微积分的创立与分析时代

微积分的创立与分析时代第1页，共68页，2023年，2月20日，星期四解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追潮到古代。我们已经知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题，在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无穷小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。前面已经介绍过阿基米德、刘辉和祖冲之父子等人的方法，他们的工作，确实是人们建立一般积分学的漫长努力的先驱。第2页，共68页，2023年，2月20日，星期四与积分学相比而言，微分学的起源则要晚得多。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试，如阿基米德《论螺线》中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法；阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中讨论过圆锥曲线的切线，等等。但所有这些都是基于静态的观点

第3页，共68页，2023年，2月20日，星期四古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬《授时历》中求“月离迟疾”(月亮运行的最快点和最慢点)、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值(郭守敬甚至称之为“极数”)等问题，但东方学者以惯用的数值手段(“招差术”，即有限差分计算)来处理，从而回避了连续变化率。总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是很罕见的。第4页，共68页，2023年，2月20日，星期四一、微积分的酝酿

近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这半个世纪。为了理解这一酝酿的背景，我们首先来略微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件。首先是1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜，不久伽利略将他制成的第一架天文望远镜对准星空而作出了令世人惊奇不已的天文发现。望远镜的发明不仅引起了天文学的新高涨，而且推动了光学的研究。第5页，共68页，2023年，2月20日，星期四

1619年，开普勒公布了他的最后一条行星运动定律。开普勒行星运动三大定律要意是：1）行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点；

2）由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等；3）行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

开普勒主要是通过观测归纳出这三条定律从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然科学的中心课题之一。第6页，共68页，2023年，2月20日，星期四1638年，伽利略的《关于两门新科学的对话》出版。伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45度时达到，等等。伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。第7页，共68页，2023年，2月20日，星期四

凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点。当时，人们主要集中的焦点有：非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决。与此同时，行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴趣被重新激发起来。第8页，共68页，2023年，2月20日，星期四在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时期内，取得了迅速的进展。代表性的工作有：

1、开普勒与旋转体体积：

开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。例如他认为球的体积是无数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一。第9页，共68页，2023年，2月20日，星期四2、卡瓦列里不可分量原理：他在《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法。认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成。他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”。卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，他对积分学创立最重要的贡献还在于在1639利用平面上的不可分量原理建立了等价于列积分式的基本结果，使早期积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡。第10页，共68页，2023年，2月20日，星期四3、笛卡儿的“圆法”：

笛卡儿在《几何学》中提出了求切线的所谓“圆法”，本质上是一种代数方法。

笛卡儿的这种代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，1658年荷兰数学家胡德提出了一套构造曲线切线的形式法则，称为“朗德法则”。朗德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算。第11页，共68页，2023年，2月20日，星期四4、费马求极大值和极小值方法按费马的方法。设函数f(x)在点a处取极值，费马用“a+e”代替原来的未知量a，并使f(a+e)与f(a)逼近,即：

f(a+e)～f(a)

这里所提到的“e”就是后来微积分学当中的“

”第12页，共68页，2023年，2月20日，星期四

5、巴罗的“微分三角形”巴罗是牛顿的老师。是英国剑桥大学第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当巴罗发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去了卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生——当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤，已成为科学史上的佳话。第13页，共68页，2023年，2月20日，星期四6、沃利斯的“无穷算术”

沃利斯利用他的算术不可分量方法获得了许多重要的结果，其中之一就是将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂的情形——沃利斯另“一项重要的研究是计算四分之一单位圆的面积，并由此得到

的无穷乘积表达式。第14页，共68页，2023年，2月20日，星期四二、牛顿的“流数术”牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竞成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论，……，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。第15页，共68页，2023年，2月20日，星期四牛顿(英，1642-1727年)NatureandNature'slawslayhidinnight;Godsaid,letNewtonbe!andallwaslight.自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜中。上帝说：让牛顿出世吧！于是一切都豁然明朗。第16页，共68页，2023年，2月20日，星期四1、流数术的初建牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665年11月发明“正流数术”(微分法)，次年5月又建立了“反流数术”(积分法)。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》著称，《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。第17页，共68页，2023年，2月20日，星期四2、流数术的发展《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。他在这一年10月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的贡献。但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文，它们分别是：(1)1669年的《运用无限多项方程的分析》；(2)1671年的《流数法与无穷级数》；(3)1691年的《曲线求积术》。第18页，共68页，2023年，2月20日，星期四3、《原理》与微积分牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》之中。因此《原理》也成为数学史上的划时代著作。《原理》在倡导首末比方法的同时保留了无限小瞬，这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议。实际上，在牛顿的时代，建立微积分严格基础的时机尚不成熟，在这样的条件下，牛顿在大胆创造新算法的同时，坚持对微积分基础给出不同解释，说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度。第19页，共68页，2023年，2月20日，星期四《原理》被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力。《原理》中的微积分命题虽然都采用了几何形式来叙述、证明，但正如牛顿本人后来解释的那样：发现原理中的绝大多数命题是依靠使用了“新分析法”，然后再“综合地证明”。事实上，牛顿发明微积分主要是依靠了高度的归纳算法的能力，并没有多少综合几何的背景。他1664年参加巴罗主考的三一学院津贴生考试时，因欧氏几何成绩不佳差一点未能通过。第20页，共68页，2023年，2月20日，星期四

微积分的创立者——牛顿第21页，共68页，2023年，2月20日，星期四莱布尼兹评论牛顿：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。”

“宇宙和宇宙规律，隐藏在一片黑夜里，上帝说‘降生牛顿，于是世界充满光明’。”“他几乎以神一般的思维力，最先证明了行星的运动和图象，彗星的轨道和大海的潮汐。”第22页，共68页，2023年，2月20日，星期四

牛顿语：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”拉格朗日评论牛顿：“牛顿是历史上最大才能的人，也是最幸运的人——因为宇宙体系只能被发现一次。”牛顿语：“若说我比笛卡儿看得更远一些的话，那是因为我站在巨人肩上的缘故。”第23页，共68页，2023年，2月20日，星期四牛顿的名言（对自己的评价）“如果我所见的比笛卡儿远一点，那是因为我站在巨人们肩上的缘故。”（IfIhaveseenfartherthanDescartes,itisbystandingontheshouldersofgiants.）“我不知道世人对我怎样看法，我只觉得自己好象是在海滨游戏的孩子，有时为找到一块光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴，而真理的海洋仍然在我的前面未被发现”．第24页，共68页，2023年，2月20日，星期四三、莱布尼茨的微积分

在微积分的创立上，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。莱布尼茨(1646——1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，早年在莱比锡大学学习法律，同时开始接触伽利略、开普勒、笛卡儿、帕斯卡以及巴罗等人的科学思想。1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位，次年开始为缅因茨选帝侯服务，不久被派往巴黎任大使。莱布尼茨在巴黎居留了四年(1672—1676)，这四年对他整个科学生涯的意义，可以与牛顿在家乡躲避瘟疫的两年类比，莱布尼茨许多重大的成就包括创立微积分都是在这一时期完成或奠定了基础。第25页，共68页，2023年，2月20日，星期四莱布尼茨(德，1646-1716)

1661年进入莱比锡大学法学博士、外交官

1672-1676年留居巴黎数学家科学家哲学家第26页，共68页，2023年，2月20日，星期四1、特征三角形莱布尼茨在巴黎与荷兰数学家、物理学家惠更斯的结识、交往，激发了他对数学的兴趣．他通过卡瓦列里、帕斯卡、巴罗等人的著作，了解并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题．与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究．特征三角形，也称“微分三角形”，在巴罗的著作中已经出现．帕斯卡在特殊情形下也使用过这种三角形．莱布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形．第27页，共68页，2023年，2月20日，星期四帕斯卡的“例子”是下述的命题：

“圆的一个象限的任何弧的正弦之和，等于界于两端的两个正弦之间的底线段乘以半径．”这里“正弦”是指纵坐标，而在所说的和中，每个纵坐标都要乘以相应的圆的无限小弧而不是乘以底的无限小段。第28页，共68页，2023年，2月20日，星期四从而得到一下结果：即有：第29页，共68页，2023年，2月20日，星期四帕斯卡的论证仅限于这一特例，他本人并未察觉其中所使用的三角形的普遍意义。莱布尼茨却由此看到帕斯卡的方法可以推广，对任意给定的曲线都可以作这样的无限小三角形，只要用给定曲线的法线来替代圆半径，而借助于这样的无限小三角形，可以“迅速地、毫无困难地建立大量的定理”，这就是莱布尼茨从帕斯卡的工作中看到的“一束光明”。第30页，共68页，2023年，2月20日，星期四2、分析微积分的建立早在1666年，莱布尼茨在《组合艺术》一书中讨论过数列问题并得到许多重要结论。第31页，共68页，2023年，2月20日，星期四3、莱布尼茨微积分的发表

1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，刊登在《教师学报》上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献．该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号dx，dy。莱布尼茨假设横坐标x的微分dx是任意的量，纵坐标y的微分dy就定义为它与dx之比等于纵坐标与次切距之比的那个量。《新方法》中明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式：第32页，共68页，2023年，2月20日，星期四第33页，共68页，2023年，2月20日，星期四

1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。莱布尼茨分析道：‘‘研究不定求积或其不可能性的方法，对我来说不过是我称之为反切线方法的更广泛的问题的特殊情形(并且事实上是比较容易的情形)，而这种反切线方法包括了整个超越几何的绝大部分．”第34页，共68页，2023年，2月20日，星期四4、莱布尼茨的其他数学贡献符号逻辑二进制计算机的先驱行列式第35页，共68页，2023年，2月20日，星期四四、牛顿和莱布尼茨——微积分优先权之争德丢勒(瑞士，1664-1753)1699年“牛顿是微积分的第一发明人”1713年英国皇家学会裁定“确认牛顿为第一发明人”英国与欧洲大陆数学家分道扬镳莱布尼茨：“综观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作”。科学史上最不幸的一章第36页，共68页，2023年，2月20日，星期四(18世纪)第七章:分析时代

第37页，共68页，2023年，2月20日，星期四一、微积分的发展泰勒(英,1685-1731)法学博士进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会，皇家学会秘书1715年出版《正和反的增量法》泰勒定理的价值由拉格朗日(法,1736-1813)发现，证明由柯西(法,1789-1857)给出与约翰•伯努利(瑞,1667-1748)关于泰勒公式优先权之争后期转向宗教和哲学的写作

泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能。第38页，共68页，2023年，2月20日，星期四皇家学会会员，爱丁堡大学教授18世纪英国最大数学家，1742年《流数论》墓碑上刻“曾蒙牛顿推荐”牛顿微积分学说的竭力维护者麦克劳林(英,1698-1746)X=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”第39页，共68页，2023年，2月20日，星期四1686到英国,1718年出版《机会的学说》英国皇家学会会员，进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会1730年《分析杂论》棣莫弗(法,1667-1754)1707-1730年棣莫弗定理第40页，共68页，2023年，2月20日，星期四伯努利家族第41页，共68页，2023年，2月20日，星期四伯努利家族尼古拉•伯努利雅格布尼古拉约翰尼古拉第二尼古拉第三丹尼尔约翰第二约翰第三丹尼尔第二雅格布第二第42页，共68页，2023年，2月20日，星期四雅格布•伯努利(瑞，1654-1705)“我违背父亲的意愿，研究星星。”

1687年巴塞尔大学数学教授17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人解析几何、微积分、变分法、概率论1694年《微分学方法》1689年证明调和级数的发散性第43页，共68页，2023年，2月20日，星期四约翰•伯努利(瑞，1667-1748)1694年医学博士、数学教授、英国皇家学会会员解析几何、微分方程、变分法18世纪初分析学的重要奠基者之一,欧拉(瑞,1707-1783)的老师1700年左右发展了积分法1742年《积分学教程》(写于1691-1692)洛必达(法,1661-1704)法则，1696年《关于曲线研究的无穷小分析》第44页，共68页，2023年，2月20日，星期四丹尼尔•伯努利(瑞，1700-1782)医学博士、数学教授、植物学教授、生理学教授、物理学教授、哲学教授、英国皇家学会会员圣彼得堡：1725－1733年巴塞尔：1733－1782年1738年《流体动力学》第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人把微积分、微分方程应用到物理学，研究流体力学问题、物体振动和摆动问题，为数学物理方法的奠基人第45页，共68页，2023年，2月20日，星期四欧拉(瑞,1707-1783)圣彼得堡科学院(1727-1741,1766-1783)柏林科学院(1741-1766)1748年《无穷分析引论》、1755年《微分学原理》、1768-1770年《积分学原理》最多产的数学家、《欧拉全集》87卷李善兰译的《代数学》（1859）等著作记载了欧拉的学说“读读欧拉，他是我们大家的老师”“四杰”：阿基米德、牛顿、欧拉、高斯18世纪最伟大的数学家、分析的化身、“数学家之英雄”第46页，共68页，2023年，2月20日，星期四欧拉《无穷分析引论》第47页，共68页，2023年，2月20日，星期四瑞士法郎上的欧拉（1976）第48页，共68页，2023年，2月20日，星期四达朗贝尔(法,1717-1783)自学成才，巴黎科学院院士、终身秘书1751-1757年与狄德罗(1713-1784)共同主编《百科全书》“科学处于17世纪的数学时代到18世纪的力学时代，力学应该是数学家的主要兴趣。”《动力学》、《数学手册》数学分析的重要开拓者之一，其成就仅次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼尔•伯努利第49页，共68页，2023年，2月20日，星期四拉格朗日(法,1736-1813)数学、力学和天文学中都有重大历史性贡献，分析学中仅次于欧位的最大开拓者，论著超过500篇1754年(18岁)发现莱布尼茨公式1755年任数学教授(都灵时期:1754-1766)1788年《分析力学》(柏林时期:1766-1787)1797年《解析函数论》(巴黎时期:1787-1813)分析力学的创立者、天体力学的奠基者1808年伯爵，1813年帝国大十字勋章第50页，共68页，2023年，2月20日，星期四贝克莱主教（爱尔兰，1985）微积分的发展

积分技术多元函数

无穷级数函数概念

分析严格化的尝试贝克莱(爱尔兰,1685-1753):《分析学家，或致一位不信神的数学家》(1734)“这些消逝的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”

形式化观点极限观点：综述第51页，共68页，2023年，2月20日，星期四二、数学新分支的形成

常微分方程偏微分方程变分法

微分几何概率论第52页，共68页，2023年，2月20日，星期四常微分方程

莱布尼茨、惠更斯、约翰•伯努利给出问题的解1690年雅格布•伯努利(瑞,1654-1705)提出悬链线问题第53页，共68页，2023年，2月20日，星期四初等解法

常微分方程——包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数的等式

形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的

分离变量法变量代换法积分因子法黎卡提方程降阶法常系数线性方程2001年9月6日哈勃拍到的"星体爆发"星系第54页，共68页，2023年，2月20日，星期四拉格朗日(法,1958)偏微分方程偏微分方程——包含未知函数以及偏导数的等式

偏微分方程理论研究一个方程(组)是否有满足某些补充条件的解，有多少个解,解的各种性质与求解方法，及其应用一阶偏微分方程：1772年拉格朗日(法,

1736-1813)和1819年柯西(法,1789-1857)发现将其转化为一阶常微分方程组第55页，共68页，2023年，2月20日，星期四达朗贝尔(法,1959)偏微分方程1747年和1749年达朗贝尔和欧拉求出解

弦振动方程：1715年和1727年泰勒和约翰•伯努利分别提出1753年丹尼尔•伯努利导出了具有正弦周期模式的解第56页，共68页，2023年，2月20日，星期四拉普拉斯

拉普拉斯:1773年进入巴黎科学院,1785年当选院士,

1789年研究制定公制系统,

1796年任科学院院长,1799年任内政部长,1803年任参议院议长,1817年再任法国科学院院长,并封爵位势方程(拉普拉斯方程)：1752年欧拉提出，1785年拉普拉斯(法,1749-1827)用球调和函数求解1796年《宇宙体系论》的星云假说，1799－1825年《天体力学》

“陛下,我不需要这样的假设!”第57页，共68页，2023年，2月20日，星期四星云假说第58页，共68页，2023年，2月20日，星期四1697年牛顿、莱布尼茨、洛必达、约翰•伯努利、雅各布•伯努利等解决1696年约翰•伯努利提出最速降线问题变分法

研究泛函的极值的方法

CalculusofVariations(1756)第59页，共68页，2023年，2月20日，星期四欧拉(瑞士,1957)1759年拉格朗日引入变分的概念1728年欧拉解