二次函数中考试题

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（2023?德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是其次象限内抛物线上的动点，其坐标为t，

①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相像点P的坐标；

②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．分析：（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类探讨当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相像三角形的性质就可以求出P点的坐标；②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论．解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO=∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．

1

=3，代入解析式为，解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣=﹣1，∴E点的坐标为（﹣1，0）．如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．∴∴MP=3EM．∵P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在二象限，∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3=3（﹣1﹣t），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（与C重合，舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P（﹣2，3）．∴当△CEF与△COD相像时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，，∴直线CD的解析式为：y=x+1．

2

设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1），∴NM=t+1．∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，∴S△PCD=PM?CM+PN?OM=PN（CM+OM）=PN?OC=×3（﹣t2﹣=﹣（t+）2++2），．+2．∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为点评：此题考察了相像三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答此题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求最大值是难点．

（2023?衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；

②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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考点：二次函数综合题分析：（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类探讨，逐一计算．解答：解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，∴，解得：a=﹣1，k=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．（2）①∵四边形OMPQ为矩形，∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，整理得：t2+5t﹣3=0，解得t=∴当t=，由于t=＜0，故舍去，秒时，四边形OMPQ为矩形；②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．若△AON为等腰三角形，有三种状况：4

（I）若ON=AN，如答图1所示：过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=OA=，∴t=；（II）若ON=OA，如答图2所示：过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD?tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），∴x=，OD=1﹣x=，∴t=；（III）若OA=AN，如答图3所示：过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD?tanA=3x，在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，即（x）2+（3x）2=12，解得x1=∴OD=1﹣x=1﹣∴t=1﹣．）秒时，△AON为等腰三角形．，，x2=﹣（舍去），综上所述，当t为秒、秒，（1﹣点评：此题考察了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类探讨计算．（2023，娄底）如图，在△ABC中，?B?45?，BC?5，高AD?4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H.

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（1）求证：

AHEF；?ADBC（2）设EF?x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时中止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，

求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围.

（2023?湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相像？并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数6法求出直线BD的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类探讨，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，x+4．，∴直线BC的解析式为：y=（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC=

==，7

AQ=CQ==，=．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，），Q3（3，4﹣）．），∴点Q坐标为：Q2（3，4+综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+Q3（3，4﹣）．点评：此题考察了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相像三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形，需要分类探讨．（2023?益阳）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）

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A．（3，1）

B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）考点：二次函数的性质．分析：根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．解答：解：抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．应选A．点评：此题考察了二次函数的性质，熟练把握顶点式解析式是解题的关键．（2023?益阳）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得xp=

，同理

，所以AB的中点坐标为

．由勾股定理得AB2=

．

注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答以下问题：

，所以A、B两点间的距离公式为

如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．

（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；

（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，直接联立求出交点坐标，进而得出C点坐标即

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可；（2）利用两点间距离公式得出AB的长，进而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；（3）点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，利用A，C点坐标得出H点坐标，进而得出CG=AH，求出即可．解答：（1）解：由，解得：，．则A，B两点的坐标分别为：A（，3﹣），B（，3+），∵P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（，3），又∵PC⊥x轴交抛物线于C点，将x=代入y=2x2中得y=，∴C点坐标为（，）．（2）证明：由两点间距离公式得：AB=∴PC=PA=PB，∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形．（3）解：过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，则H点的坐标为（，3﹣∴S△PAC=AP?CG=PC?AH，∴CG=AH=|﹣|=．），=5，PC=|3﹣|=，又直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG，∴直线l与l′之间的距离为．10

点评：此题主要考察了二次函数的综合应用以及两点之间距离公式和两函数交点坐标求法等知识，根据数形结合得出H点坐标是解题关键．（2023，永州）如图，已知二次函数y??x?m??4m（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）

（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式（3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长.

（2023?株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如下图，则m的值是（）

22(m?0)的图象与x轴交于A、B两点.

CAOMPBD?第24题图?11

A．﹣8

考点：抛物线与x轴的交点．3718684分析：根据抛物线与x轴只有一个交点，△=0，列式求出m的值，再根据对称轴在y轴的左边求出m的取值范围，从而得解．解答：解：由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，所以，△=m2﹣4×2×8=0，解得m=±8，∵对称轴为直线x=﹣∴m＞0，∴m的值为8．应选B．点评：此题考察了二次函数图象与x轴的交点问题，此题易错点在于要根据对称轴确定出m是正数．（2023?株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．[来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；

（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

＜0，8B．±8C．6D．12

考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可；（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标一致求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最终根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．解答：（1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），∵抛物线过点（0，），∴a（0﹣1）2=，解得a=，∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）2，一般形式为y=x2﹣x+；（2）解：当m=2时，m2=4，∵BC∥x轴，

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∴点B、C的纵坐标为4，∴（x﹣1）2=4，解得x1=5，x2=﹣3，∴点B（﹣3，4），C（5，4），∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣5，4），设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣5﹣1）2﹣h=4，解得h=5；（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，∴点B、C的纵坐标为m2，∴（x﹣1）2=m2，解得x1=1+2m，x2=1﹣2m，∴点C的坐标为（1+2m，m2），又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，∴CE=1+2m﹣1=2m，∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m2），∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣1﹣2m﹣1）2﹣h=m2，解得h=2m+1，∴EF=h+m2=m2+2m+1，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=．点评：此题是二次函数综合题型，主要考察了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是此题的难点．（2023?巴中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图，则以下结论中正确的是（）

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ac＞0A．当x＞1时，y随x的增大而减小B．b﹣2a=0C．D．x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根

考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．分析：由函数图象可得抛物线开口向上，得到a大于0，又抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，得到c小于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，选项A错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而增大，选项B错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项C错误；由抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（3，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的有一个根为3，选项D正确．解答：解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：抛物线开口向上，即a＞0，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即c＜0，∴ac＜0，选项A错误；由函数图象可得：当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，选项B错误；∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，选项C错误；由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），又对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根，选项D正确．应选D．点评：此题考察了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，难度适中．二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定，c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对

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称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．（2023?巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；

（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定．专题：计算题．分析：（1）求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x﹣4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；（2）求出M的坐标，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，到方程组，求出方程组的解即可；（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．解答：解：（1）∵A（4，0），B（﹣1，0），∴AB=5，半径是PC=PB=PA=，∴OP=﹣1=，在△CPO中，由勾股定理得：OC=∴C（0，2），设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x﹣4）（x+1），

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）代入得=2，把C（0，2）代入得：2=a（0﹣4）（0+1），∴a=﹣，∴y=﹣（x﹣4）（x+1）=﹣x2+x+2，答：经过A、B、C三点抛物线解析式是y=﹣x2+x+2．（2）y=﹣x2+x+2=﹣M（，），+，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得：，解得：k=，b=2，∴y=x+2，y=x+2．答：直线MC对应函数表达式是y=x+2．（3）MC与⊙P的位置关系是相切．证明：设直线MC交x轴于D，当y=0时，0=x+2，∴x=﹣，OD=，∴D（﹣，0），在△COD中，由勾股定理得：CD2=22+PC2=PD2=∴CD2+PC2=PD2，∴∠PCD=90°，∴PC⊥DC，∵PC为半径，∴MC与⊙P的位置关系是相切．

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==，===，，此题主要考察对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和把握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．（2023?郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．（1）证明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；

（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形．3718684分析：（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．解答：（1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C，

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∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形；（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k，∴EM=CM?tanC=?k=同理：FN=AN?tanA=，?k=4k﹣，由于BH=AH?tanA=×8?k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，所以，S△PCE=x?2x=x2，S△APF=（8﹣x）?（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，=64﹣x2﹣（8﹣x）2，=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，所以，当x=4时，S有最大值32．点评：此题考察了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是此题的难点．

（2023，成都）平面直角坐标系xOy中，直线y?kx（k为常数）与抛物线y?12x?2交于A，B两31PO2?PA?PB；2当k?0点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为(0,?4)，连接PA,PB.有以下说法：○○

3当k??时，(PA?AO)(PB?BO)的值随k的增大而增大；○

324?PAB面积的时，BP?BO?BA；○

3最小值为46.其中正确的是_______.（写出所有正确说法的序号）③④

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（2023，成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y??12x?bx?c（b,c为常数）的顶点为P，等腰2直角三角形ABC的定点A的坐标为(0,?1)，C的坐标为(4,3)，直角顶点B在第四象限.（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；ii）取BC的中点N，连接NP,BQ.试探究在，请说明理由.

（1）y??PQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存

NP?BQ12x?2x?12（2）M的坐标是（1-5，-5-2）、（1+5，5-2）、（4，-1）、（2，-3）、（-2，-7）

（3）

10PQ的最大值是

5NP?BQ2（2023?达州）二次函数y?ax?bx?c的图象如下图，反比例函数y?一平面直角坐标系中的大致图象是（）

b与一次函数y?cx?a在同x20

答案：B

解析：由二次函数图象，知a＜0，c＞0，?b＞0，所以，b＞0，2a所以，反比例函数图象在一、三象限，排除C、D，直线y＝cx＋a中，由于a＜0，所以，选B。（2023?达州）如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，

其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。（1）求证：CD是⊙M的切线；

（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S?QAM?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）证明：连结CM.∵OA为⊙M直径,∴∠OCA=90°.∴∠OCB=90°.∵D为OB中点,∴DC=DO.

∴∠DCO=∠DOC.………(1分）∵MO=MC,

∴∠MCO=∠MOC.………(2分）

∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.………(3分）又∵点C在⊙M上，

∴DC是⊙M的切线.………(4分）（2）解：在Rt△ACO中,有OC=OA?AC.又∵A点坐标（5，0）,AC=3,∴OC=52?32=4.

21

221S?PDM？6OCOB.?ACOA4OB20∴?.解得OB=.353∴tan∠OAC=

又∵D为OB中点，∴OD=D点坐标为（0，

10.310………

).(5分）3连接AD，设直线AD的解析式为y=kx+b,则有

?10b?,?10???b?,3j解得?3?2??5k?b?0.k??.??3?210x+.335∵二次函数的图象过M（,0)、A(5,0)，

215………

∴抛物线对称轴x=.(6分）

41515∵点M、A关于直线x=对称，设直线AD与直线x=交于点P,

44∴直线AD为y=-∴PD+PM为最小.又∵DM为定长，

∴满足条件的点P为直线AD与直线x=当x=

15的交点.………(7分）415215105时,y=-?+=.43436155………

故P点的坐标为（，）.(8分）

46（3）解：存在.∵S△PDM=S△DAM-S△PAM

11AM·yD-AM·yP221=AM(yD-yp).2110155S△QAM=AM·yQ,由（2）知D（0，),P(，）,

234611055∴×（-）=yQ解得yQ=±………(9分）636125∵二次函数的图像过M(0，)、A(5，0），

25∴设二次函数解析式为y=a(x-)（x-5).

2=

22

10)，35104a×(-）×(-5)=，a=.

231545∴y=(x-)(x-5).………(10分）

1525又∵C点在抛物线上，且yQ=±，

12455∴(x-)(x-5)=±.15212又∵该图象过点D（0，解之，得x1=

15?5215?5215，x2=，x3=.44415?5215?5255155，)，或（，)，或（，-）.…………(12分）441212412∴点Q的坐标为（

（2023?德州）以下函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是A．y??x?1

B．y?x2?1

2C．y?1xD．y??x?1

2（2023?德州）函数y?x?bx?c与y?x的图象如下图，有以下结论：

y①b?4c?0；②b?c?1?0；③3b?c?6?0；④当1?x?3时，x?(b?1)x?c?0；其中正确的个数是：（）A．1B．2C．3D．4

（2023?德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC．抛物线y?ax?bx?c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式．

（2）若点P是其次象限内抛物线上的动点，其横坐标为t．

①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相像时点P的坐标．

②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．

22231O第11题图

13xyB23yB

24

（2023?广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，对称轴是直线x=1．以下结论：①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O其中正确的是（）

①③A．

考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线开口向下，得到a小于0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b大于0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac大于0，选项②错误；由x=﹣2时对应的函数值小于0，将x=﹣2代入抛物线解析式可得出4a﹣2b+c小于0，最终由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到b=﹣2a，得到选项④正确，即可得到正确结论的序号．解答：解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，B．只有②②④C．③④D．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，②正确，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误；∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，而x=0时对应的函数值为正数，∴4a+2b+c＞0，④正确；则其中正确的有②④．应选C．点评：此题考察了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1，2及﹣2对应函数值的

25

正负来判断其式子的正确与否．

（2023?广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．

①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保存根号）

考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边〞证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．

26

解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，=，此时x=﹣，y=﹣+∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣=﹣1，（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，27

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，∴∠APF=∠QPM，∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS），∴PF=PQ，设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4=0，解得n1=﹣1﹣n=﹣1﹣所以，点P的坐标为（（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，（舍去），n2==，，）；，28

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN，又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ，∴PF=AQ，设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，解得x=﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣﹣1，2）．，），当顶﹣1，此时点P坐标为（﹣综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．点评：此题是二次函数综合题型，主要考察了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出△PDE是等腰直角三角形，从而判断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．（2023凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y=﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．

解：在抛物线y=﹣x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（﹣1，3），再向下平移2个单位得到A″（﹣1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．

设平移后的抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+c．则点A（″﹣1，1），B（″0，2）在抛物线上．可得：解得：

．所以平移后的抛物线的解析式为：y=﹣x2+2．

，

29

根据以上信息解答以下问题：将直线y=2x﹣3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．

考点：二次函数图象与几何变换；一次函数图象与几何变换．专题：阅读型．

分析：根据上面例题可在直线y=2x﹣3上任取两点A（0，﹣3），由题意算出A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′点坐标，再设平移后的解析式为y=2x+b，再把A′点坐标代入解析式即可．解答：解：在直线y=2x﹣3上任取两点A（0，﹣3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′（3，﹣2），设平移后的解析式为y=2x+b，

则A′（3，﹣2）在y=2x+b的解析式上，﹣2=2×3+b，解得：b=﹣8，

所以平移后的直线的解析式为y=2x﹣8．

点评：此题主要考察了一次函数图象的几何变换，关键是把握一次函数图象平移后k值不变

（2023凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相像？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

30

（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；

（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相像时，分两种状况进行探讨：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相像三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相像三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴

，解得

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴

，解得

，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为（m，﹣m+4），

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+4），

∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相像．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相像，分两种状况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=

．

31

∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM为直角三角形；

②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=1．

∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，

∴△PCM为等腰三角形．

综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相像．此时m的值为腰三角形．

或1，△PCM为直角三角形或等

点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相像三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相像三角形的对应边和对应角不明确时，要分类探讨，以免漏解．

（，1?3）（2023?泸州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，已知抛物线（?2，0）y?ax2?bx?c(a?0)经过三点A、B、O(O为原点).

（1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使?BOC的周长最小。若存在，求出点C的坐标。若不存在，请说明理由；

32

（3）假使点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么?PAB是否有最大面积。若有，求出此时P点的坐标及?PAB的最大面积；若没有，请说明理由。（注意：此题中的结果均保存根号）。

（2023?眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M。⑴求这条抛物线的解析式；

⑵P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

⑶请直接写出将该抛物线沿射线．．AD方向平移2个单位后得到的抛物线的解析式。

yMyxAOBDBOAxC

（2023?绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，给出以下结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n＜?序号）。

-1O

b；④3|a|+|c|＜2|b|。其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论ay118题图33x

（2023?绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。（1）求二次函数的解析式和B的坐标；

（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相像，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？假使存在，请求出点Q的坐标；假使不存在，请说明理由。

y

AOCBDxl34

（2023?内江）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则以下说法不正确的是（）抛物线开口向上A．C．当x=1时，y的最大值为﹣4

考点：二次函数的性质．分析：A根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向．B利用x=﹣可以求出抛物线的对称轴．B．抛物线的对称轴是x=1D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值．D当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标．解答：解：∵抛物线过点（0，﹣3），∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确．B、根据抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1，正确．C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x=1时，y的最小值为﹣4，而不是最大值．故本选项错误．D、当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．正确．应选C．点评：此题考察的是二次函数的性质，根据a的正负确定抛物线的开口方向，利用顶点坐标公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标．（2023?内江）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

35

考点：二次函数综合题．分析：（1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最终得出结论；（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式．解答：解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），令x=0，得y=﹣5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）．依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC=（DE+OA）?OE﹣DE?CE﹣OA?OC=（2+5）?9a﹣×2×4a﹣×5×5a=15a，而S△ABC=AB?OC=×6×5a=15a，∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1；（2）如解答图所示，在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，

36

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，∵a＞0，∴a=，（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．∴抛物线的解析式为：y=点评：此题考察了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要细心认真，避免出错．注意第（1）问中求△ACD面积的方法．（2023?遂宁）如图，抛物线y=

x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx

过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=

x2+bx+c与直线y=kx

的解析式；

（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．

37

考点：二次函数综合题．分析：（1）将A，B两点分别代入y=x2+bx+c进而求出解析式即可；（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．解答：解：（1）∵y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）∴由此得，解得．∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+，∵直线y=kx﹣经过点A（2，0）∴2k﹣=0，解得：k=，∴直线的解析式是y=x﹣，（2）设P的坐标是（x，∴PM=（x2﹣x+），则M的坐标是（x，x﹣）x2﹣x+）﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，解方程得：，，38∵点D在第三象限，则点D的坐标是（﹣8，﹣7），由y=x﹣得点C的坐标是（0，﹣），∴CE=﹣﹣（﹣7）=6，由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即﹣x2﹣x+=6解这个方程得：x1=﹣2，x2=﹣4，符合﹣8＜x＜2，当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3，当x=﹣4时，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=，因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）；（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6由勾股定理得：DC=∴△CDE的周长是24，∵PM∥y轴，∵∠PMN=∠DCE，∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE，∴=，即=，x+，化简整理得：l与x的函数关系式是：l=﹣x2﹣l=﹣x2﹣∵﹣＜0，∴l有最大值，当x=﹣3时，l的最大值是15．x+=﹣（x+3）2+15，（2023?雅安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）39

A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的状况，即可得解．解答：解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=﹣∴b＜0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴y=ax+b的图象经过第一三象限，且与y轴的负半轴相交，反比例函数y=图象在第一三象限，只有B选项图象符合．应选B．点评：此题考察了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练把握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的状况是解题的关键．＞0，点评：此题主要考察了二次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交点求法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出PM=CE进而得出等式是解题关键．40

（2023?雅安）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2

考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据“左加右减、上加下减〞的原则进行解答即可．解答：解：将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=（x﹣1+1）2+3，即y=x2+3；再向下平移3个单位为：y=x2+3﹣3，即y=x2．应选D．点评：此题考察的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

（2023?雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

B．y=（x﹣2）2+6y=x2+6C．y=x2D．

考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；

41

（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最终表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．解答：解：（1）由题意可知：解得：∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF?GH+EF?AC=EF?AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；

42

，BC=；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）．点评：此题主要考察了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．

43

（2023宜宾）对于实数a、b，定义一种运算“?〞为：a?b=a2+ab﹣2，有以下命题：①1?3=2；②方程x?1=0的根为：x1=﹣2，x2=1；③不等式组

的解集为：﹣1＜x＜4；

④点（，）在函数y=x?（﹣1）的图象上．其中正确的是（）

A．①②③④B．①③C．①②③

D．③④

考点：二次函数图象上点的坐标特征；有理数的混合运算；解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组；命题与定理．专题：新定义．

分析：根据新定义得到1?3=12+1×3﹣2=2，则可对①进行判断；根据新定义由x?1=0得到x2+x﹣2=0，然后解方程可对②进行判断；根据新定义得

，解得﹣1＜x＜4，可对③进行判断；

根据新定义得y=x?（﹣1）=x2﹣x﹣2，然后把x=代入计算得到对应的函数值，则可对④进行判断．解答：解：1?3=12+1×3﹣2=2，所以①正确；∵x?1=0，∴x2+x﹣2=0，

∴x1=﹣2，x2=1，所以②正确；

∵（﹣2）?x﹣4=4﹣2x﹣2﹣4=﹣2x﹣2，1?x﹣3=1+x﹣2﹣3=x﹣4，∴

，解得﹣1＜x＜4，所以③正确；

∵y=x?（﹣1）=x2﹣x﹣2，

∴当x=时，y=﹣﹣2=﹣，所以④错误．应选C．

点评：此题考察了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式．也考察了阅读理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式组．

（2023宜宾）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．（1）请直接写出抛物线y2的解析式；

44

（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；

（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．

分析：（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可；

（2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出∠OBA=45°，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种状况求解；

（3）先求出直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值．

解答：解：（1）抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1；（2）x=0时，y=﹣1，

y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，所以，点A（1，0），B（0，﹣1），∴∠OBA=45°，联立

，

解得，

∴点C的坐标为（2，3），∵∠CPA=∠OBA，

∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0），在点A的右边时，坐标为（5，0），

45

所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（3）存在．∵点C（2，3），

∴直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，

联立，

消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，

当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，此时x1=x2=×（﹣此时y=（

）=

，，，﹣

），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，

﹣4）2﹣1=﹣

∴存在第四象限的点Q（

此时△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0，解得b=﹣

，

，

∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣令y=0，则x﹣

=0，解得x=

，，0），

设直线与x轴的交点为E，则E（

过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC=则sin∠COD=解得h最大=

=×

=，

．

=，

46

点评：此题是二次函数综合题型，主要考察了利用平移变换确定二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，等腰三角形的判定与性质，（3）判断出与OC平行的直线与抛物线只有一个交点时OC边上的高h最大是解题的关键，也是此题的难点．

（2023?资阳）如图2，抛物线y?ax2?bx+c(a?0)过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设P=a?b?c，则P的取值范围是A

A．-4＜P＜0

B．-4＜P＜-2D．-1＜P＜0

C．-2＜P＜0

图2

?x?2y?a（2023?资阳）在关于x、y的二元一次方程组?中.

2x?y?1?（1）若a=3，求方程组的解；（4分）

（2）若S?a(3x?y)，当a为何值时，S有最值；（4分）

?x?1.（1）?，·······················································································································4分

y?1?（2）易求3x?y?a?1，····································································································5分则S?a2?a，························································································································6分11∴S?a2?a?(a?)2?，·································································································7分

241∴当a??时，S有最小值.8分

2（2023?资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC、CD上的动点，

连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N.

（1）如图8-1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（4分）

（2）如图8-2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）：

①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点〞的真假，并说明理由.（4分）

47

②连结FM、FN，△MNF能否