2017版基础线性代数新浪微博考研数学高老师

向量的定义1:既有大小,又有方向的量称为向量,记为或用有向线段AB表示向量,线段的长度AB表示向量的大小又称向量的长度或模,模等于1的向量称为单位向量,模等于向量的坐标表

的向量称为零向量在空间直角坐标系Oxyz中,若OM点M的坐标x,y,z称为的坐标记为x,y,z设axayazbbxbybz则baxbxaybyazbz向量的模与方在空间直角坐标系Oxyz中,称与三个坐标轴x,y,z轴的夹角,,为的方向角.设x,y,z,则的模 x2y2z2;的方向余弦cos二、向量的线性运算设axayazbbxbybz加法baxbxaybyazbz数乘:axayaz向量的加法与数乘有以下性质:bb bcabaa aa aba第二 数量 向量 混合一、两向量的几何表示ababcos其中是a与b的夹角代数表示设a（axayazb（bx,bybz,则abaxbxayby,,应用:判定两向量垂直abab0axbxaybyazbz二、两向量的几何表示:ab是一个向量模ababsin其中是a与b的夹角；方向:ab同时垂直于a和 代数表示:设a（ax,ay,az,b（bx,by,bz,则ab

az,,应用:判定两向量平行abab0

ay

az例1设M1112、M233,1和M33,13求与M1M2M2M3同时垂直的单位向量三、混合定义称（ab）c为三个向量abc的混合积,记为 az,,bz,cz,

bz.:a第三 平面及其方一、建立平面方基本点 平面由一个定点与法向量确定,与平面垂直的向量称为它的法向量平面的点法式Axx0Byy0Czz0这里x0y0z0为平面上一定点,nAB,C为平面的法向量平面的一般式AxByCzD0这里nA,B,C为平面的法向平面的截距式xyz1,这里a,b,c分别为平面在三个坐标轴上的截距且均不为0. 二、平面与平面的位置例1求过三点M121,4、M21,3,2和M30,2,3的平面方程例2一平面通过两点M11,1,1和M20,1,1且垂直于平面xyz0求它的方程第四 空间直线及其方基本点:空间直线由一个定点与方向向量确定,与直线平行的非零向量称为它的方向向xx0

y

zz0这里xyz为直线上一定点,smn,p nt,这里x,y, 为直线上一定点 m,n,p为直线的方向向量 zz0A1xB1yC1zD1这里的直线为两个平面的交线,方向向量snnAxByCzD 两点Px,y,z和Px,y,z的距离d xx2yy2zz2 点Px,y,z到平面AxByCzD0的距离d P0Psx y P0Ps点 x,y, 到空间直 0 0 0的距离d 这里P是直线上任一点,s（m,n,p）是直线的方向向量xyz100例2求过点124且垂直于平面2x3yz40的直线方程例3求与两平面x4z3和2xy5z1的交线平行且过点32,5的直线方程第五 曲面及其方一、曲面的方程三元方程Fx,yz0在空间表示一张曲面S,叫做曲面的二、旋转曲面定义1:以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,fy,z设yoz坐标面上的一条曲线L:x 绕z轴旋转一周所得旋转曲面方程为:f x2y2,z绕y轴旋转一周所得旋转曲面方程为:fy, 例1将xoz面上的曲线 21分别绕z轴和x轴旋转一周,求所生成的旋转曲面方程 三、柱面定义2:平行直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线.

Fx,y方程Fx,y0在空间中表示柱面,它的母线平行于z轴,准线是xoy面上的曲线 z三、二次曲第六 空间曲线及其方一、空间曲线的方程方程组

Gxyz0在空间表示一条曲线C,叫做空间曲线的一般式xxt方程组yyt在空间表示一条曲线C,叫做空间曲线的参数zztFx,y,z设由空间曲线C

Gx,y,z0在此方程组中消去z得Hx,y0,它表示空间曲线C关于xoy面的投影柱面Hx,y若在令z0,即 z

表示空间曲线C在xoy面上的投影例1求上半球面z 4x2y2和锥面z 3x2y2围成的立体在xoy面上的投影第九 多元函数微分法及其应第一 多元函数的基本概一、二维邻域设P0x0,y0是xoy平面上的一个点,是某一与点P0x0y0距离小于的点Px,y的全体称为点P0的邻域记作UP0,即UP0,x,y

点P0的去心邻域,记作UP0,,即UP0,x,y0 二、二元函数定义1设有三个变量xyz变量xy的变化域为D若对D中每一点Px,y按照某一对应规则f变量z都有唯一确定的一个值与之对应,则称变量z是变量x,y的二元函数记作zfx,y.这里x,y称为自变量D称为定义域,z称为因变量（函数值三、多元函数定义2:y

fx,yAfx,yAx,yx0,y0定理:y

fxyAfxyA其中0x,yx0y0注:1.二元函数中x,yx0,y0是指的沿任意路径方除法则、单调有界准则外其余求极限的方法适用于二重极要会用不同的路径或某一特殊的路

sinxy

例

2

x

x

xx:1lim ；2）lim ；xx

四、多元函数定义3:y

fxyfx0y0则称二元函数fxy在x0y0处连续注:1.二元函数fx,y在x0,y0处若不连续是不讨论其间断点类型（二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）或复合仍连续（有界性与最大值最小值定理、介值定理第二 偏导一 偏导数的定义及其几何意定义1fxylimfx0xy0fx0y0limfxy0fx0y000x00 xxfx,ylimfx0,y0yfx0,y0limfx0,yfx0,y0.y00 yy0 yy00例2设fx,yxy x,求f 例3讨论下列函数在0,0点的连续性与可偏导性 ,x,y0,（1）fx,yx2

x,y0,

;2）fx,y

xyfxx0y0是曲面zfxy与平面yy0的交线在点P0x0y0fx0y0处的切线对x轴的斜率;fyx0y0是曲面zfx,y与平面xx0的交线在点P0x0y0fx0y0处的切线对y轴的斜率例4zx2y2在点2,4,5处的切线对x轴的倾角是多少？ y二、高阶偏导设zfx,y在区域D内具有偏导zfxy,zfx,y在D内zz均是x,y的函数 x如果这两个函数的偏导数也存在,称它们是zfx,y的二阶偏导按照对变量求导次序的不同 二阶偏导数有以下四个z2zfx,y z2zfx,yxx yx z2zfx,y z2zfx,yxy yy 2 2其中xy和yx称为混合偏导数定理 2 2若zfx,y的两个二阶混合偏导数xy和yx在在点x0y0处连续2 xyx0,y0

2 2例5验证函数z 满足方程:

2例6设zfxy在全平面有连续的偏导数且xy0,求fxy一、全微分的

第三 全微定义1:设zfxy在点x0y0的某邻域有定义,若全增量zfx0xy0yfx0y0可表示为zAxByo x2y2,其中A和B是不依赖于x和y的常数则称zfxy在点x0y0处可微,而AxBy称为zfxy在点x0y0处的微分0记为dzxyAx0二、可微的必要条件与充分若zfxy在点x0y0处可微（1）fx,y在点x0y0处连续（2）fx,y在点x0,y0处可偏导,且dz x0,y0x x0,y0y x0,y0dx x0,y0若zfxy的两个偏导数ff都在点xy处连续,则zfxy在点xy处可x 例1计算函数zx2yy2的全微分

,x,y0,x,y0,

讨论fx,y在0,0点是否可微例3设fxy

x2y2,x,y0,x2

讨论fx,y在0,0点是否可微 x,y0,例4设uuxy满足du4x310xy33y4dx15x2y212xy35y4dy求ux,y若dux,yPx,ydxQx,ydy称ux,y为Px,ydxQx,ydy的原函数第四 多元复合函数的求导法一、链式求导法则设uuxyvvxy在点xy处有对xy的偏导数zfuv在对应点可微则复合函数zfux,yvx,y对x,y的偏导数存在 f ； fu f fu f f ； u v 1 2 u v 1 2 例1设wfxyzxyzf具有二阶连续偏导x及xz2例2设zfuxy,uxeyf具有二阶连续偏导数,求

xyux2 2 2 2 2例3用变换vxay可把方程6x2xy其中z有二阶连续偏导数第五 隐函数的求一、一个方程

0化简为uv0求a隐函数存在定理 设Fx,y有连续一阶偏导数,且Fy则方程Fx,y0确定yyxdyFx 隐函数存在定理2设Fx,y,z有连续阶偏导且Fz则方程Fxyz0确定zzx,y

z

x， y Fz 二、方程组情形（仅数一Fx,y,u,v设uux,yvvx,y有方程组Gx,y,u,v

确定FFuFv u v u在方程两端直接对x求偏导,有G Gv0x,x u v

10在点0,1附近能确定函数yyx并求

2 xuyv uu 例2设xyz4z0x2

,求 和xy 例4设uv具有连续偏导数,证明由方程cxazcybz0所确定的函数z满足azbz

fx,y 例5设yfxt而ttx,y是由方程Fx,y,t0所确定的函数.其中fF都具有一阶连续偏导. 一、曲面的切平面与法线曲面以隐式给出:Fx,y,z0法向量n=FxFy,曲面以显示给出zfxy法向量n=fxfy例1求曲面x2y2z214在点12,3处的切平面及法线方程例2求曲面zx2y21在点2,14处的切平面及法线方程二、空间曲线的切线xxt空间曲线L以参数形式给出yyt,t切向量=xt,yt,ztzztFx,y,z空间曲线L以一般式给出:Gx,yz0切向量=n1n2例3求曲线xt2在点1,1,1处的切线及法平面方程 zx2y2z2

xyz0在点1,2,1处的切线及法平面方程 定义1二元函数zfxy在点P0x0y0处沿着方向elcoscosfx0tcos,y0tcosfx0,y0方向导 Plim t 二、方向导数的存在若zfx,y在点P0x0y0可微则zfxy在点P0x0y0沿任一方向的方向导数都存在且 fx,ycosfx,ycos,其中cos,cos是方向l的方向余弦l 例1求函数zxe2y在点P1，0处沿从点P1，0到点Q21的方向导数三、梯定义2gradfx0y0fxx0y0ifyx0y0方向导数与梯度向量的关系: fx,ycosfx,ycoslx0,y0 fx0,y0,fyx0,y0cos,cosgradfx0y0l0gradfx0y0cos其中是gradfx0y0与l0的夹角例2求 x2例3设fxy1x2y2P1,1求 （1）fx,y在P0处增加最快的方向以及fx,y沿这个方向的方（2）fx,y在P0处减少最快的方向以及fx,y沿这个方向的方（3）fx,y在P0处变化率为零的方向第八 多元函数的极值及其求一、多元函数定义1设zfx,y在点P0x0,y0的某邻域内有定义,对该邻域内任何异于P0x0,y0点x,y,有fx,y（）fx0,y0则称P0x0,y0是fx,y的极大（小）值fx,y例1已知函数fx,y在点0,0的某个邻域

x2y2则下列说法正确的 A点00不是fx,y的极值B点00是fx,y的极C点00是fx,y的极小值D根据所给条件无法判断0,0是否为fx,y的极二、极值的必要条件和充分设zfx,y在x0,y0处具有偏导数,且在x0,y0处取极值,则fxx0y00,fyx0,y0设zfx,y在x0y0的某邻域内有二阶连续偏导数,且fxx0y00,fyx0y0记fxxx0y0A，fxyx0y0B，fyyx0y0C,若B2AC0,则x0y0是fxy的极值点A0时,x0,y0为fx,y的极小值点；A0时,x0y0为fx,y的极大值若B2AC0,则x0,y0不是fx,y的极值若B2AC0,则x0,y0可能是也可能不是fx,y的极值例2求fxyx3y33x23y29x的极值例3设zzxy由方程x2y2z22x4y6z110确定求zzxy的极值三、条件最求zfx,y在条件x,y0下的（1）构 日函数Fx,y,fx,yx,y（2）列方程组Ffx,y x,y Fx,y解上述方程组根据实际问题,所得即所求上述方法可推广求zfx,yz在一个条件x,yz或两个条

x,yz0下的最值构造Fxyzfxyzxyz或Fxyzfxyzxyzxyz例4求uxyz在条1111xyza0下的最值 四、连续函数在闭区间上的最大值最小以二元函数为例:求连续函数zfxy在有界闭区域D上的最求fx,y在D内部的偏导数为零和偏导数不存在的求fx,y在D的边界上的最值比较上述各函数值的大小,最大的为最大值,最小的为最小例5设有一圆板占有平面闭区域Dx2y21该圆板被加以致在点xy的温度是Tx22y2x.求该圆板的最热点和最第十 重积第一 二重积分的概念与性定义

fx,ydlim

f,其中表示最大小区域的直径 0

fxy在D上存在二重积分,也称fxy在D若fxy0,则fxyd表示以曲面zD侧面是柱面的曲顶柱体的体二、二重积分等式性D

fx,y为顶,以区域D为底（2）k1fx,yk2gx,ydk1fx,ydk2gx,y （3）fx,ydfx,ydfx,yd, D2D, D2 不等式性 D

D

fx,y（3）在D上若m中值定

fxyM,则mADfxydMD设fx,y在D上连续则存在一点,D使D

fx,yd=f,三、二重积分设D关于y轴对称D1是D在x0的部分,2fx,yd,fxy对x是偶函fx,yd fx,y对x是奇设D关于x轴对称D1是D在y0的部分,2fxyd,fxy对y是偶函fx,yd fx,y对y是奇若D关于直线yx对称,则fxydfyxd 例1设有平面闭区域DaxaxyaD10xaxy则xycosxsinydxdyDA2cosxsin

B2

C4xycosxsiny

D例2设fx,y,fy,x都在D上可积,D关于直线yx对称证明fx,ydfyxd其中D1D2分别为D在yx的上方与下方部 fx,ydfy,xd 第二 二重积分的计算1.若Daxb,xyx则fxyd

2

fx,y d2.若Dcyd,yxy则fxydd

12yy1

的特点:（1）和（2）都是将二重积分化为累次积分不同的是前者是先对y积分后对x积分,后者是先对x积分后对y积分区域的特点:（1）中区域D的特点是穿过D内与x轴平行的直线交D的边界不多于两点,是适宜先对x积分后对y积分的区域积分限的特点:每个单积分总是上限后积分的积分线是常数,先积分的积分限是后积分变量的函D

1x2y2d其中D是由直线yxx1和y1围成的闭区域例2计算xyd其中D是由抛物线y2x及直线yx2所围成的闭区域D二 利用极坐标计算二重积若D是适合极坐标表示,即D:r1rr2 则fxyddr2frcosrsin D Dy x注:被积函数形如xmynfx2y2或xmyn

或xmyn

yx x且积分区域为圆域、环域、扇形时使用极坐标比较方D例3计算ex2y2d其中D是由圆心在原点、半径为a的圆周所围成的D y2 例4计算二重积分a2b2dxdy,其中D:x R 例5计算二重积分xydxdy其中D是由曲线x2y22x2y1所围成的闭区域D例6交换下列二次积分的次序 1y

2

3 fx,ydxdy

fx,y

fx,y例7化下列的二次积分为极坐标下的二次 fx,y

2axx2x2y2dy 例8计算下列二次积分（1）2dx2ey2dy ;2）2a 一、三重积分的概念与物理意义定义1fxyzdvlim

0

i fxyz在上存在三重积分,也称fxyz在若物体占据空间区域其体密度为fx,yz,则在它的质量mfx,yz普通对设关于yoz面对称,1是在yoz前面的部分2fxyzdv,fxyz对x是偶函fx,y,zdv fxyz对x是奇函数若关于xoy面或x