

2 C.

4 D.6.在矩形ABCD

中，AB=2BC=2，点

P

在CD

边上运动(如图甲)，现以

AP

为折痕将折起，使得点D

在平面

ABCP

内的射影 恰好落在

AB

边上(如图乙)．设 二面角

D-AP-B

的余弦值为 ，那么函数 的图象大致是〔 〕A.B.C.D.7.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一局部,光源在抛物线的焦点处,假设灯口直径是 ,灯深 ,那么光源到反光镜顶点的距离是( )A. B. C. D.8.自

2021

年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将 房产中介公司

2021-2021

年

4

月份的售房情况统计如下列图，根据

2021-2021

年，2021-2021

年，2021-2021

年的数据分别建立回归直线方程、 、 ，那么〔 〕A.，B.，C.，D.，二、多项选择题9.太极图被称为“中华第一图〞，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O

的周长和面积同时等分成两个局部的函数称为圆O

的一个“太极函数〞，设圆O：

，那么以下说法中正确的选项是(

)函数 是圆

O

的一个太极函数圆

O

的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C.

函数D.

函数10.设是圆

O

的一个太极函数的图象关于原点对称是为圆O

的太极函数的充要条件是无穷数列，假设存在正整数

k，使得对任意

，均有，那么称是间隔递增数列，k

是 的间隔数，以下说法正确的选项是〔 〕公比大于

1

的等比数列一定是间隔递增数列，那么 是间隔递增数列，那么 是间隔递增数列且最小间隔数是

2D. ，假设 是间隔递增数列且最小间隔数是

3，那么11.如图，在直三棱柱 中， ，AC， ，AB

的中点．那么以下结论正确的选项是〔 〕，D，E，F

分别为A.与

EF

相交B.平面

DEF所成的角为C.EF

与12. ，D.点 到平面DEF

的距离为，假设 存在唯一零点，以下说法正确，的有〔 〕在 上递增图象关于点中心对称C.

任取不相等的实数，均有D.三、填空题雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天.完工后，新华社记者要对局部参与人员采访.决定从

300

名机械车操控人员，160

名管理人员和

240

名工人中按照分层抽样的方法抽取

35

人，那么从工人中抽取的人数为

；的展开式中的常数项为

60，那么

.15.函数的局部图像，如下列图，假设，那么

的值为

.16.圆

：，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心 ，那么入射光线的斜率为

.第二卷

主观题第二卷的注释四、解答题17.设 的内角

A，B，C

所对的边长分别为a，b，c

且〔1〕求 ；〔2〕当 取最小值时，求 的面积.，.18.数列 的前

n

项和为 ，各项均为正数的等比数列的前n

项和为，

▲ ，.；②且在①解答.〔1〕求数列；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行和 的通项公式；〔2〕设数列

的前n

项和为

，求证：

.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.19.如图，在四棱锥

中，是等腰梯形平面分别是，四边形的中点.〔1〕证明：平面〔2〕假设二面角平面；的大小为

60°，求四棱锥的体积.20.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加时机，通过随机抽样，得到参加问卷调查的

1000

人的得分〔总分值：100

分〕数据，统计结果如下表所示．组别频数2515020025022510050〔1〕此次问卷调查的得分 服从正态分布 ， 近似为这

1000

人得分的平均值〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕，请利用正态分布的知识求 ；〔2〕在〔1〕的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.〔ⅰ〕得分不低于 的可以获赠 次随机话费，得分低于 的可以获赠 次随机话费；〔ⅱ〕每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠送的随机话费/元2040概率现市民甲要参加此次问卷调查，记望．附： ，假设为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期，那么，，.21.椭圆的离心率，为椭圆上一点.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕

为椭圆

的右焦点，过点

的直线

交椭圆(异于椭圆顶点)于

、

两点，试判断是否为定值？假设是，求出该定值；假设不是，说明理由.22.函数〔1〕讨论〔2〕函数，的单调性；的极大值为

1，． 、，①假设②设，设，证明：，判断函数；零点个数，并说明理由.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】因为集合，，所以所以故答案为：B【分析】先求出集合B，然后进行交集的运算即可。2.【解析】【解答】因为，，所以 ，又因为，因为，所以，又因为，所以 且故答案为：B.，所以，所以，【分析】利用对数函数的单调性可得得出结论。3.【解析】【解答】由题意，函数，

再利用对数运算性质化简满足 且 ，解得 且，

即可，排除B；又由，所以函数 为奇函数，排除

D；当 时， ，排除

A.故答案为：C.【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义

f(-x)=f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除D，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项B

和选项

A，由此得到答案。4.【解析】【解答】当 时， ，所以 不满足，A

不正确.当 时， ,所以 ，B

不正确.当 时， , ，满足，C

符合题意.由上可知，D

不正确.故答案为：C【分析】对各个选项逐一进行分析判断，即可得到答案。5.【解析】【解答】解析：

，

是弧

上的一个三等分点，故，，故当 时，故答案为：C。取最大值

4，，的【分析】利用 ， 是弧 上的一个三等分点，故 ，再利用三角形法那么结合数量积的运算法那么，从而利用数量积的定义结合几何法，求出最大值。6.【解析】【解答】当 时，于 ，连结平面 ，作因为所以，是二面角

D-AP-B

的平面角，可以求得，，所以，所以排除

A、B；当 时，于 ，连结平面 ，作因为所以，是二面角

D-AP-B

的平面角，可以求得，，，排除

C,故答案为：D.【分析】分别取

和，计算出二面角D-AP-B

的余弦值为

和

，比照图象得到结果.7.【解析】【解答】设抛物线方程为灯口直径是 ,灯深点 在抛物线,上.光源到反射镜顶点的距离为故答案为：

A.【分析】先设出抛物线的标准方程,把点即可求得答案.代入抛物线方程求得

,即光源到反射镜顶点的距离,8.【解析】【解答】回归直线分布在散点图的附近， 表示回归直线的斜率， 表示回归直线在y

轴上的截距，由图可知，2021-2021

年，y

随x的增加，迅速增加；2021-2021

年，y

随x

的增加，平缓增加，故 ；2021-2021

年，y随x

的增加而减少，故.故答案为：A．；所以

，由图可知【分析】回归直线分布在散点图的附近，由 ，二、多项选择题的几何意义结合图像即可判断。，所以函数9.【解析】【解答】A：因为象关于原点对称，如以下列图所示：是奇函数，它的图所以函数 是圆O

的一个太极函数，故本说法正确；B：如以下列图所示：函数 是偶函数， 也是圆

O

的一个太极函数，故本说法不正确；C：因为 是奇函数，所以它的图象关于原点对称，而圆 也关于原点对称，如以下列图所示：因此函数 是圆

O

的一个太极函数，故本说法是正确的；D：根据

B

的分析，圆

O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确.故答案为：AC【分析】根据题意，结合“太极函数〞的定义，依次分析选项即可得到答案。10.【解析】【解答】A.，因为，所以当时，，故错误；B.，令，t

在单调递增，那么，解得，故正确；C.，当 为奇数时，，存在

成立，综，存在 成立，当

为偶数时，上： 是间隔递增数列且最小间隔数是

2，故正确；D.

假设 是间隔递增数列且最小间隔数是

3，那么， 成立，那么，对于成立，且，对于成立，即所以解得，对于，且，故正确，.成立，且，，对于成立，故答案为：BCD。【分析】利用数列是无穷数列，假设存在正整数k，使得对任意

，均有

，那么称 是间隔递增数列，k

是

的间隔数，从而利用等比数列的定义、数列的单调性、递推关系、分类讨论的方法，从而找出说法正确的选项。11.【解析】【解答】对A，由图知

平面

，

平面

，且由异面直线的定义可知 与

EF

异面，A

不符合题意；对于B，在直三棱柱 中， ．又，F

分别是

AC，AB的中点，，平面

DEF，．平面

DEF，平面 B

符合题意；对于

C，由题意，建立如下列图的空间直角坐标系，那么0，，0，，2， ，0，，2，，0，，0，，0， ，1，．1，，0， ．，，．与 所成的角为，C

符合题意；y， 是平面

DEF的一个法向量．1， ，对于

D，设向量0， ，由，即，得0，，又取 ，那么 ，设点 到平面

DEF

的距离为

d．2， ，，点 到平面

DEF

的距离为故答案为：BCD，D

符合题意．【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断，即可得到答案。12.【解析】【解答】由知在 上递增，A

选项正确；，故图象关于点 中心对称，B

选项正确；由 ，当时，，递增， 图象下凸，此时，C

选项错误﹔对于

D

选项：，注意到在 上有唯一零点等价于，故在的图象关于点无零点，中心对称，而，那么，当时，因为，那么，于是在，满足题意﹔递增，于是当 时，，由连续函数的性质可知，一定存在在 单调递减，于是 时当时，，使得时，那么，而时，，，，，由零点存在性定理，在区间故 ，故答案为：ABD。上一定还存在零点，与矛盾.【分析】利用求导的方法判断出函数中心对称；利用求导的方法判断出函数的单调性，再利用函数的单调性；因为，故 图象关于点的单调性推出；利用，故在的图象关于点

中心对无零点，再利用求导的方法一定还存在零点，与矛，注意到称，而 ，那么 在 上有唯一零点等价于判断出函数

f(x)的单调性，再由零点存在性定理，在区间盾，故 ，从而找出说法正确的选项。上三、填空题13【.

解析】【解答】因为机械车操控人员，管理人员和工人的数量比为：，所以按照分层抽样的方法抽取

35

人，从工人中抽取的人数为：，故答案为：12【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.14.【解析】【解答】的展开式通项公式为：，当时，即当时该项为常数项，因为的展开式中的常数项为

60，所以，故答案为：【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出。15.【解析】【解答】由函数图像可得：故答案为： .，所以.【分析】根据三角函数图像，以及周期公式，得到，即可求出结果.16.【解析】【解答】解：圆如图过 作直线 的对称点 ，设的圆心，，由，，解得，，即连接，，与相交于点，可得光线的入射光线，那么入射光线的斜率为，故答案为：-2．，由两直线垂直的条件的斜率可得所求。【分析】求得圆心C

的坐标，过

C

作直线

的对称点

，设和中点坐标公式，解方程可得 的坐标，再由两点的斜率公式计算四、解答题17.【解析】【分析】〔1〕根据正弦定理可得 ，，进而得出，从而可求出 ， ，然后即可求出〔2〕根据余弦定理即可得出 ，从而得出出 时， 取最小值，进而可求出对应的

的面积。的值；， 从而可得求得 ，再利用所选条件及题设求得等比数列

的18.【解析】【分析】〔1〕先利用首项

与公比

，

即可求得

；〔2〕先由〔1〕求得

，

再利用错位相减法求得，进而证明结论。19.【解析】【分析】〔1〕

连接 ，

可得四边形为平行四边形，那么,

进一步得到，

再由得到面， 由，从而得到平面平面平面，

得；平〔2〕

连接 ，

可得设 ，

分别求出平面，建立空间直角坐标系，的法向量，由二面角的大小列式求得

的值，那么四棱锥与

平面的体积可求。20.【解析】【分析】〔1〕以每组数据的中间值为代表值，以每组数据频率为权加权平均