第六章 定积分的应用作业习题

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1、求抛物线y?3?2x?x2与Ox轴所围成图形的面积。2、求抛物线y2?x与y2??x?4所围成图形的面积。3、求圆x2?y2?r2的面积、圆周长。

?x?acos3t,4、求星形线?(0?t?2?)围成图形的面积，全周长，绕x轴3?y?asint,旋转体体积。

5、求三叶玫瑰线r?asin3?的面积。6、求双纽线r2?a2cos2?的面积。

7、求心脏线r?a(1?cos?)绕极轴旋转所成旋转体体积。

?x?a(t?sint),(0?t?2?)与x轴围成图形的面积，8、求摆线?弧长，绕xy?a(1?cost),?轴旋转体体积。

?aax9、求悬链线y?(e?ea)?ach,(x?a)下的曲边梯形的面积，弧长，

2axx绕x轴旋转体体积。

10、抛物线y2?2px,(0?x?a)绕x轴旋转所得旋转抛物面的体积。11、证明曲线y?sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2?y2?2的周长。

x2y2z212、求椭球体2?2?2?1的体积。

abc13、设有一半径为R，长度为l的圆柱体平放在深度为2R的水池中（圆柱体的侧面与水面相切）。设圆柱体的比重为?(??1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？

14、一块高为a，底为b的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶

在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力。

15、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时能将铁钉击入木板内1cm，假使铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击其次次时，能将铁钉又击入多少cm？

作业习题参考答案：

1、解：y?3?2x?x2?(3?x)(1?x),令y?0得x??3or1。

故抛物线与Ox轴交点为(?3,0)及(1,0)，所求图形为Ox轴上半部分。S???3f(x)dx???3(3?2x?x2)dx?1132。32、解：两条抛物线交点为(2,?2),(2,2)。则S???2[(?y2?4)?y2]dy?2?0(4?2y2)dy?22162。33、解：由对称性，只需考虑第一象限，

S1??r21?cos2t?rdt?；r?xdxx?rsint?2rcost?rcostdt?r?20234??2220故圆面积为S??r2。

?x?rcost,由圆的参数方程?，求周长只需考虑第一象限，

y?rsint,???l1??20rsint?rcostdt?r?2dt?02222?r2；

圆周长l?4l1?2?r。

4、解：由对称性只需考虑第一象限，S?4?0ydx?4??asint?3acost(?sint)dt?12a322a0?2?206(si4nt?sint)dt?3?2a；8??l?4?

20[x?(t)]?[y?(t)]dt?4?23acostsintdt?6a；

220V?2??y2dx?2???a2sin6t?3acos2t(?sint)dt02a0??6?a3?2sin7t(1?sin2t)dt?0323?a;105

5、解：三叶玫瑰线一瓣对应角?从0到，故

1323323a22S?3??0r(?)d???0asin3?d??222????3?301?co6s??d??a2。2416、解：S?4??04r2(?)d??2?04a2cos2?d??a2sin2?4?a2。

20???7、解：??x?rcos??a(1?cos?)cos?

?y?rsin??a(1?cos?)sin??2V???0a2(1?co?s)2sin?d(a(1?co?s)co?s)

??a3??0(1?cos?)2(1?2cos?)sin3?d?

18t?cos??a3?(1?t)2(1?2t)(1?t2)dt??a3。?138、解：S??0y(t)x?(t)dt??0a(1?cost)a(1?cost)dt?a2?0(1?cos2t)dt?3?a3；

l??2?02?2?2?[x?(t)]2?[y?(t)]2dt??2?2?2?02?ta2(1?cost)2?a2sin2tdt?2a?sindt?8a；02V???y2(t)dx(t)???a2(1?cost)2d(a(t?sint))??a3?(1?cost)3dt?5?2a3

0002?9、解：S???ay(x)dx???aachdx?2a2sh1；

l??a?aaaxa1?[y?(x)]dx??2a?aax2x1?(sh)dx??chdx?2ash1；?aaaaax1V???y2(x)dx???a2(ch)2dx??a3(1?sh2)。?a?aa210、解：V???0y2dx???02pxdx??pa2。11、证：曲线y?sinx的一个周期的弧长为

L1??2?0aa1?y?2dx??222?01?cos2xdx；

?x?cost对于椭圆2x?y?2，由于其参数方程为?

y?2sint?故L2??0??02?[x?(t)]2?[y?(t)]2dt??1?cos2tdt??2?02?0(?sint)2?(2cost)2dt

2?1?cos2xdx；

可见L1?L2。

12、解：用垂直于x轴的平面截椭球，交x轴于x?[?a,a]，所得截面为椭圆

y2z2x2?2?1?2,即2bcay2(b1?x2)2a2?z2(c1?x2)2a2?1,

于是此椭圆的面积为S(x)??bca2a?bc4从而椭球体的体积为V???a2(a2?x2)dx??abc。

3a(a2?x2)，

13、解：建立如下图坐标系，把平放的圆柱体从水中移出，相当把每一个水平薄板提高2R，所做的功包括将薄板提升到水面提升力所做的功及从水面提高到R?y高度提升力所做的功之和；水下部分提升力F1?(??1)2xldy，所以dw1?(??1)2xl(R?y)dy,水上部分提升力F1??2xldy，

dw2??2xl(R?y)dy,

yoR+yyR-yxx故dw?dw1?dw2?2lR2?y2[(2??1)R?y]dy，因此w???R2lR2?y2[(2??1)R?y]dy?(2??1)l?R3。

14、解：如下图，取水平面上的底为x轴，则AB直线的方程为

xybb??1,?x??y,ba22a2bb所以ds?2xdy?(a?y)dyco