第50讲特征值与特征向量的性质

线性代数59主讲 大 教 5. : :@川 线性代数59讲受到 第50(Part观看An阶矩阵，如果数λ和 向量x满 则称λ是矩阵A的特征则称λ是矩阵A的特征 xA的对应于(或属于特征值λ的特征向量(eigenvector)。 a12...a1n

... 设A

2n ... n nn

f(λ)

AλE

λ

小

...ann

f(λ)

AλE

λ

...ann * (1)nλn(1)n1(λλ...λ)λn1...λλλ f(0)

λλ 1λ21λ2

f(λ)

AλE

λ

...ann * (1)nλn(1)n1(λλ...λ)λn1...λλλ 徐 徐数 λ)(ann数

f(λ)A

* (1)nλn(1)n1(λλ...λ)λn1...λλλ λn和λn1的项只能出现 n-(a11λ)(a22λ)(ann (1)nλn ... )λn λλ...λna11a22...

a12...a1n ...

λ1λ1λ2λnA

2n aa ...

特征值之积=矩阵的行列 nn

矩阵的迹= 徐

a12...a1n ...

A

2nλ1λ2λ1λ2λna a ... nn 推论方阵可逆的 它的所有特征大学 4

例1已知A 71的一个特征值是 444 设λ1

4

63λ1λ2λ3

714

360

3λ

77已知A

4 7

44 4 设λ1

A108λ2λ3 λ215λ36 λ33λ2λ312λ2

另

12)徐 4 A 7 44 4

Maple2

1...1 1...1解A解

1...1 A-0E=A 1...1 1...1A

1 1...1 1 A0n-1重根n(小 1...1 1...1

1 1λ A

AλE

1...1

...1 nλnλ...n 1λ

n 0 λ

Allrowsaddedtorow(n ...1Allcolumnssubtractcolumn

0... 大 大此pAλ的特征向量，则kp(k≠0)也是A的属于λ的特征向量。设pAλ的特征向量，则kp(k≠0)也是A的属于λ的特征向量。设p1,…,ps是方阵A的属于特征值λ的特征向量，则p=k1p1+…+ksps≠0Aλ的特征向量。(1)isaspecialcaseof

ApA(k1p1...ksps)A(k1p1)...A(kspsk1Ap1...ksApsλ...ksλλ(k1p1ksps)λp 学小

2λA的特征值，则λ2是A2的特征值。证设非零向量p是AλApλp A2pA(Ap)A(λp)λApλ(λp)λ2λ2A2的特征值 若p是A的属于特征值λ的特征向量， λ2性质2设λ 是方阵A的特征值，则λ2 是A2的特征值。 拉长为λp，则线性变换y=Ax会将λ *2p，最终线性变换y=A2xpλ2p徐推论设λ 是方阵A的特征值，k是正整数，则λk 是Ak的特徐且若p是A的属于特征值 推论设推论设λA的特征值，k是正整数，则λk是Ak的特征值。pAλpAkλkA的特征值的k次幂是A的k次幂的特征 ApλpAkpλkp 例如，若λ是A3的特征值 0 A 1 0

A2

1

1

0

A0E

1

x2

ξ1 00

pk1(k

例3λAφ(λ)λ33λ22λ

φ(A)A33A22A

设p是A的属于λ：Apλp A3pλ3φ(ApA33A22A4E A3p3A2p2Apλ3p3λ2p (λ33λ22λ4)pφ(λ)也(Aφλ)的特征λ是方阵Aφ(λ)λ33λ22λ

φ(A)A33A22A

则pφ(A)φλ一般地，设λ是方阵A的特征值， φ(λ)aλm λm1...aλ 是方阵φ(A)amAm ...aA λ是方阵A φ(λ)aλm λm1... φ(A)aAm Am1...a Apλp 设非零向量p是A的属于λ的特征向量ApλppA1λp λA1p 因为p不是零向量，所以λ≠0 学 pλp所以1λ是矩阵A-1学3λ是可逆矩阵A3λ是可逆矩阵A

大可 3λ是可逆矩阵A3λ是可逆矩阵A

1大大3λ是可逆矩阵A3λ是可逆矩阵AApλpA1pλ1ppAxλpA1(λp)

λ是矩阵AA*AA A*A Aλ1是A*特征pApλpA1p p(Ap 性质4一个方阵A与其转置矩阵AT有相同的特 AT

(A

AλE 大 (AλE)x (ATλE)x大 Leftas Proveor Summaryof Aλpp ppA*AApλAλppλ3pλ11p3A23A3λ23λ1p2A33(A1)22λ33(λ1)2249p例43A求矩阵A32(A1)23A* pAλ Apλp A3pλ3(A1)2p(A2)1p(λ2)1p(λ2)A*AA*A(A32(AA*AA*A大A3p2(A1)2p3AA1p大λ3p2(λ1)2p3(

求矩阵A32(A1)23A* 解设非零向量p是AλA32A1)23A*2E λ3p2(λ1)2p(λ32(λ1)23( Letφ(λ)λ3λ2

62四φ(Aλ

λ)求矩阵A32(A1)23A* Letφ(λλ326 λ2φ(A)pφ(λ)φ1)

λ

(λ3)φ(2) EnAλ则(A*)2+E必