2023届安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试题(文科)(解析版)

2023年安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，B={1，2，3}，则A∩（∁UB）为（）A．{0，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}2．已知i为虚数单位，若复数i•z=﹣i，则|z|=（）A．1 B． C． D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则其离心率为（）A． B． C． D．4．已知，是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ、μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（）A．λ+μ=2 B．λ﹣μ=1 C．λμ=﹣1 D．λμ=15．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A． B． C． D．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为（）A．20 B．40 C．77 D．5467．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2•a3=2a1，且与a7的等差中项为，则S4=（）A．32 B．31 C．30 D．298．函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位9．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A． B．9π C． D．10π10．设函数f（x）=，则f（f（log212））=（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．坐标平面上的点集S满足S=，将点集S中的所有点向y轴作投影，所得投影线段的总长度为（）A．1 B． C． D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题，则¬p：．14．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为．15．已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f=．16．已知函数f（x）=，对任意t∈（0，+∞），不等式f（t）＜kt恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积．（Ⅰ）求C的度数；（Ⅱ）求ab的最小值．18．对某产品1至6月份销售量及其价格进行调查，其售价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份i123456单价xi（元）99.51010.5118销售量yi（件）111086514（Ⅰ）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（Ⅱ）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？（Ⅲ）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）．参考公式：回归方程，其中=．参考数据：，．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．20．已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交与A、B两点，四边形OAPB为平行四边形．（Ⅰ）证明：点P在椭圆C上；（Ⅱ）求四边形OAPB的面积．21．已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求a的值及函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若不等式xf（x）＞3lnx+（k﹣3）x在x≥3时恒成立，证明：k＜e3﹣1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N．求证：（1）△CMN为等腰三角形；（2）PB•CM=PC•BN．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l截曲线C所得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x+a|（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若f（x）+x+1≤0的解集为A，且[﹣2，﹣1]⊆A，求a的取值范围．2023年安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，B={1，2，3}，则A∩（∁UB）为（）A．{0，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U、集合B和补集的运算求出∁UB，再由交集的运算求出A∩∁UB即可．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，B={1，2，3}，∴∁UB={0，4}，∵集合A={0，2，4}，∴A∩（∁UB）={0，4}，故选：A．2．已知i为虚数单位，若复数i•z=﹣i，则|z|=（）A．1 B． C． D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi，代入i•z=﹣i，求出a，b的值，从而求出|z|的模即可．【解答】解：设z=a+bi，若复数i•z=﹣i，即i（a+bi）=﹣b+ai=﹣i，解得：a=﹣1，b=，则|z|=，故选：C．3．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则其离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线C的渐近线方程为y=，所以便得到，所以便得到其离心率e=．【解答】解：由已知条件得：；∴；即；∴椭圆C的离心率为．故选：A．4．已知，是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ、μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（）A．λ+μ=2 B．λ﹣μ=1 C．λμ=﹣1 D．λμ=1【考点】向量的共线定理．【分析】若A、B、C三点共线，则向量与平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使A、B、C三点共线的充要条件．【解答】解：若A、B、C三点共线，则向量∥即存在实数k，使得=k，∵=λ+，=+μ∴λ+=k（+μ），可得，消去k得λμ=1即A、B、C三点共线的充要条件为λμ=1故选：D5．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，利用列举法求出满足条件的事件包含的基本事件个数，根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上，当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率：P=．故选：A．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为（）A．20 B．40 C．77 D．546【考点】程序框图．【分析】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是S=S+2k+k，故由此运算规律进行计算，当k=5时不满足条件k≤4，退出循环，输出S的值为40．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得：n=4，k=1，S=0满足条件k≤4，S=0+21+1=3，k=2满足条件k≤4，S=3+22+2=9，k=3满足条件k≤4，S=9+23+3=20，k=4满足条件k≤4，S=20+24+4=40，k=5不满足条件k≤4，退出循环，输出S的值为40．故选：B．7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2•a3=2a1，且与a7的等差中项为，则S4=（）A．32 B．31 C．30 D．29【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a2•a3=2a1，且与a7的等差中项为，可得=2a1，=+a7，即5=+4，解出再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2•a3=2a1，且与a7的等差中项为，∴=2a1，=+a7，即5=+4，∴5=2（2+4q3），解得q=，a1=16，则S4==30，故选：C．8．函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意可得，函数的周期为π，由此求得ω=2，由g（x）=Acosωx=sin[2（x+）+]，根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由题意可得，函数的周期为π，故=π，∴ω=2．要得到函数g（x）=Acosωx=sin[2（x+）+]的图象，只需将f（x）=的图象向左平移个单位即可，故选A．9．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A． B．9π C． D．10π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为圆柱与球的组合体．表面共有5部分组成．【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．10．设函数f（x）=，则f（f（log212））=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】对数的运算性质；函数的值．【分析】先求出f（log212），再求出f（f（log212））即可．【解答】解：∵f（log212）=﹣6，∴f（﹣6）=1+3=4，故选：D．11．已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化为1+，然后由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线斜率的倒数求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（1，6），联立，解得A（），∵，kOB=6，∴=1+∈[]．故选：D．12．坐标平面上的点集S满足S=，将点集S中的所有点向y轴作投影，所得投影线段的总长度为（）A．1 B． C． D．2【考点】函数与方程的综合运用；曲线与方程．【分析】先求出2sin4x+2cos4x=2﹣4sin2x•cos2x=2﹣（sin2x）2的范围，即可得出函数x=log2（y2﹣y+2）的值域范围，从而求出函数函数x=log2（y2﹣y+2）的定义域，进一步可求投影长度．【解答】解：1=（sin2x+cos2x）2=sin4x+cos4x+2sin2x•cos2x，∴2sin4x+2cos4x=2﹣4sin2x•cos2x=2﹣（sin2x）2，∵x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴﹣≤sin2x≤1，∴2﹣（sin2x）2∈[1，2]∴log2（y2﹣y+2）∈[1，2]，∴2≤y2﹣y+2≤4，∴﹣1≤y≤0，或1≤y≤2故y的投影长度为1+1=2，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题，则¬p：．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题，则¬p：．故答案为：14．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线AB的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程解出p，从而得出准线方程．【解答】解：抛物线的焦点为（，0），∴直线AB的方程为：y=2（x﹣），即y=2x﹣p，联立方程组，消元得：4x2﹣6px+p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，∴p=4．∴抛物线的准线方程为：x=﹣2．故答案为：x=﹣2．15．已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f=﹣1．【考点】抽象函数及其应用．【分析】求出f（3）=0，可得f（x）是以6为周期的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解，即可得出结论．【解答】解：∵f（x+6）=f（x）+f（3）中，∴令x=﹣3，得f（3）=f（﹣3）+f（3），即f（﹣3）=0．又f（x）是R上的奇函数，故f（﹣3）=﹣f（3）=0．f（0）=0，∴f（3）=0，故f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，从而f=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．f=f（0）=0．故f=﹣1+0=﹣1，故答案为：﹣116．已知函数f（x）=，对任意t∈（0，+∞），不等式f（t）＜kt恒成立，则实数k的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】结合函数的图象和函数值，可判断只需y=lnt在y=kt的下方，求出临界值即相切时的k的值即可．【解答】解：当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x≥1时，f（x）≥0，对任意t∈（0，+∞），不等式f（t）＜kt恒成立，故函数y=f（t）在函数y=kt的下方，∴只需y=lnt在y=kt的下方，∴当两曲线相切时，设切点为横坐标为t0，∴k=，lnt0=t0，t0=，∴实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积．（Ⅰ）求C的度数；（Ⅱ）求ab的最小值．【考点】余弦定理；基本不等式；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由余弦定理及已知可得：，整理后可求cosC的值，结合范围C∈（0，π），即可得解C的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式及已知可得，利用基本不等式即可求得，从而得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可得：，整理可得：a2+b2﹣c2=﹣ab，…3分故，…5分因为C∈（0，π），故…6分（Ⅱ）因为，故…10分化简得…11分当且仅当a=b=8时等号成立．所以ab的最小值为64．…12分．18．对某产品1至6月份销售量及其价格进行调查，其售价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份i123456单价xi（元）99.51010.5118销售量yi（件）111086514（Ⅰ）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（Ⅱ）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？（Ⅲ）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）．参考公式：回归方程，其中=．参考数据：，．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）利用回归方程计算x=8时的估计值，计算误差得出结论；（3）求出利润的解析式，根据二次函数的性质得出利润取最值时的x．【解答】解：（Ⅰ）由题意知=10，==8，=，==40．∴y关于x的回归直线方程是=﹣3.2x+40．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=8时，=﹣3.2×8+40=14.4．﹣y=14.4﹣14=0.4＜0.5．∴可认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）依题意得，利润L=（x﹣2.5）•（﹣3.2x+40）=﹣3.2x2+48x﹣100（2.5＜x＜12.5）．当时，L取得最大值．即该产品的单价定为7.5元时，利润最大．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）由AD⊥平面A1BC得BC⊥AD，由AA1⊥平面ABC得BC⊥AA1，故BC⊥平面A1AB，所以BC⊥A1B；（II）设PC=x，用x表示出棱锥A1﹣BPC的体积，列出方程解出x，得到AP和PC的值．【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AA1∩AD=A，AA1⊂平面AA1B，AD⊂平面AA1B，∴BC⊥平面AA1B，∵A1B⊂平面AA1B，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB，∵AB=BC=2，∴，．∴，∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．∴BD==1，又∵AA1⊥AB，∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴，∴．∴=．解得：，∴．∴．20．已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交与A、B两点，四边形OAPB为平行四边形．（Ⅰ）证明：点P在椭圆C上；（Ⅱ）求四边形OAPB的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知F（0，1），直线l的方程为，代入，得，由平行四边形性质得，由此能证明点P在椭圆C上．（Ⅱ）由已知求出|AB|和原点O到直线l：的距离，由此能求出四边形OAPB的面积．【解答】证明：（Ⅰ）∵O为坐标原点，F为椭圆C：x2+=1在y轴正半轴上的焦点，∴F（0，1），直线l的方程为，代入并化简得，…2分设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），∵四边形OAPB为平行四边形，∴，…3分可得（x3，y3）=（x1，y1）+（x2，y2）∴，，故…5分经验证点P的坐标满足方程，故点P在椭圆C上．…6分解：（Ⅱ）∵…8分原点O到直线l：的距离…10分∴四边形OAPB的面积：．…12分．21．已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求a的值及函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若不等式xf（x）＞3lnx+（k﹣3）x在x≥3时恒成立，证明：k＜e3﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求a的值及函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若不等式xf（x）＞3lnx+（k﹣3）x在x≥3时恒成立，利用参数分离法，求函数的最值即可证明：k＜e3﹣1．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f′（x）=ex﹣a，…1分，∵A（0，1）且曲线y=f（x）在点A处的切线平行于x轴，∴f′（0）=e0﹣a=0，∴a=1…3分此时，f′（x）=ex﹣1．令f′（x）=0得x=0．当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表x（﹣∞，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+f（x）=ex﹣x单调递减极小值1单调递增∴f（x）有极小值1，无极大值…5分（Ⅱ）证明：由xf（x）＞3lnx+（k﹣3）x得…6分令，…7分，…8分，∵x≥3＞e，∴lnx＞lne=1．∴．又∵ex﹣1＞0，∴g'（x）＞0．∴g（x）在[3，+∞）上为增函数…10分∴…11分∴k＜e3﹣ln3＜e3﹣1…12分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N．求证：（1）△CMN为等腰三角形；（2）PB•CM=PC•BN．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据题意，证明