矩阵及其运算演示文稿

矩阵及其运算演示文稿现在是1页\一共有38页\编辑于星期四第五讲

矩阵及其运算一、矩阵二、矩阵的运算现在是2页\一共有38页\编辑于星期四√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地ABCD例1

某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:√√一、矩阵1.引例现在是3页\一共有38页\编辑于星期四为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.现在是4页\一共有38页\编辑于星期四其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例2

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．现在是5页\一共有38页\编辑于星期四称为

m行

n列矩阵，简称

m×n矩阵．记作2.矩阵的定义

定义1由

m×n

个数排成的

m行

n列的数表现在是6页\一共有38页\编辑于星期四元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.简记为现在是7页\一共有38页\编辑于星期四行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式现在是8页\一共有38页\编辑于星期四（1）行数与列数都等于

n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.（2）只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).（3）元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O

.例如：3.特殊的矩阵现在是9页\一共有38页\编辑于星期四（4）形如的方阵称为对角矩阵．当时，称为数量矩阵.

特别地，方阵称为单位矩阵．记作记作．现在是10页\一共有38页\编辑于星期四4.同型矩阵与矩阵相等（1）

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.（2）两个矩阵与为同型矩阵，并且对应

元素相等，即

则称矩阵A

与

B相等，记作A=B

.现在是11页\一共有38页\编辑于星期四注：不同型的零矩阵是不相等的.

矩阵之间不能比较大小.例如现在是12页\一共有38页\编辑于星期四例3某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij

表示上半年工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中cij

表示工厂下半年向第

i家商店发送第j种货物的数量．二、矩阵的运算现在是13页\一共有38页\编辑于星期四解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量现在是14页\一共有38页\编辑于星期四1.矩阵的加法定义2设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.现在是15页\一共有38页\编辑于星期四知识点比较现在是16页\一共有38页\编辑于星期四交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A的负矩阵．显然现在是17页\一共有38页\编辑于星期四设工厂向某家商店发送四种货物各

l件，试求：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量．例4（续例2）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．现在是18页\一共有38页\编辑于星期四解：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．现在是19页\一共有38页\编辑于星期四2.数与矩阵相乘定义3数

l与矩阵

A

的乘积记作

lA或

Al

，规定为现在是20页\一共有38页\编辑于星期四知识点比较现在是21页\一共有38页\编辑于星期四结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.现在是22页\一共有38页\编辑于星期四其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例5（续例2）

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．现在是23页\一共有38页\编辑于星期四解：以

ci1，ci2

分别表示工厂向第

i家商店所发货物的总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．现在是24页\一共有38页\编辑于星期四可用矩阵表示为一般地，现在是25页\一共有38页\编辑于星期四3.矩阵的乘法定义4设，，那么规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．现在是26页\一共有38页\编辑于星期四例6设则现在是27页\一共有38页\编辑于星期四知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.现在是28页\一共有38页\编辑于星期四例7

结论：（1）矩阵乘法不一定满足交换律.（2）矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论．现在是29页\一共有38页\编辑于星期四矩阵乘法的运算规律(1)结合律(3)分配律(2)结合律（其中

l

是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即推论1矩阵乘法不一定满足交换律，但是数量阵

lE

与任何同阶方阵都是可交换的.数量阵不同于对角阵现在是30页\一共有38页\编辑于星期四(5)矩阵的幂若A是n阶方阵，定义显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立现在是31页\一共有38页\编辑于星期四4.矩阵的转置定义5把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT

.例现在是32页\一共有38页\编辑于星期四转置矩阵的运算性质现在是33页\一共有38页\编辑于星期四例8已知解法1现在是34页\一共有38页\编辑于星期四解法2现在是35页\一共有38页\编辑于星期四定义6设A

为n

阶方阵，如果满足，即那么A称为对称矩阵.如果满足A=－AT，那么A称为反对称矩阵.对称矩阵反对称矩阵现在是36页\一共有38页\编辑于星期四5.方阵的行列式定义7由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.运算性质定义8设A是

n阶方阵，当|A|=0时，称A为奇异矩阵（或