单摇摆力性分析

本文格式为Word版，下载可任意编辑——单摇摆力性分析单摆的非线性动力学分析

张亚兵

（兰州交通大学车辆工程专业，甘肃兰州，730070）

摘要:研究单摆的运动，从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响。对于小角度单摆的运动，从单摆的动力学方程入手，借助李雅普诺夫一次近似理论，推导出单摆的运动稳定性状况。再借助绘图工具matlab，对小角度和大角度单摆的运动进行仿真，通过改变参数，如阻尼大小、驱动力大小等绘出单摆运动的不同相图，对相图进行分析比较，从验证单摆运动的稳定性状况。关键词:单摆；振动；阻尼；驱动力

Abstract:Thevibrationofsimplependulumisstudiedbyanalyzingwhetherornotdampanddriveforceitsinfluenceofthesimplependulum.Forsmallanglependulummotion,pendulumdynamicequationfromthestart,withanapproximateLyapunovtheoryofstabilityofmotionisderivedpendulumsituation.Drawingtoolswithhelpfrommatlab,smallangleandwide-anglependulummotionsimulation,bychangingtheparameters,suchasdampingsize,drivesizedrawsimplependulumofdifferentphasediagram,analysisandcomparisonofthephasediagram,fromtheverificationthestabilityofthesituationpendulummovement.

Keywords:simplependulum;vibration;ddriveforce

1引言

单摆是一种理想的物理模型[1]，单摆作简谐振动（摆角小于5°）时其运动微分方程为线性方程，可以求出其解析解，而当单摆做大幅度摆角运动时，其运动微分方程为非线性方程，我们很难用解析的方法探讨其运动，这个时候可以用MATLAB软件对单摆的运动进行数值求解，并可以模拟不可怜况下单摆的运动。随着摆角的减小，摆球的运动速率将越来越大，而加速度将单调下降,至??0时,加速度取微小值。本文从动力学的角度详细考察了这一过程中摆球的非线性运动,

.得出了在运动过程中??t,???的关系。

图1单摆模型

1

2单摆的线性状况

2.1线性单摆的无阻尼振动

如图（1）所示，一根不会伸缩、长度为l的细线，上端固定（或一根刚性轻杆，上端与无摩擦的铰链相连），下端悬挂一质量为m的小球就构成一单摆。当摆角?很小时，sin??0，单摆作简谐振动，令s?l?，其运动方程为

s?Acos(?0t??0)（1）

式中，?0?gl称为单摆的固有圆频率，其周期为（2）g式(1)对时间t求一阶导数，得小球的速度

v??A?0sin(?0t??0)（3）

由式(1)与式(3)得

?s??v???1（4）????AA????0?上式说明单摆的速度—位移曲线图(寻常称为相图[2])为一椭圆[3]。

22T0?2?l图2图无阻尼单摆的相平面轨迹

2.2线性单摆的阻尼振动

当小球摇摆的速度较小时，小球受到一个与速度方向相反的阻力,f???ds/dt，?为阻力系数，它与物体的形状以及周边媒质的性质有关。根据牛顿其次定律有

d2sds??02s?0（5）2?2?dtdt称为阻尼因数。对于一定振动系统，根据比值（?:?0）小2m于、等于、大于1，则称单摆处于欠阻尼、临界阻尼和过阻尼振动状态。设振动系统的周期T0?2s，初始条件s(0)?0.01m,v(0)?0，取?=0.3。

用Matlab软件中的函数，\与“ezplot〞可求出单摆阻尼振动方程并描绘振动曲线及其相图。

式中，???2

（a）振动曲线（b）振动相图

图3线性单摆的欠阻尼振动曲线及其相图

线性单摆在临界阻尼，过阻尼状态下的振动曲线及振动相图，只需改变相应的?取值即可

3有阻尼和有驱动力单摆的运动分析

有阻尼和有驱动力单摆的运动方程为

??2???sin??fcos?t(6)在任意大振幅下，方程(6)的解变得十分繁杂，下面利用计算机模拟，分别探讨单摆运动随初值的变化和其混沌运动。3.1初值不同所产生的??t曲线

为简单计，设??0.10,f?1,??2/3，当t=0时，两振动初始条件相差微小，

.???(0)?0,?1(0)?0.01有?1(7).???2(0)??0.01,?1(0)?0取0?t?120s，对(6)式在初始值(7)式下利用MATLAB绘图，其??t变化曲线如图4所示(其中实线为?1?t，虚线为?2?t)。

...图4有阻尼和驱动力的??t图

3

由图4可以看出，当0?t?25s时，两条曲线重合，两个解?1(t)、?2(t)不能分辩；但当t?25s时，两条曲线不再重合，两个解?1(t)、?2(t)、完全不一样，这种混沌运动对初始条件的敏感性称为蝴蝶效应。

3.2振幅不同所产生的相图???

为简单计，设方程(6)中，除驱动参数f取变值外，其余参数不变，即??0.25,??2/3。

对(6)式在初始值式?(0)?0,?(0)?0下利用MATLAB作计算模拟绘图，相图

...???如图6所示。

当f?1.06时，振荡周期?等于外加周期力的周期T，??T?2?/??3?，应应单周期解，其相图???如图5示。

.

图5

当f?1.07时，??3T，对应三倍周期解，其相图???如图6示。

.

图6

当周期强迫力的振幅达到某一临界值f??1.684时，??2?T，系统运动出现混沌，其相图???如图7示。

.4

图7

4无阻尼和无驱动力单摆的运动(β=0,f=0)

无阻尼无驱动力状况下，单摆系统为保守系统，系统的运动微分方程

??2???sin??fcos?t

??????????变为：??sin??0，状态方程????2???sin??fcos?

???????变为：

????????（8）

?????sin?为了将高阶微分方程组降阶，我们首先做如下处理：

d?（I）首先把高阶微分方程改写成一阶微分方程组，令y1??，y2?，则

dt???y??d??（9）

???dt?于是原二阶微分方程可改写成如下一阶微分方程组

?dy1??dt??y2??