北大版金融数学引论其次章答案

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其次章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。假使它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。

解：

S=1000s?7%+Xs?7%

20

p

10

p

20

p

X=50000?1000s?7%=651.72

s?p7%

10

2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。

解：设首次付款为X，则有

10000=X+250a?p1.5%

48

解得

X=1489.36

1

3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=。试计算该年金的现值。

n

解：

PV=na?npi

1?v=n1

n

n

(n+1)n?n+2=

(n+1)n

n

2

n

4．已知：a?p

n=X，a?p

2

n=Y。

试用X和Y表示d。

解：a?p

2

n=a?p

n+a?p(1?d)则

n

n

1Y?X

d=1?(X)n

5．已知：a?p

7

=5.58238,a?=7.88687,a?=10.82760。计算i。

11

p

18

p

解：

a?p=a?p+a?pv

7

18

7

11

解得

=

i=6.0%

10?p+a∞?p

6.证明：1

1?v10

s

。

s10?p

北京大学数学科学学院金融数学系第1页

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证明：

10

s?p+a∞?p

=

s?

10

p

(1+i)10?1+1i(1+i)10?1ii1=1?v10

7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。

解：

PV=100a?+100a20?8p3%p3%=2189.716

8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，

后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解：设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日

=

1000¨p8%X¨p7%25?15?

解得

X=8101.65

8

9．已知贴现率为10%，计算¨?p

。

1

解：d=10%，则i

=

1?d

?1=9

1

8

1?v

¨?p=(1+i)i=5.6953

8

10.求证：(1)¨?p=a?p+1?

n

n

v；(2)¨?p=s??p1+(1+i)并给出两等式的实际解释。

n

n

n

n

i

证明：(1)¨?p=?v=?v=?v

1

n

dn

1

n

1

n

+1

i?v

n

n

1+i

所以(2)¨?p=

n

(1+

¨?p=a?p+1?v

n

n

i)?1n

n

(1+i)n?1=(1+i)?1

n

d

=

?1

i1+i

i

+(1+i)

n

所以

¨?p=s??p1+(1+i)

n

n

北京大学数学科学学院金融数学系第2页

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12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。

解：

PV=100a49?p1.5%?100a?2p1.5%=3256.88

AV=100s?1.5%?100s?p1.5%=6959.37

49

p

2

13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每

年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金

额为Y，在第11－20年中没有。已知：v=，计算Y。

10

1

2

解：因两种年金价值相等，则有

a?i+a?iv10=Ya??iYa10?piv10

30

p

10

p

30

p

所以Y=?v3

10

?2v30

.8

14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。

1+v10?2v30

=1

解：由题意知，

2a?pi+3a?pi=36

2

n

n

2a?pivn=6

n

解得

7

3

X

i=8.33%

Y

Z

pa?pa?p+s?

=15.已a?pa?p+s?p。求X，Y和Z。

知

解：由题意得

1?v=(1+i)?v

1?v11(1+i)Z?vY

解得

X=4,Y=7,Z=4

11

7

X

3

16.化简a?p(1+v+v)。

15

30

15

解：

a?p(1+v+v)=a?p

15

30

15

45

北京大学数学科学学院金融数学系第3页

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17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一

次2000元，半年结算名利率9%。

4.5%.解：年金在4月1日的价值为P=

5%×

2000=46444.44，则

1+4

P

PV=

(1+i)

2+

=41300.657

23

18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。

解：设递延时间为t，有

1P=iv

t

ln

解得

t=?ln(1+

iPi)

19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。

解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，有

X?=

1000¨20piv

i

29

解得

X=1000((1+i)?(1+i))

30

10

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人

平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。假使四人的遗产份额的现值相

同。计算(1+i)。

n

解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值

为i，而D得到遗产的现值为v。由题意得a3?pi

n

n