2023届中考数学一轮专题复习第6讲分式方程及应用精讲精练浙教版

第6讲分式方程考点一、分式方程的解法【例1】分式方程的根为（）A．x1=1，x2=2 B．x1=﹣1，x2=﹣2 C．x=2 D．x=1方法总结解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．举一反三解分式方程：=﹣．考点二、分式方程增根【例2】1.已知方程有增根，则k=．2.分式方程=有增根，则m的值为（）A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3方法总结利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．举一反三1.若关于x的分式方程﹣2=有增根，则m的值为．2.若分式方程有增根，则增根可能是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0考点三、分式的应用【例3】1．已知a2﹣3a﹣1=0，求a6+120a﹣2=．2．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备精加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍；信息三：甲工厂加工一天、乙工厂加工2天共需加工费11200元，甲工厂加工2天、乙工厂加工3天共需加工费18400元；根据以上信息，完成下列问题：（1）求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？（2）公司将1200件新产品交甲、乙两工厂一起加工3天后，根据产品质量和市场需求，决定将剩余产品交乙工厂单独加工，求该公司这批产品的加工费用为多少？方法总结对于分式的应用题要把握好前面讲的解分式方程的步骤，对于分式的综合题型要把握好分式的增根计算及性质等的综合。举一反三1．对于正数x，规定，例如：，，则=．2．为弘扬中华民族传统文化，某校举办了“古诗文大赛”，并为获奖同学购买签字笔和笔记本作为奖品．1支签字笔和2个笔记本共8.5元，2支签字笔和3个笔记本共13.5元．（1）求签字笔和笔记本的单价分别是多少元？（2）为了激发学生的学习热情，学校决定给每名获奖同学再购买一本文学类图书，如果给每名获奖同学都买一本图书，需要花费720元；书店出台如下促销方案：购买图书总数超过50本可以享受8折优惠．学校如果多买12本，则可以享受优惠且所花钱数与原来相同．问学校获奖的同学有多少人？一、选择题1．(2023江干区一模，6)将分式方程去分母，整理后得（）A.B.C.D.二、填空题1.(2023杭州，13)已知分式，当时，分式无意义，则；当时，使分式无意义的的值共有个.三、解答题1．(2023上城区一模，17)阅读材料，解答问题：观察下列方程：①；②；③；…；（1）按此规律写出关于的第4个方程为，第n个方程为；（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确.2．（2023江干区一模，17）解方程﹣2．3．（2023拱墅区一模，19）（1）解方程：﹣2=；（2）设y=kx，且k≠0，若代数式（x﹣3y）（2x+y）+y（x+5y）化简的结果为2x2，求k的值．1．已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（）A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜42．已知关于x的方程+=恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．若关于x的方程=+1无解，则a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．0或24．小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（）A． B．C． D．5．关于x的分式方程﹣=0无解，则m=．6．关于x的方程=﹣1的解是正数，则a的取值范围是．7．新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为．8.关于x的方程有实根，则a的取值范围是．9．已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是．已知关于x的分式方程﹣=0无解，则a的值为．11.解方程：．12．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备A型B型价格（万元/台）mm﹣3月处理污水量（吨/台）220180（1）求m的值；（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．13．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=的解是；（3）由（2）可知，在解方程：y+=时，可变形转化为x+=的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．14.（1）解下列方程：①根为；②根为；③根为；（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为，其根为．（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程（n为正整数）的根．答案【例1】D举一反三解：原方程即=﹣，两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1=3（2x﹣1）﹣2（2x+1），x+1=6x﹣3﹣4x﹣2，解得：x=6．经检验：x=6是原分式方程的解．∴原方程的解是x=6．【例2】1.﹣2.解：∵分式方程=有增根，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x1=1，x2=﹣2．两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，整理得，m=x+2，当x=1时，m=1+2=3，当x=﹣2时，m=﹣2+2=0，当m=0时，分式方程无解，并没有产生增根，故选：D．举一反三1.32.解：∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，解得x=﹣1或1，∴增根可能是：±1．故选：C．【例3】1．1309解：∵a2﹣3a﹣1=0，∴a2=3a+1，a6=（a2）3=（3a+1）2（3a+1）=（9a2+6a+1）（3a+1）=[9×（3a+1）+6a+1]（3a+1）=（33a+10）（3a+1）=99a2+63a+10=99（3a+1）+63a+10=360a+109，∵a2﹣3a=1，120a﹣2=（a2﹣3a）=120﹣=120﹣×（a2﹣3a）=120﹣360a+1080，∴a6+120a﹣2=360a+109+120﹣360a+1080=1309．2．解：（1）设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得﹣=10解得x=40．经检验，x=40是原方程的跟，且符合题意，则1.5x=60答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品；（2）设甲、乙工厂一天的加工费分别为a万元、b万元，由题意得，解得．∵加工3天后的时间为：=15（天）∴3×3200+（15+3）×4000=81600（元）答：该公司这批产品的加工费用为81600元．举一反三1．2023.5解：∵当x=1时，f（1）=，当x=2时，f（2）=，当x=时，f（）=；当x=3时，f（3）=，当x=时，f（）=…，∴f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，…，∴f（n）+…+f（1）+…+f（）=f（1）+（n﹣1），∴=f（1）+（2023﹣1）=+2023=2023.5．2．解：（1）设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元．则可列方程组，解得．答：签字笔的单价为1.5元，笔记本的单价为3.5元．（2）设学校获奖的同学有z人．则可列方程=，解得z=48．经检验，z=48符合题意．答：学校获奖的同学有48人．一、选择题1．C二、填空题1.6；2.三、解答题1．解：（1），（2）检验2．解：方程的两边同乘（x﹣3），得：2﹣x=﹣1﹣2（x﹣3），解得：x=3，检验：把x=3代入（x﹣3）=0，即x=3不是原分式方程的解．则原方程无解．3．解：（1）去分母得：1﹣2（x﹣3）=﹣3x，解得：x=﹣7，检验：当x=﹣7时，x﹣3≠0，故x=﹣7是原方程的解；（2）∵（x﹣3y）（2x+y）+y（x+5y）=2x2﹣5xy﹣3y2+xy+5y2=2x2﹣4xy+2y2=2（x﹣y）2=2x2，∴x﹣y=±x，则x﹣kx=±x，解得：k=0（不合题意舍去）或k=2．D解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a=﹣1，即（a﹣4）（a+1）=0，解得：a=4或a=﹣1，经检验a=4是增根，故分式方程的解为a=﹣1，已知不等式组解得：﹣1＜x≤b，∵不等式组只有4个整数解，∴3≤b＜4．故选：D2． C解：去分母，将原方程两边同乘x（x﹣2），整理得2x2﹣3x+（4﹣a）=0．①方程①的根的情况有两种：（1）方程①有两个相等的实数根，即△=9﹣4×2（4﹣a）=0．解得a=．当a=时，解方程2x2﹣3x+（﹣+4）=0，得x1=x2=．（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．（i）当x=0时，代入①式得4﹣a=0，即a=4．当a=4时，解方程2x2﹣3x=0，x（2x﹣3）=0，x1=0或x2=1.5．而x1=0是增根，即这时方程①的另一个根是x=1.5．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．（ii）当x=2时，代入①式，得2×4﹣2×3+（4﹣a）=0，即a=6．当a=6时，解方程2x2﹣3x﹣2=0，x1=2，x2=﹣．x1是增根，故x=﹣为方程的唯一实根；因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是，4，6共3个．故选：C．C解：方程去分母得：ax=4+x﹣2解得：（a﹣1）x=2，∴当a﹣1=0即a=1时，整式方程无解，分式方程无解；当a≠1时，x=x=2时分母为0，方程无解，即=2，∴a=2时方程无解．故选：C．4．A5．0或﹣4解：方程去分母得：m﹣（x﹣2）=0，解得：x=2+m，∴当x=2时分母为0，方程无解，即2+m=2，∴m=0时方程无解．当x=﹣2时分母为0，方程无解，即2+m=﹣2，∴m=﹣4时方程无解．综上所述，m的值是0或﹣4．故答案为：0或﹣4．6．a＞﹣1且a≠﹣解：=﹣1，解得x=，∵=﹣1的解是正数，∴x＞0且x≠2，即0且≠2，解得a＞﹣1且a≠﹣．故答案为：a＞﹣1且a≠﹣．7．x=3解：根据题意可得：y=x+m﹣2，∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2，则关于x的方程变为+=1，解得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解，故答案为：x=3．8.﹣3＜a≤2解：设y=，方程变形为y2﹣6y+2﹣a=0，抛物线对称轴为y=3，开口向上．∵方程有实根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4（2﹣a）=28+4a≥0，解得：a≥﹣7，又y=的取值范围为0≤y＜1即方程在0≤y＜1．所以有f（0）=2﹣a≥0，f（1）=﹣3﹣a＜0，解得﹣3＜a≤2故答案为：﹣3＜a≤29．1或﹣2解：x﹣=t，则由原方程，得t2+t+2=4，整理，得（t﹣1）（t+2）=0，解得t=1或t=﹣2，所以x﹣的值是1或﹣2．故答案是：1或﹣2．10.0、或﹣111.解：原方程即：，

方程两边同时乘以x（x-2）得：2（x+1）（x-2）-x（x+2）=x2-2，

化简得：-4x=2，

解得：x=-，

把x=-代入x（x-2）=≠0，

故方程的解是：x=-．12．解：（1）由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，即可得：，解得m=18，经检验m=18是原方程的解，即m=18；（2）设买A型污水处理设备x台，则B型（10﹣x）台，根据题意得：18x+15（10﹣x）≤165，解得x≤5，由于x是整数，则有6种方案，当x=0时，10﹣x=10，月处理污水量为1800吨，当x=1时，10﹣x=9，月处理污水量为220+180×9=1840吨，当x=2时，10﹣x=8，月处理污水量为220×2+180×8=1880吨，当x=3时，10﹣x=7，月处理污水量为220×3+180×7=1920吨，当x=4时，10﹣x=6，月处理污水量为220×4+180×6=1960吨，当x=5时，10﹣x=5，月处理污水量为220×5+180×5=2000吨，答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．13．14.解：（1）①去分母，得：x2+2=3x，即x2﹣3x+2=0，（x﹣1