八年级数学下册分式单元完整全套教案和单元测试练习

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第一讲、分式的认识

（1）面积为3m的长方形，一边长4m，则它的另一边长为多少？

2

（2）面积为Sm的长方形，一边长am，则它的另一边长为多少？

（3）一箱葡萄售价为a元，总量m千克，箱重n千克，则每千克葡萄的售价是多少？

2

?整式1、整式和分式统称有理数，即有理式?（整式包含单项式和多项式，单项式：只含有数与字母的积

分式?的代数式；多项式：几个单项式的和；）

2、分式的定义：假使A、B是两个整式，并且B中含有字母，B≠0，那么式子其中A叫做分式的分子，B?叫做分式的分母．分式是不同于整式的另一类式子，如具有一般性；3、分式

A叫做分式．Bsa等都是分式；且字母可以表示不同的数，因此分式比分数更,am?nA有意义的条件：第一，B中含有字母；其次，B≠0．BAA4、分式值为0的条件：当A=0时且满足B≠0时才会有=0．

BB

例1：以下各式中哪些是整式？哪些是分式？①

2xy1x5?x(2x?y)；②；③；④．（5）

(x?y)x2?3例2：当x取什么值时，以下分式有意义？①

2(x?1)x；②；③x?4

(4x?1)(x?2)x2?x?22

例3：确定字母的取值,使分式值为0：（1）、x?1；（2）x?1；（3）|x|?1

2?xx?1

x2?x?2

一、选择题:

2x312a2b21m?a,,1.以下各式,2,xy,?中,是分式的有()

xx24a?55A.1个B.2个C.3个D.4个

2.当x=-3时,在以下各分式中,有意义的有()(1)

x?3x?3(x?2)(x?3)(x?2)(x?3),(2),(3),(4).x?3x?3(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)A.只有(1);B.只有(4);C.只有(1)、(3);D.只有(2)、(4)

3、x为任意实数时，分式一定有意义的是（）A．

x?1x?1x?1x?1B．C．D．x2x2?1x2?1x?1x2?14、若分式无意义,则()

x?1A.x=1B.x=-1;C.x=1或-1D.没有这样的实数5.对于分式

1的变形永远成立的是()x?1A.

1x?1121x?11?1?;B.;C.;D.??2?2x?1(x?1)x?1x?2x?1x?1x?1x?16、要使分式

1?x的值为零，则x的取值为（）2x?x?2A．x=1B．x=-1C．x≠1且x≠-2D．无任何实数

二、填空题:

1.不改变分式的值,使分式的首项分子与分式本身都不含“-号:?a?b?(a?2b)=________;?=___________.

2a?b2a?bx?1有意义.x?x2.当x________时,

3.当a=_______时,分式

a?2a2?3a?2的值为零.

4.当分式

x?4=-1时,则x__________.x?43x?k的值为零，则k=x?15、已知x=2时，分式

6.小明参与打靶比赛,有a次打了m环,b次打了n环,则此次打靶的平均成绩是________环.

三、解答题

1、给出4个整式：2，x+2，x-2，2x+1．

（1）从上面的4个整式中选择2个整式，写出一个分式；

（2）从上面的4个整式中选择2个整式进行运算，使运算结果为二次三项式．请你列出一个算式，并写出运算过程．

2、当x的取值范围是多少时，（1）分式

2x?4x?2有意义；（2）分式2值为负数．

x?1x?3

3、已知y?x?2，x取哪些值时：3?4x（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．

4、已知2+

223344aa=22×，3+=32×，4+=42×，…，若10+=102×（a，b为正整数），33881515bb则a+b=_________.

其次讲、分式的约分和分式的通分

1、分数的基本性质：分数的分子与分母都同乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变．2、分式的基本性质：分式的分子与分母都同乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．

假使A、B、M是整式，

AAMA(A?M)=，=（其中M是不等于零的整式）．BBMB(B?M)注意：分式中的A，B，M三个字母都表示整式，其中B必需含有字母，除A可等于零外，B，M都不能

等于零.由于若B=0，分式无意义；若M=0，那么不管乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.

3、约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做约分；:根据分式的基本性质：分子、分母都要同除以最大公约式．

最大公约式：①系数取最大公约数；②字母取一致字母；③一致字母取最低次幂．

4、最简分式：经过约分后，分子和分母没有公因式的分式，叫做最简分式；注意：一般分式的约分，都要是所得结果成为最简分式或整式；（一找公因式要找全，二约分要完全）5、通分：利用分式的基本性质，分子分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，使异分母分式化为同分母分式的过程，这样的分式变形叫做分式的通分；通分的关键是要确定各分式的公分母，各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，即为最简公分母．最简公分母的条件：①系数取最小公倍数；②字母取所有字母；③取所有字母的最高次幂．

注意：为确定最简公分母，寻常先将各分母分解因式．

x()2x?2x2y1?xy例1：（1）?2;?;x?2x?43x()(2)

mnmn5m-3n()?;?(n?0);2()m?nmmn2

a2b310a3b2c15x2y3c2例2：约分（1）2;（2）（3）ab5ab225ab2ca2?163m2?27m2x2?4xy?2y2(4)2;(5);(4);a?8a?16m?9x?y

mnm1c1例3、通分：（1）、(2)2、(3)2、2；nmnmn2ab3ab

mnxx212(4)、；(5)、(6)、m?nm?n(x-1)2x-15a3b2c25ab4

一、选择题:

x?y1．若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值().

x?y11A、不变B、是原来的3倍C、是原来的D、是原来的

63a2?b22．化简2的结果是（）.

a?aba?ba?bA、B、

2aaC、

a?ba?bD、aa?bbb3．式子2a??的运算结果为().

a2ab24b2A、B、C、aD、4a

aa4.以下各式计算正确的是()

?x3?a2?2ab?b211x2?2xy?y2x5?a?b;B.???x?yA.C.;D.??4?6b?a?x?yx?y(x?y)3y?y?5.以下分式中,最简分式是()

2x2?y2a?bx2?42?aA.B.C.D.2

x?yb?ax?2a?a?26.已知x为整数,且分式

2x?2的值为整数,则x可取的值有()x2?1A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题:

1、当x时，分式1x?2有意义.当x时，分式的值为零.x?2x?3

（4）a÷a＝a

mnm?nanan．（m＞n，a≠0）；（5）()?n(b≠0)（分式乘方法则）.

bb2.零指数幂与负整指数幂

（1）a?1(a?0)，即：任何不等于零的数的零次幂都等于1.

注意：零的零次幂无意义。

01（2）a?n(a?0,n为正整数）；即：任何不等于零的数的－n（n为正整数）次幂，等于这

a?nn个数的n次幂的倒数.即可表示为：a?a?1。

?n注意：正整数的运算性质可推广到全体整数。3.科学计数法

n

利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成a×10的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.

5

例如，864000可以写成8.64×10.

-n

类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.

-5

例如，0.000021可以表示成2.1×10.

?1??1-30-2例1：（1）3；（2）???10（3）5?5

?3??1??3（4）???(5)（x?2y2）(6)xy2?(x2y2)-3

?4?例2：用科学计数法表示以下各数：

0.00002，0.000023，234000，-32000000，-0.00000102.

例3：计算：

54823

(1)（2×10）×（2.5×10）；（2）（4×10）÷（10）

例4：判断以下等式是否正确？为什么？

?20a（1）ax?ay?ax?a?y;(2)()m?am?b-m;

b一、选择题

1、以下说法正确的是（）

2362220-1

A、a?b=aB、5a-3a=2aC、a=1D、（2）=-22、以下运算正确的是（）A、4x÷（2x）=2x

2

2

6

2

3

1a2?b2236

?a?bB、2x=2C、（-2a）=-8aD、

2xa?b-2

3、计算-2+（-2）-（-

1-1

）的正确结果是（）2A、2B、-2C、6D、104、以下各式：①（-

1-2023232262

）=9；②（-2）=1；③（a+b）=a+b；④（-3ab）=9ab；⑤3x-4x=-x．其中3

计算正确的是（）

A、①②③B、①②④C、③④⑤D、②④⑤二、计算：

(1)(3×10)×(4×10)(2)(2×10)÷(10)

(3)3?10

(5)9?10?7?4?10?1

三、填空：①?x2y?3③x4y?2-8

3

-32

-33

??5???7?10?(4)?0.5?10???3?10?

?64?62????

2

(6)11?10?9?2?108????3?

2??2?___________②x3y3?x2y2?1???________?x3y?2?62?xy?________________④??x6y2???________??⑤x2y?3x?1y??0⑥2ab2?________????ab??223?_________

四、用科学记数法表示以下各数：①1236500=___________③378000=______________⑦0.003009=___________五、解答题

1、计算（1）、|-3|+（1-2）+8-（

0

②-379001=______________

④5760000000=______________

⑤0．00004=___________⑥-0.034=___________⑧-0.00001096=___________

1-21303-2

）（2）、（π-3）-（-1）-2+（-）23

a2?b2-2?a2?b2?2、先化简，再求值：（2）???1?2ab??,其中a=5,b=-3ab?ab2??

第六讲分式方程

1、分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程；例1.判断以下各式哪个是分式方程。

（1）x?y?5（2）

111?0(4)?2x?5(3)2xx?2x?3xx3?x?0的解，为什么？例2.在x?0,x?1,x??1中，哪个是方程

x?1

1.分式方程通过去分母、整理最终可以化简得到一个一元一次方程的分式方程，叫做可化为一元一次方程的分式方程；

1802402x2???0（可化为一元一次方程的分式方程吗？）例1：（1）；（2）xx?5x?1x2?1

1、解分式方程常用的方法：（1）拆项法；（2）去分母法；（2）换元法；

2、解分式方程（1）能化简的先化简；化

(2)方程两边同乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程；约

(3)解整式方程；解

（4）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必需舍去。验

3、增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为０或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根。如何验根：只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该

式的值为零，则是原方程的增根。此时原分式方程无解。

例1：解分式方程

12?2x?1x?1解：方程两边同乘最简公分母(x?1)(x?1),

得整式方程x?1?2解整式方程，得x?1

检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此x=1不是原分式方程的解.∴原方程无解．

例2、（1）

x?3x?386??（2）86x?3x?3两边同时乘以最小公倍数得：两边同时乘以最简公分母得：（）

例3、（09年上海中考）用换元法解分式方程

x?3x?3?（）?86?86?x?3x?3??

x?1x?13x??1?0时，假使设=y，将原方程化为关

xxx?12

2

于y的整式方程，那么这个整式方程是（）

A、y+y-3=0B、y-3y+1=0C、3y-y+1=0D、3y-y-1=0例4、（2023?宿迁）若关于x的方程

2

2

m?1x??0有增根，则m的值是（）x?1x?1A、3B、2C、1D、-1

例5.若关于x的方程

1m2m?2有增根，求m的值??x?1x?2(x?1)(x?2)分析：若原分式方程有增根，则增根只能是x=1或x=2，通过把x=1或x=2代入由原分式方程所化成的整式方程，即可求出m的值。

解：将原分式方程去分母，化为整式方程，得

x?2?m(x?1)?2m?2，

①

由于分式方程有增根，只能是x=1或x=2，把x=1代入①，得m??3；把x=2代入①，得m??2。2所以m的值为?3或?2。2

一、1、以下关于x的方程中，是分式方程的是（）A、

xxxxx2x?3?B、?3?xC、?2?D、?3567?aabx?112xx1x2xx??3B、?C、?2??6D、xx?1x?15352x?32、以下式子不属于分式方程的是（）A、

3、若分式方程

xm?无解，则m值为（）x?1x?1A、1B、0C、-1D、-24、（2023?XX）关于x的方程：

a?1的解是负数，则a的取值范围是（）x?1

A、a＜1B、a＜1且a≠0C、a≤1D、a≤1且a≠0

5、（2023鸡西）分式方程

xm?1?有增根，则m的值为（）x?1(x?1)(x?2)A、0和3B、1C、1和-2D、3

二、解方程：（1）

4351

?＝1；（2）；（3）=2；

3x-1x?1x?1x?32x512x-31

?（4）=（5）+=2（6）=1

2xx+3x-22-x2x?55x?2（7）

124x?1x5x?12x?1??2??（8）2()??6?0(9).x?1x?1x?1xx?12xx

三、填空题

x?1m??2有增根。x?2x?2x?4k??8无解,则k的值为；2.若关于x的方程

x?33?xxm2?2?3.若关于x的方程无解,则m的值为；x?3x?31.当m=________时，方程四、解答题1.关于x的方程

2.若关于x的分式方程

3、a为何值时，分式方程

kx?4?3?有增根，求k的值。x?33?xm?1?2的解为正数,求m的取值范围。x?13a?1?a无解．x?1第七讲分式的实际应用

1、列方程解应用题2、应用题基本公式有四种：

(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．

(1)行程问题：路程=速度×时间．

(2)数字问题：把握十进制数的表示法．(3)工程问题：工作量=工时×工效．

(4)顺水逆水问题：v顺水=v静水+v水；v逆水=v静水-v水．例1：（2023?南平）某商店销售一种玩具，每件售价92元，可获利15%，求这种玩具的成本价．设这种玩具的成本价为x元，依题意列方程正确的是（）A、

92?x92=15%B、=15%C、92-x=15%D、x=92×15%xx例2、为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解状况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得

12023200??10x1.5x解得:x=40

经检验：x=40是原方程的根，所以1.5x=60

答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.

1、货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间一致,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速

度各多

少?设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是（）Ａ．

2535253525352535????Ｂ．Ｃ．Ｄ．xx?20x?20xxx?20x?20x2、（2023?长春）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A、28002800280028002800280028002800??30B、??30C、??30D、??30x4x4xxx5x5xx3、（2023?青海）某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依题意列出正确的方程为（）A、

9090909090909090??3B、??3C、??3D、??3xx?1x-1xxx?1x?1x4、（2023?青岛）某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为

5、某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%，那么原来经销这种商品的利润率是多少？

6、某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工作效率是原来的1.5倍，这样加工同样零件就少用10h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？

7、市政工程公司修建一段6000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快进度，工效比原来提高了20%，工程恰好比原计划提前5天完工.求该公司完成这项工程实际的天数.

8、甲、乙两地相距360km，新修的高速马路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客车的速度提高了50%，从甲地到乙地的时间缩短了2h，求原来的平均速度。

第八讲分式单元小测

一、选择题：（每题2分，共20分）

1．以下各式：

32a?bx?35?ya?b1?x?1?，，，，，(x?y)中，是分式的共有（）42x?a?bmA.1个B.2个C.3个D.4个

2．以下判断中，正确的是（）

A．分式的分子中一定含有字母B．当B＝0时，分式C．当A＝0时，分式

A无意义BA的值为0（A、B为整式）D．分数一定是分式B3．以下各式正确的是（）

yy2a?xa?1nn?annaA．B．?2C．??,?a?0?D．?xxb?xb?1mm?amma4．以下各分式中，最简分式是（）

34?x?y?y2?x2x2?y2x2?y2A．B．C．2D．2285?x?y?x?yxy?xy?x?y?m2?3m5．化简的结果是（）

9?m2A.

mmmmB.?C.D.m?3m?33?mm?36．若把分式

x?y中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）2xyA．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．缩小6倍

7．A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又马上从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）

A．

48484848489696??9B．??9C．?4?9D．??9x?4x?44?x4?xxx?4x?4x?3y?zxyz8．已知??，则的值是（）

2x?y?z230.5A．

11B.7C.1D.739．一轮船从A地到B地需7天，而从B地到A地只需5天，则一竹排从B地漂到A地需要的天数是（）A．12B.35C.24D.4710．已知a?b?6ab，且a?b?0，则A．2B．?22a?b的值为（）a?b2C．2D．?2

二、填空题：（每题3分，共24分）

1?2xx2?911．分式当x_________时分式的