第14章 部分习题解

本文格式为Word版，下载可任意编辑——第14章部分习题解第一章

1-1一维运动的粒子处在下面状态

?Axe??x?(x)???0(x?0,??0)(x?0)

①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大?

解：（1）由归一化条件，知A2??0x2e?2?xdx?1

得到归一化常数A?2??所以归一化波函数为

?2??xe??x?(x)??0?（2）粒子坐标的概率分布函数

(x?0,??0)(x?0)w(x)??(x)?2?4?3x2e?2?x0(x?0,??0)(x?0)

11dw(x)x?x?0,x??0?，根据题意x=0处，w(x)?0，所以?处粒子（3）令dx得到的概率最大。

1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n。

①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少?②n取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?

③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明白什么问题?

解：（1）距势阱的左壁1/4宽度，即x的取值范围是-a~-a/2，发现粒子概率为：

P(x)???a?x?a/2|?a2a?a/212n?1?a/2n?sin(x?a)dx?[1?cos(x?a)]dx?a2a2a?aa1an?11n?a/2?sin(x?a)|???sin?a2an?a42n?246?（2）n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大P(x)?1?1。

max（3）当n→∞时，P(x)?1。这时概率分布均匀，接近于宏观状况。

411-3一个势能为V(x)?m?2x2的线性谐振子处在下面状态，

2?(x)?Ae?1?2x22(??m?)?1求①归一化常数A；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值U?m?2x2

2解：

（1）利用泊松积分?e?xdx???2??xAedx?1???由归一化条件：

??22??2?

令?x?t，则dx?即A211?dtA?

?（2）振子的概率密度w(x)?|?(x)|2??e??x

?22?A21??t???edt?1??2??1，??1/4令dw(x)?0，即

dx???xe?(??2)*2x?0,?22x?0;

振子出现的概率最大位置是x=0。

（3）势能平均值

111???2??x??U?m?2x2?m?2????*x2?dx?m?2?xedx222???1?m?2????212???x??x?m?xde?xde??2????2?2x4?????m?2?m?2??????x??x???(xe|??????edx)?*4??4???m?21????24?422222222221-4设质量为m的粒子在以下势阱中运动，求粒子的能级。

x?0???V(x)??122m?xx?0??2解:注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足同

样的波动方程，但根据题意，x2-4.一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区边界q??止，光频支所有重原子M静止。

?2a处，声频支中所有轻原子m静

解：当q???2a时，???2?2?，???;mM2?代入2-43得：

M对于声频支：将q???2a，???（m-1）A=0?A=0，即轻原子m静止；M对于光频支：将q???2a，???2?代入2-43得：m(M-1)B=0?B=0，即重原子M静止；m2-5.什么叫声子?它和光子有何异、同之处?

不同点：光子是电磁波能量的量子化；声子是格波能量的量子化；一致点：都是玻色子，起传递能量的作用；

2-6.一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5×1.67×10-27kg，另一种原子的质量M=4m，力常数β=15N·m-1，求：

0(a)光学波的最大频率和最小频率?max、?minA(b)声学波的最大频率?max

0(c)相应的声子能量是多少eV?

0A(d)在300K可以激发频率为?max、?min、?max的声子的概率?0(e)假使用电磁波来激发长光学波?max振动，试问电磁波的波长要多少?

0解：??mM?0.8m

m?M（a）?0max?2?2???6.0?1013rad/s?6.7?1013rad/s，?0minm?（b）?max?A2??3.0?1013rad/s，M0（c）E1???0eV，E2???main?0.040eV，E3???AeVmax?0.044max?0.020（d）由玻色-爱因斯坦分布，f?1eE/k0T?1

f?0?max1eo??mka/xT0?1?0.22；

f?0?min1eo??min/k0T?1?0.28；

f?A?max1eA??max/k0T?1?0.87；

(e)由h???c??ho??max可得：2?2?c?2.8?10?5mo?max1??，试用德拜模型求晶体的零点振动能。22-7.设晶体中每个振子的零点振动能量

解：晶体的零点振动能E0是各振动模式零点能之和，并且

3V?2?(?)d??23d?2?vp?06?2N()=vpV?D3?E0???0(?)?(?)d???0?0013V?29N???23d??N?(6?2)1/3vp22?vp8V?3V??D39()v???N??DpD16?2vp8

2-8.设长度为L的一维简单晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示成

?U(a??)??Acos()。试由简谐近似求

a（1）色散关系；（2）模式密度?(?)；

（3）晶格热容（列出积分表达式即可）解：（1）原子间的弹性恢复力系数为

r?a????r?ar?a??2d[?Acos()]??dU11a?aAa?=(2)a???2??A???cos2drdraaaa????a2将上式代入本教材一维简单晶格的色散关系式（2-34）中，即??2得到：

1sinqa，m2???2A1/21()sinqaam2?/a（2）对于一维简单晶格，有

???D?D0?(?)d??????/a?(q)dq?N，q值分布密度?(q)?L/2?

LNadq?dq，所以：2?2?在波矢q?q?dq中的振动模式数为?(q)dq???0?(?)?/a?/ad?d?dq???(?)dq???(q)dq

??/a??/adqdq所以，?(?)d???(q)dqd??qaaqaa?acos()??0[1?sin()2]1/2?(?02??2)1/2代入上式，有dqm2222?(?)??(q)(d??1Naa)?[(?02??2)1/2]?1dq2?2N1??(?02??2)1/2（3）利用教材其次章中的式（2-81），得CV?

??D0L??2e??/k0Tk0()??/k0T2a?k0T(e?1)2(?02??)1/2d?

2-9.有人说，既然晶格独立振动频率υ的数目是确定的(等于晶体的自由度数)。而hυ代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。这种说法是否正确?提醒：不正确，由于平均声子数与与温度有关。

2-10.应用德拜模型，计算一维、二维状况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。解：（1）一维状况下，q值分布密度?(q)?L/2?

由习题2-7（2）的结论可知：?(?)d?d???(q)，又由于vp?q??，所以?vpdqdq所以振动频谱密度?(?)??(q)L?vp2?vp德拜温度?D???Dk0其中?D满足

??D0?(?)d??2N?vpL?D?N，所以?D?L2?vp利用教材其次章中的式（2-81）

LCV?2?vpT?Nk0?D?0?D0??2e??/k0Tk0()d?k0T(e??/k0T?1)2exxdx?Tx2(e?1)2，其中x????D/T??k0T（2）二维状况下

在波矢q?q?dq中的振动模式数为

??SS?d?S??2?qdq????d?(2?)22?vpvp2?v2p与一维求解思路一致，但必需注意二维时需计及两种弹性波（一个纵波和一个横波），则

?(?)d??2?S?S?S?，所以振动谱密度；d??d??(?)?2222?vp?vp?vp?DN?1/2??D)，德拜温度?D?，其中?D满足??(?)d??2N，所以?D?2vp(0Sk02?vpN?1/2?D?()；利用教材其次章中的式（2-81）

k0SSCV?2?vp?4Nk0(??D0??2e??/k0T?k0()d?k0T(e??/k0T?1)2xT2?D/T3e2)?xxdx?T?D0(e?1)2

2-11.简述绝缘体热导在以下三个温度范围内和温度的关系，并说明物理原因：

①T>>θD②T于T3。所以有

C?eV?22Nk0(T)?2.08T?10?3TFTF?1.96?104K

12?4TC?Nk0()3?2.57T3?10?35?DaV?D?91K

5.一维周期场中电子波函数?k?x?应当满足布洛赫定理，若晶格常数是a，电子的波函数为

(a)?k?x??sin?a3?x(b)?k?x??icosa(c)?k?x??x

l????f?x?la?(f是某个确定的函数)

?试求电子在这些状态的波矢解:(a)?k?x??eikxuk(x)所以uk(x)?e?ikx?k?x?考虑到uk(x)?uk?x?a?则有e所以，e?ikxsin?ax?e?ik(x?a)sin2n?1?a?a(x?a)

n?0,?1,?2?，仅考虑第一布里渊区??ika??1,得k=?a?k??a，

k??a

（b）与（a）同样方法，得

k?2n?1?a2n?an?0,?1,?2?，仅考虑第一布里渊区??a?k??a内，k??a内k??a

（c）与（a）同样方法，得k?n?0,?1?,?2，仅考虑第一布里渊区??a?k??a内，k?0

06.证明，当k0T??EF时，电子数目每增加一个，则费米能变化

0?EF?10g(EF)0其中g(EF)为费米能级的能态密度。

解：由本教材第三章的式（3-21）知

h23n23?2NE?()?(3?2)23

2m8?2mV0F电子每增加一个，费米能级的变化为

?23?22323?E?()[（N+1）-N23]

2mV0F（N+1）?N注意到，

22232/3(1?2312/32)?N2/3(1?)，N3N2221343243所以?EF?0?3?232N?3?23??3?????()=()??112122mV3NV3N3m3m?N3?V3(3N)3?m?V332并由本教材第三章的式（3-14）可得到：

2m(2m)?Vm00122N132N13g(EF)?4?V(2)32(EF)?4?V???(3?)??(3?)hh3(2m)12V?2?2V?3???N?V?m(3N)?m?V?42213??V2???301323131323

所以?EF?10g(EF)7.试证明布洛赫函数不是动量的本征函数

???p?即可，其中p?为动量算符，?为布洛赫函数提醒：只要证明p8.电子在周期场中的势能

12V?x??m?2?b2??x?la?????????la?b?x?la?b???2??????????0?????????????????????????????????????????l?1?a?b?x?la?b?且a=4b，ω是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。

解：V(x)曲线如下图所示：

V(x)mω2b2/2-5b-4b-3b-2b-b0b2b3b4b5b

V(x)是以a为周期的周期函数，所以

V?x??11a?b1b1b1222V(x)dx?V(x)dx?V(x)dx?m?(b?x)dx????L?b?b?bLaaa2233m?2m?2b2b1??2b3????m?2?m?b22a2a33a6

第四章

4.当E-EF分别为kT、4kT、7kT，用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结果进行探讨。

解：电子的费米分布fF?D?E??11?eE?EFk0T，玻尔兹曼近似为fM?B?E??e?E?EFk0T

（1）E-EF=kT时fF?D?E??1?0.26894，fM?B?E??e?1=0.367881?e1?0.01832，fM?B?E??e?4?0.0179941?e1?7?0.00091，fE?e?0.00091??M?B71?e（2）E-EF=4kT时fF?D?E??（3）E-EF=7kT时fF?D?E??E?EFk0T当e远大于1时，就可以用较为简单的玻尔兹曼分布近似代替费米狄拉克分布来计

算电子或空穴对能态的占据概率，此后题看出E-EF=4kT时，两者区别已经很小。5.设晶格常数为a的一维晶格，导带微小值附近的能量Ec(k)和价带极大值附近的能量Ev(k)分别为

?2k1?2k2?2?k?k1?3?2k2Ec?k???Ev?k???3mm6mm，

式中m为电子惯性质量，k1??/a,a?3.14?,试求出：

22（1）禁带宽度

（2）导带底电子的有效质量；（3）价带顶空穴的有效质量；

（4）导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量。

?Ec(k)2h2k2h2?k?k1??0即解：（1）令??0?k3m0m0得到导带底相应的k?3k14?Ev(k)6h2k?0即令?0?km0得到价带顶相应的k?0

故禁带宽度

3??Eg?Ec?k?k1??Ev?k?0?4?????3???1??k?kk?k???1??1?3m0?4?m0?4?6m012m02222221221

?2?2将k1=π/a代入，得到Eg?212m0ad2EC3?m0（2）导带底电子有效质量m??/dk2821?2dEV?|m0（3）价带顶空穴有效质量mp?|?/dk26?3?3h3??（4）动量变化为?p???k1?0???48a4a???n27.试证明半导体中当

?n??p且电子浓度n0?ni?p?n;空穴浓度p0?ni?n?p时，

材料的电导率?最小，并求?min的表达式。试问当n0和p0（除了n0=p0=ni以外）为何值时，该晶体的电导率等于本征电导率？并分别求出n0和p0。已知

cm2/V?s,?n?3800cm2/V?sni?2.5?1013/cm3,?p?1900

ni2解：（1）??n0q?n?p0q?p?n0q?n?q?p

n0d?ni2由?0得n0?ni?p/?n，p0??ni?n/?pdn0n0d2?又?0，2dn0ni2?ni?n/?p时，???min?2niq?n?p所以当n?ni?p/?n，p?n（2）当材料的电导率等于本征电导率时，有：

ni2n0q?n?q?p?niq(?n??p)

n0即n0解得：n0?2?n?n0ni(?n??p)?ni2?p?0

ni(?n??p)?[ni2