泛函分析第3章 连续线性算子与连续线性泛函

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第3章连续线性算子与连续线性泛函

本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界限性算子与有界限性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光彩的成果，有广泛的实际背景，特别在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1连续线性算子与有界限性算子

在线性代数中，我们曾遇到过把一个n维向量空间En映射到另一个m维向量空间Em的运算，就是借助于m行n列的矩阵

?a11a12?a1n??a?a?a21222n?A?????????aa?amn??m1m2对En中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算

抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界限性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义3.1]由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间Y中的映射T称为算子，D称为算子T的定义域，记为D?T?，为称像集yy?Tx,x?D?T?为算子的值域，记作T?D?或TD。

若算子T满足：（1）T?x?y??Tx?Ty（2）T(?x)??Tx????x,y?D?T??????F,x?D?T??

称T为线性算子。对线性算子，我们自然要求T?D?是X的子空间。特别地，假使T是由X到实数（复数）域F的映射时，那么称算子T为泛函。

例3.1设X是赋范线性空间，?是一给定的数，映射T:x??x是X上的线性算子，称为相像算子；当??1时，称T为单位算子或者恒等算子，记作I。

例3.2?x?C?a,b?，定义Tx?t???x???d?

at由积分的线性知，T是C?a,b?到C?a,b?空间中的线性算子。若令

f?x???x???d?ab??x?C?a,b??

应用泛函分析(其次版)

则f是C?a,b?上的线性泛函。

[定义3.2]设X,Y是两个赋范线性空间，称T在x点T:X?X是线性算子，连续的，是指若?xn??X,xn?x，则Txn?Tx?n???；若T在X上每一点都连续，则称T在X上连续；称T是有界的，是指T将X中的有界集映成Y中有界集。

[定理3.1]设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性算子，若T在某一点x0?D?T?连续，则T在D?T?上连续。

证明：对?x?D?T?，设?xn??D?T?，且xn?x?n???，于是

xn?x?x0?x0?n???，由假设T在x0点连续，所以当n??时，有

T?xn?x?x0??Txn?Tx?Tx0?Tx0

因此，Txn?Tx，即T在x点连续。由x的任意性可知，T在D?T?上连续。定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子T连续等价于若，则Txn??（Y中零元）。xn??（X中零元）

例3.3若T是n维赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T在

X上连续。

证明：在X中取一组基?e1,e2,?,en?，设

xm??x?jm?ej?Xj?1n?m?1,2,3,??

且xm???m???，即xm?0?m???，则

??m??x??j??0?j?1?n??122?m???

m从而x?j??0?j?1,2,3,?n??m???。于是

nnTxm??xj?1?m?jTej?maxxj1?j?n?m??Tej?1j?0?m???

因此，Txm???m???，即T在x??处连续，进而T在X上每点连续。

[定理3.2]设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性映射，

第三章连续线性算子与连续线性泛函

则T有界的充分必要条件是：存在常数M?0，使不等式成立，即

Tx?Mx??x?D??T证明：必要性。因T有界，所以T将D中的闭单位球B1????xx?1映成

??Y中的有界集，即像集TB1???是Y中的有界集。记M?sup?Tx:x?B1????，此

时，对每个

x?D?T?,x??,x?B1???，由Mx的定义有

?x?T??x???M????????（3.1）??即Tx?Mx，而当x??时，不等式（3.1）变成等式。故?x?D?T?有Tx?Mx充分性。设A是D?T?的任一有界集，则存在常数M1使x?M1??x?A?。由Tx?Mxx?D?T?知

??Ty?My?MM1?y?A?

故TA有界。证毕。

[定理3.3]设X,Y是两个赋范线性空间，T是从X的子空间D到Y中的线性映射，则T是连续的充要条件是T是有界的。

证明：充分性。设T有界，则存在常数M?0，使对一切

x?D?T?,T?x，从而对Mxxn?x?n???,?x?n??D?T?有

Txn?Tx?T?xn?x??Mxn?x?0即Txn?Tx?n???。所以，T是连续的。

?n???

必要性。若T连续但T是无界的，那么对每个n?N，必存在xn?D?T?，使Txn?nxn，令yn?xn1，那么yn??0?n???，即yn??，由T的连

nnxnnxnTxn??1，引出矛盾，续性，Tyn???n???，但是另一方面，Tyn?nxnnxn故T有界。

定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用

应用泛函分析(其次版)

L?X,Y?表示X到Y的有界限性算子组成的集合。

例3.1，例3.2的线性算子均易证明是有界限性算子，但无界限性算子是存在的。

例3.4考察定义在区间?0,1?上的连续可微函数全体，记作C1?0,1?，其中范数定义为x?maxx?t?，不难证明，微分算子

0?t?1d是把C1?0,1?映入C?0,1?中的线dt性算子。

取函数列?sinn?t?，显然，sinn?t?1，但

dsinn?t?n?cosn?t?n????n???dt因此，微分算子是无界的。

[定义3.3]设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的有界限性算子，对一切x?X，满足Tx?Mx的正数M的下确界，称为算子T的范数，记作T。

由定义可知，对一切x?X，都有Tx?Tx。

[定理3.4]设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的有界限性算子，则有

T?supTx?supTx?supx?1x?Xx?1x?Xx??x?XTxx证明：由Tx?Tx，易得

T?supTx??????????????（3.2）

x?1x?X根据T的定义，对于任给的??0，存在非零x0?X，使

Tx0??T???x0

??令x0x0???T???，因此，则有Tx0x0?T????supTx?supTx

x?1x?Xx?1x?X令??0得T?supTx?supTx????????（3.3）

x?1x?Xx?1x?X第三章连续线性算子与连续线性泛函

由式（3.2）和式（3.3），便得

T?supTx?supTx

x?1x?Xx?1x?X而T?supx??x?XTx，由定义易知。x1例3.5在L?a,b?上定义算子T如下

?Tf??x???f?t?dt,ax??f?L?a,b??

11（1）把T视为L?a,b?到C?a,b?的算子，求T；1（2）把T视为L?a,b?到L1?a,b?的算子，求T。

解：算子T的线性是显然的，下面分别求T。

1（1）设T：L?a,b??C?a,b?，任取f?L1?a,b?，由于Tf?C?a,b?，从而

Tf?maxf?T??a?x?b?x?ma?xa?x?abx?f?xtdtba?max?f?t?dt??f?t?dt?f

a?x?ba故T是有界的，并且T?1。另一方面，取f0?t??1,t??a,b?，并且b?af0??f0?t?dt??ab1dt?1ab?ab于是

T?supTf?Tf0?max?f?1a?x?bb11dt??dt?1ab