北京市昌平区高三数学二模试卷含答案解析

高三数学二模试卷一、单项选择题集合 ， ，那么B. C.复数 ，那么 的共轭复数 的虚部为〔 〕〔〕D.或A.2 B.

1 C.

-13.某四棱锥的三视图如下列图，该四棱锥的体积是〔 〕D.

-2A.

24B.

36C.

54D.

1084.双曲线的离心率为，那么其渐近线方程为〔

〕A. B.以下函数中，最小正周期为B.C.D.的奇函数是〔

〕C.D.过原点且倾斜角为

45°的直线被圆B.

3设 ， 为非零向量，那么“所截得的弦长为〔

〕C.D.

8〞是“〞的〔 〕A.充分而不必要条件 B.

必要而不充分条件 C.

充分必要条件 D.

既不充分也不必要条件8.中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原那么.例如?周髀算经?里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长那么是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至.

?周髀算经?中记录某年的冬至的晷影长为13

尺，夏至的晷影长是1.48

尺，按照上述规律，那么?周髀算经?中所记录的立夏的晷影长应为〔 〕A.3.4

尺 B.

4.36

尺 C.5.32

尺9.将函数〔〕的图象向右平移

个单位长度，所得图象经过点，那么

的最小值是〔

〕A.B.

2C.D.， 是 的中点，动点的轨迹所形成区域的面积是〔 〕棱长为

1

的正方体平面 ，那么动点B.二、填空题向量 ，在正方体内部或外表上，且C.

1D.

2，那么

.在 的展开式中， 的系数为

.〔用数字作答〕以下列图是国家统计局发布的

2021

年

2

月至

2021

年

2

月全国居民消费价格涨跌幅折线图；那么给出以下三个结论：①2021

年

11

月居民消费价格低于

2021年同期；②2021

年

3

月至

7

月居民的消费价格持续增长；③2021

年

7

月的消费价格低于

2021

年

3

月的消费价格.其中所有正确结论的序号是

.说明：⒈在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如

2021

年

2

月与

2021

年2

月相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如

2021

年

4

月与

2021

年

3

月相比较.⒉同比增长率= ，环比增长率= .14.在 中， ， ，那么

；

.抛物线 与椭圆 有一个公共焦点 ，那么点 的坐标是

；假设抛物线的准线与椭圆交于

两点，

是坐标原点，且

是直角三角形，那么椭圆 的离心率

.三、解答题数列 的前 项和为 ， ，

从条件①、条件②和条件③中选择两个作为，并完成解答.〔1〕求数列〔2〕设等比数列的通项公式；满足，，求数列的前 项和 .条件①：

；条件②：

；条件③：.17.某大学为了解学生对 两本数学图书的喜好程度，从这两本数学图书都阅读过的生中随机抽取了50

人，分别对这两本图书进行评分反响，总分值为

100

分，得到的相应数据整理如下表：分数A

图书频数2282018B

图书频数210101216学生对图书的“评价指数〞如下表：分数评价指数123两本图书都阅读过的学生中任选

1

人，试估计其对〔1〕从〔2〕从对图书“评价指数〞为

2

的概率；图书“评价指数〞为

1

的学生中任选

3

人进一步访谈，设 为

3

人中评分在内的人数，求随机变量

的分布列及数学期望；〔3〕试估计学生更喜好哪一本图书，并简述理由.18.如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，.〔1〕求证： ；〔2〕求二面角 的大小；〔3〕在线段 上是否存在点 ，使得平面?假设存在，求 的值；假设不存在，说明理由.19.椭圆C： 过点，且离心率为.〔1〕求椭圆C

的标准方程；，当时，求实数

k

的取值范围.在点与椭圆

C

有两个不同的交点.处的切线方程；〔2〕设直线函数〔1〕求曲线〔2〕假设对于有限数列对于任意的 都成立，求实数 的取值范围.， ， ， ，定义：对于任意的；〔2〕对于 ，记，，有〔1〕.对于 ，假设存在非零常数

，使得

，那么称常数

为数列

的

阶

系数.〔1〕设数列 的通项公式为 ，计算 ，并判断

2

是否为数列的

4

阶 系数；〔2〕设数列〔3〕设数列值.的通项公式为

，且数列

的

阶为等差数列，满足-1，2

均为数列

的

阶

系数，且系数为

3，求 的值；，求 的最大答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】因为所以故答案为：B.，所以。或，所以或，【分析】利用条件结合一元二次不等式求解集的方法求出集合

B，再利用交集的运算法那么，从而求出集合

A

和集合

B

的交集。【解析】【解答】由题设，

，即

，其虚部为-1。故答案为：C【分析】利用条件结合复数乘法运算法那么，从而求出复数

z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z

的共轭复数，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数 的共轭复数 的虚部。【解析】【解答】由三视图可复原几何体如以下列图所示：其中四边形为边长为

6

的正方形，四棱锥的高，∴四棱锥的体积。故答案为：B.【分析】由三视图可复原几何体为四棱锥，其中四边形为边长为

6

的正方形，四棱锥的高，再利用四棱锥的体积公式，从而求出该四棱锥的体积。4.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以其渐近线方程为 。故答案为：A【分析】利用条件结合双曲线的离心率公式，再结合双曲线中

a,b,c

三者的关系式，从而求出

的值，再利用双曲线的渐近线方程求解方法，从而求出双曲线的渐近线方程。的最小正周期为5.【解析】【解答】A．B．记 ，所以C．，不符合；，且定义域为

，所以为偶函数，不符合；，显然为偶函数，不符合；最小正周期为

，且为奇函数，符合，D．故答案为：D.【分析】利用条件结合正弦型函数和余弦型函数的最小正周期公式，再利用奇函数的定义，从而找出最小正周期为 的奇函数的函数。6.【解析】【解答】由题意得：直线的斜率 ，且直线过原点，所以直线的方程为 ，圆的方程化为：，即圆心为〔0,2〕，半径，所以圆心〔0,2〕到直线的距离，所以直线被圆所截得弦长为故答案为：A。【分析】利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程，再将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径长，再利用直线与圆相交的位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，从而求出圆心〔0,2〕到直线 的距离，再利用弦长公式，从而求出过原点且倾斜角为

45°的直线被圆 所截得的弦长。7.【解析】【解答】 ， 为非零向量，“ 〞展开为：∴“ 〞是“故答案为：C.〞的充要条件.【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“〞是“〞的充要条件。8【.

解析】【解答】设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列所以公差为 ，那么立夏的晷影长应为的前

13

项，那么(尺)。故答案为：B【分析】利用条件设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列的前

13

项，那么，

再利用等差数列的通项公式，从而求出公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出立夏的晷影长。9.【解析】【解答】将 向右平移 个单位长度可得 ，因为过点，所以，解得 ，又因为故答案为：B，所以的最小值是

2。【分析】利用条件结合正弦型函数的图象变换，得出函数

g(x)的图象，从而求出函数

g(x)的解析式，再利，又因为

，从而求出

的最小用函数

g(x)过点 ，从而结合代入法得出值

。10.【解析】【解答】如下列图，

E、F、G、M

分别是、、、的中点，那么，，所以平面，平面，且，所以平面平面，所以，故点P

的轨迹为矩形，所以，。故答案为：A、【分析】E、F、G、M

分别是利用线线平行推出线面平行，所以平行，所以平面 平面、平面、，的中点，那么平面， ，再，再利用线面平行推出面面，故点P

的轨迹为矩形

，，所以，再利用三角形的面积公式，从而求出动点

的轨迹所形成区域的面积。二、填空题11.【解析】【解答】因为，所以，所以。故答案为:。的坐标，再利用向量求模的坐标表示，从，【分析】利用条件结合向量的坐标运算，从而求出向量而求出向量的模。12.【解析】【解答】

展开的通项为令 ，得 ，此时 的系数为 。故答案为：-80。【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中 的系数

。13.【解析】【解答】对于①：由图可知

2021

年

11

月同比增长率为-0.5，由同比增长率的计算公式可得，2021

年

11

月居民消费价格低于

2021

年同期，故①正确；对于②：由图可知，2021

年

3

月至

6

月的环比增长率为负，由环比增长率的计算公式可得消费价格下降，故②错误；对于③：设

2021

年

3

月居民消费价格为 ，4

月消费价格为 ，5

月消费价格为 ，6月消费价格为，7

月消费价格为 ，由题意得： ，解得 ，，解得 ，，解得 ，，解得 ，所以 ，所以

2021

年

7

月消费价格低于

2021

年

3

月消费价格，故③正确.故答案为：①③【分析】利用条件结合折线图中的数据，再利用统计的知识，从而找出正确结论的序号。14.【解析】【解答】因为，所以 ，所以 ，所以所以〔或舍去〕，。故答案为：6； 。【分析】利用条件结合余弦定理和一元二次方程求解集的方法，从而求出c

的值；再利用二倍角的正弦公式结合正弦定理，从而求出 的值。，所以抛物线C

与椭圆

D

的公共焦点，15.【解析】【解答】由抛物线的标准方程得，其焦点坐标为，且抛物线准线方程为 ，椭圆左焦点为联立 与椭圆 ，可得 ，因为 是直角三角形，所以

，即 ，又 ，所以 ，左右同除 可得 ，解得 ，又 ，所以椭圆

的离心率 。故答案为： ； 。【分析】由抛物线的标准方程得，其焦点坐标为，所以抛物线C

与椭圆

D

的公共焦点，且抛物线准线方程为，椭圆左焦点为，联立与椭圆方程，从而求出交点的坐标，因为是直角三角形，所以，又因为椭圆中a,b,c

三者的关系式，所以，左右同除结合椭圆的离心率公式，可得，再解一元二次方程结合椭圆的离心率的取值范围，从而求出椭圆的离心率。三、解答题16.【解析】【分析】

〔1〕数列

的前

项和为， ，

从条件①、条件②和条件③中选择两个作为，并完成解答。

(不能选择①③作为条件)，假设选择①②作为条件，

因为，再利用等差数列的定义，得出数列 是以 为首项，公差，的等差数列，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式；假设选择②③作为条件，因为，再利用等差数列的定义，得出数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，

因为，再利用数列求和公式，所以 ，

再利用等差数列的通项公式，从而求出等差数列的首项，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。〔2〕

条件①：为 ，结合〔1〕可得；条件②：

；条件③：

，

设等比数列

的公比， ，

再利用等差数列的性质从而求出公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出等比数列的首项，再利用等比数列的通项公式，从而求出等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式，再利用分组求和的方法结合等差数列前

n

项和公式和等比数列前n

项和公式，从而求出数列 的前 项和

。17.【解析】【分析】〔1〕利用用统计结合古典概型求概率公式，从而求出估计出其对为

2

的概率。图书“评价指数〞〔2〕利用条件求出随机变量

X

的所有可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量

X

的分布列，再利用随机变量

X

的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量

X

的数学期望。〔3〕

设学生对 图书的“评价指数〞为 ，对 图书的“评价指数〞为 ，再利用条件求出随机变量和

的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量

和

的数学期望，再利用数学期望比较法，从而估计出学生更喜好图书

。18.【解析】【分析】〔1〕在直四棱柱直的定义推出线线垂直，所以

，因为中， 底面 ，再利用线面垂，再利用线线垂直推出线面垂直，所以，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，从而证出平面 ，且 ，所以。两两垂直，从而建立空间直角平面〔2〕

因为坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出二面角 的大小

。〔3〕

设 ，再利用三角形法那么结合平面向量根本定理和向量的坐标运算，从而求出向量 的坐标，由(2)知平面 的一个法向量为 ， 因为 平面，可得 ，再利用向量共线的坐标表示，解得

，所以，在线段

上存在点 使得 平面 ，从而求出 的值。19.【解析】【分析】〔1〕利用椭圆

C： 过点 ，结合代入法求出

a,b

的关系式，再利用条件椭圆的离心率为 ，再结合椭圆的离心率公式从而求出

a,c

的关系式，再利用椭圆中a,b,c

三者的关系式，从而求出

a,b

的值，进而求出椭圆的标准方程。〔2〕用两种方法解决。

解法

1：当 时，此时 为椭圆的左右顶点，显然成立，当 时，① 时，显然不成立，②当 ，即时，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程得，因为直线

l与椭圆C

有两个交点，从而结合判别式法得出，

再结合韦达定理和中点坐标公式，得出线段

AB

的中点

M的坐标，再利用两点求斜率公式得出直线

MP

的斜率，由

，得 ，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，解得

的值，将

m

的值代入到 中，解得实数

k

的取值范围。解法

2：利用直线与椭圆相交，联立二者方程得的有两个交点，从而结合判别式法得出，

再结合韦达定理，由，因为直线

l

与椭圆

C得，从而，解得k

和m

的值，将m

的值代入到，由 得中，得出实数k

的取值范围。20.【解析】【分析】〔1〕利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，从而求出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程。〔2〕利用两种方法解题。解法一，由，对于任意的

，

都成立，即对于任意的，都成立，当

时，

显然成立，当都成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，设时，